Что показывает частное 2 чисел
Частное в математике — определение, свойства и формула
Математика – царица наук. Она хоть и сложна, и многие боятся некоторых запутанных формул и вычислений, но все они состоят из простых арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления.
Производные операции от этих действий называются суммой, разностью, произведением и частным. Что такое частное в математике и каковы его главные свойства – будет подробно рассказано далее.
Основное свойство частного
Деление – это арифметическая операция, обратная умножению. С ее помощью можно просто узнать, сколько в первом числе содержится значений второго.
По аналогии с умножением, которое способно заменить собой многократное сложение, дробление способно заменить многократное вычитание.
Например, необходимо разделить 10 на 2. Это означает, что требуется узнать, сколько раз число 2 содержится в 10. Делая это вычитанием можно получить следующее:
10 — 2 — 2 — 2 — 2 — 2 = 0.
Проводя постепенное вычитание до нуля, можно определить, что двойка содержится в десятке ровно 5 раз и не образует остаток. Сделать это можно было однократно поделив два значения:
Частное чисел – это итог процесса деления одного значения на второе. Пример:
Одно из важнейших правил деления частного, называемое основным свойством частного, заключается в том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то итог этой операции и, соответственно частное, не изменится:
При делении числа самого на себя результатом всегда будет единица, то есть справедливо равенство:
Справедливо и другое правило: если разделить определенную величину на единицу, то итогом процесса будет сама эта величина, то есть делимое:
Увеличение или уменьшение делимого
Некоторые другие соотношения вытекают из этих. Например, если увеличить или уменьшить делимое в n раз, то в результате частное также повысится или понизится в n раз соответственно.
Изложенное правило имеет такой вид:
12 ⁄ 2 = 6 и пусть n = 3.
Проведём увеличение и уменьшение делимого:
(12∗3) /2 = 6∗3 — увеличили делимое на 3, равенство верное: 36 / 2 = 18;
(12 / 3) / 2 = 6 / 3 — уменьшили делимое на 3, равенство все равно верное: 4 / 2 = 2.
То есть, в три раза увеличив делимое, можно в три раза увеличить частное. Аналогично выполняется и уменьшение.
Увеличение или уменьшение делителя
Следующее правило звучит так: если увеличить или уменьшить делитель в n раз, то результат деления понизится или повысится в n-нное количество раз:
Для примера требуется взять частное двух значений 54 и 6:
a / b = c и пусть n = 3.
Проведём увеличение и уменьшение делителя:
54 / (6∗3) = 9 / 3 — увеличили делитель в 3 раза, равенство верное: 54 / 18 =3;
54 / (6 / 3) = 9∗3 — уменьшили делитель в 3 раза, получаем равенство: 54 / 2 = 27.
Увеличив делитель в 3 раза, во столько же раз уменьшили частное. Уменьшив делитель в три раза, делитель, напротив, увеличился в три раза.
Проверить эти «законы» можно в любом онлайн калькуляторе или вручную в уме или на бумаге.
Данные правила являются фундаментальными и составляют базу арифметики, с которой начинается математика и остальные области знаний.
Математика – царица наук. Она хоть и сложна, и многие боятся некоторых запутанных формул и вычислений, но все они состоят из простых арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления.
Производные операции от этих действий называются суммой, разностью, произведением и частным. Что такое частное в математике и каковы его главные свойства – будет подробно рассказано далее.
Основное свойство частного
Деление – это арифметическая операция, обратная умножению. С ее помощью можно просто узнать, сколько в первом числе содержится значений второго.
По аналогии с умножением, которое способно заменить собой многократное сложение, дробление способно заменить многократное вычитание.
Например, необходимо разделить 10 на 2. Это означает, что требуется узнать, сколько раз число 2 содержится в 10. Делая это вычитанием можно получить следующее:
10 — 2 — 2 — 2 — 2 — 2 = 0.
Проводя постепенное вычитание до нуля, можно определить, что двойка содержится в десятке ровно 5 раз и не образует остаток. Сделать это можно было однократно поделив два значения:
Частное чисел – это итог процесса деления одного значения на второе. Пример:
Одно из важнейших правил деления частного, называемое основным свойством частного, заключается в том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то итог этой операции и, соответственно частное, не изменится:
При делении числа самого на себя результатом всегда будет единица, то есть справедливо равенство:
Справедливо и другое правило: если разделить определенную величину на единицу, то итогом процесса будет сама эта величина, то есть делимое:
Увеличение или уменьшение делимого
Некоторые другие соотношения вытекают из этих. Например, если увеличить или уменьшить делимое в n раз, то в результате частное также повысится или понизится в n раз соответственно.
Изложенное правило имеет такой вид:
12 ⁄ 2 = 6 и пусть n = 3.
Проведём увеличение и уменьшение делимого:
То есть, в три раза увеличив делимое, можно в три раза увеличить частное. Аналогично выполняется и уменьшение.
Увеличение или уменьшение делителя
Следующее правило звучит так: если увеличить или уменьшить делитель в n раз, то результат деления понизится или повысится в n-нное количество раз:
Для примера требуется взять частное двух значений 54 и 6:
a / b = c и пусть n = 3.
Проведём увеличение и уменьшение делителя:
Увеличив делитель в 3 раза, во столько же раз уменьшили частное. Уменьшив делитель в три раза, делитель, напротив, увеличился в три раза.
Проверить эти «законы» можно в любом онлайн калькуляторе или вручную в уме или на бумаге.
Данные правила являются фундаментальными и составляют базу арифметики, с которой начинается математика и остальные области знаний.
ВОПРОСЫ
1. Что значит разделить число а на число b?
Разделить число а на число b, значит найти такое число, которое при умножении на b дает чсило а.
2. Как в неравенстве а:b =c называют число a? Число b? Число c? Выражение a:b?
3. Что показывает частное двух чисел?
Частное a:b показывает во сколько раз число а больше числа b, или во сколько число b меньше числа а.
4. На какое число делить нельзя?
На ноль делить нельзя.
5. Чему равно частное от деления числа 0 на любое натуральное число?
Частное от деления числа 0 на любое натуральное число равно нулю.
6. Чему равно частное а:а, где а≠0? а:1?
7. Как найти неизвестный множитель?
Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.
8. Как найти неизвестное делимое?
Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.
9. Как найти неизвестный делитель?
Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.
РЕШАЕМ УСТНО
1. Заполните цепочку вычислений:
2. Выполните деление:
3. Укажите среди данных произведений наибольшее:
4. Догоняя Сашу, Слава бежит со скоростью 180 м/мин. Чему равна скорость Саши, если мальчики сближаются со скоростью 12 м/мин?
5. Два автомобиля двигаются навстречу друг другу, причем один из них со скоростью 74 км/ч. Чему равна скорость второго автомобиля, если они сближаются со скоростью 150 км/ч?
УПРАЖНЕНИЯ
447. Известно, что 243425 = 103 275. Чему равно значение выражения:
448. Известно, что 4 608 : 48 = 96. Чему равно значение выражения:
449. Заполните таблицу:
450. Выполните деление:
451. Выполните деление:
452. Выполните деление:
453. Выполните деление:
454. Выполните действия:
455. Найдите значение выражения:
456. Найдите значение выражения:
457. Решите уравнение:
458. Решите уравнение:
459. Всадник преодолевает расстояние между двумя селами за 5 ч, если двигается со скоростью 12 км/ч. С какой скоростью он должен двигаться, чтобы преодолеть это расстояние за 4 ч?
460. Вика купила 8 кг конфет по 630 р. за килограмм. Сколько килограммов конфет по 420 р. за килограмм она сможет купить за эти же деньги?
461. Найдите значение выражения:
462. Найдите значение выражения:
463. Малыш купил у Карлсона 8 пирожных и 12 булочек с повидлом, заплатив за всю покупку 408 крон. Одно пирожное стоит 24 кроны. Какова цена одной булочки?
464. Дед Афанасий заготовил на зиму 6 бочек квашеной капусты и 14 бочонков соленых огурцов. В одной бочке вмещается 26 кг капусты. Сколько килограммов огурцов в одном бочонке, если всего дед Афанасий заготовил 324 кг овощей?
465. Сколько килограммов масла можно изготовить из 261 кг сливок, если из 9 кг сливок получается 2 кг масла?
466. Автомобиль расходует 8 л бензина на 100 км пути. Хватит ли 20 л бензина, чтобы доехать из Рязани до Владимира, расстояние между которыми по трассе равно 248 км?
467. Было собрано 328 кг проса. Сколько из этого проса можно получить пшена, если из 4 кг проса получается 3 кг пшена?
468. Расстояние между двумя пристанями равно 476 км. Двигаясь по течению реки, катер проходит это расстояние за 14 ч. За сколько часов он пройдет это расстояние против течения реки, если скорость течения равна 3 км/ч?
469. Расстояние между двумя портами равно 504 км. Двигаясь против течения реки, теплоход проходит это расстояние за 21 ч. За сколько часов он пройдет это расстояние по течению реки, если скорость течения равна 2 км/ч?
470. Из городов Цветочный и Солнечный, расстояние между которыми равно 136 км, выехали одновременно навстречу друг другу Винтик и Шпунтик. Винтик двигался со скоростью 16 км/ч. С какой скоростью ехал Шпунтик, если они встретились через 4 ч после выезда?
471. Расстояние между двумя городами равно 1 264 мили (1 сухопутная миля = 1 609 м). Из них одновременно вылетели навстречу друг другу два вертолета и встретились через 8 ч после вылета. Скорость одного из вертолетов 82 миль/ч. С какой скоростью летел второй вертолет?
472. В 6 ч утра из Мурома в Киев выехал со скоростью 9 км/ч Илья Муромец. В 8 ч утра из Мурома в Киев выехал Алеша Попович и догнал Илью Муромца в 2 ч дня. С какой скоростью ехал Алеша Попович?
473. В 8 ч 57 мин черепаха Катрина отправилась в путешествие из своего пруда в соседний. В 9 ч 5 мин из этого же пруда в том же направлении отправилась черепаха Виктория и догнала Катрину в 9 ч 29 мин. Найдите, с какой скоростью двигалась Катрина, если известно, что Виктория двигалась со скоростью 8 м/мин.
474. С двух станций, расстояние между которыми равно 24 км, одновременно в одном направлении отправились два поезда. Впереди двигался поезд со скоростью 58 км/ч. Через 4 ч после начала движения его догнал второй поезд. Найдите скорость второго поезда.
475. Расстояние между селами Грушевое и Яблоневое равно 30 км. Из этих сел одновременно в одном направлении отправились казаки Серошапка и Черноус. Черноус скакал на коне со скоростью 9 км/ч и через 6 ч после начала движения догнал Серошапку, который шел пешком. С какой скоростью шел Серошапка?
476. Расстояние между городками Сен-Жермен и Сен-Антуан равно 12 лье (старинная французская единица длины, 1 лье приблизительно равно 4 444 м). Из этих городков одновременно в одном направлении выехали Портос со скоростью 1 лье/ч и д’Артаньян со скоростью 3 лье/ч, причем Портос скакал впереди. Через сколько часов после выезда д’Артаньян догонит Портоса?
478. Школьники Василий, Андрей, Дмитрий и Сергей собрали 326 кг яблок. Василий собрал 37 кг яблок, что в 3 раза меньше, чем Андрей, а Дмитрий и Сергей собрали яблок поровну. Кто из школьников собрал больше килограммов яблок?
479. Рабочие Иван, Петр, Степан и Павел изготовили 160 деталей. Иван изготовил 81 деталь, что в 3 раза больше, чем изготовил Петр, а Степан и Павел изготовили деталей поровну. Кто из рабочих изготовил меньше всех деталей?
483. За четыре дня работы три оператора набрали на компьютере вместе 288 страниц. Сколько страниц наберет один оператор за 7 дней, если у них одинаковая производительность труда?
484. Для работы шести одинаковых двигателей в течение 8 ч требуется 672 л топлива. На сколько часов работы хватит 98 л топлива одному такому двигателю?
489. Решите уравнение:
490. Решите уравнение:
491. Решите уравнение:
492. Решите уравнение:
493. Решите уравнение:
494. Решите уравнение:
495. Отец с сыном посадили 108 кустов помидоров, причем отец посадил в 2 раза больше, чем сын. Сколько кустов помидоров посадил сын?
496. В два магазина завезли 268 кг шампиньонов, причем в первый магазин завезли шампиньонов в 3 раза меньше, чем во второй. Сколько килограммов шампиньонов завезли в каждый магазин?
497. В двух залах кинотеатра демонстрировались два кинофильма. В первом зале зрителей было в 7 раз больше, чем во втором. Сколько зрителей находилось во втором зале, если известно, что их было на 156 меньше, чем в первом?
498. Валентин подарил Виктории розы и орхидеи, причем орхидей было в 4 раза меньше, чем роз. Сколько роз подарил Валентин, если известно, что их было на 51 больше, чем орхидей?
499. Из вершины прямого угла проведен луч так, что он делит прямой угол на два угла, один из которых больше второго на 200. Найдите величину каждого из образовавшихся углов.
500. Из вершины развернутого угла проведен луч так, что он делит развернутый угол на два угла, один из которых меньше второго на 500. Найдите величину каждого из образовавшихся углов.
506. В три школы отправили 552 кг апельсинов, причем в одну школу отправили в 6 раз меньше апельсинов, чем во вторую, и на 136 кг меньше, чем в третью. Сколько килограммов апельсинов отправили в каждую школу?
507. Одна из сторон треугольника в 5 раз меньше второй и на 25 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 74 см.
508. Одна из сторон треугольника в 2 раза больше второй стороны, а вторая на 7 дм меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 99 дм.
509. 1) Верно ли, что если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма этих слагаемых делится на это число? Проиллюстрируйте свой ответ примерами.
2) Может ли сумма нескольких слагаемых делиться на некоторое число, если каждое слагаемое не делится на это число? Проиллюстрируйте свой ответ примерами.
511. Делимое увеличили в 3 раза. Как надо изменить делитель, чтобы частное: 1) увеличилось в 6 раз; 2) уменьшилось в 6 раз; 3) не изменилось?
512. При каких значениях верно равенство:
513. Вычислите удобным способом:
514. Вычислите удобным способом:
516. Расставьте в записи 412 + 18 : 6 + 3 скобки так, чтобы значение полученного выражения было равно: 1) 50; 2) 72.
517. Составьте числовое выражение с использованием только знаков четырех арифметических действий и четырех цифр 2 так, чтобы значение полученного выражения было равно: 1) 1; 3) 3; 5) 5; 7) 8; 2) 2; 4) 4; 6) 6; 8) 10.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
518. Периметр четырехугольника АВСD равен 34 см, АВ = 6 см, сторона ВС в 2 раза больше стороны АВ, стороны СD и АD равны. Вычислите длину стороны АD.
519. Купили розовые и зеленые конверты. Розовых среди них было 18 конвертов. С марками было 12 конвертов, из них 8 были розовыми. Сколько всего купили конвертов, если все зеленые конверты были с марками?
ЗАДАЧА ОТ МУДРОЙ СОВЫ
Не могут, должно быть четное количество колес.