Что понимается под повторной выборкой

Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен, либо не возвращен в генеральную совокупность. В соответствии со сказанным, выборки подразделяют на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной(представительной).

В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает. [2]

Способы отбора

На практике применяются различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:

Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся: а) простой случайный бесповторный отбор; б) простой случайный повторный отбор.

Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся: а) типический отбор; б) механический отбор; в) серийный отбор.

Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. Осуществить простой отбор можно различными способами. Например, для извлечения объектов из генеральной совокупности объема поступают так: выписывают номера от 1 до на карточках, которые тщательно перемешивают, и наугад вынимают одну карточку; объект, имеющий одинаковый номер с извлеченной карточкой, подвергают обследованию; затем карточку возвращают в пачку и процесс повторяют, то есть карточки перемешивают, наугад вынимают одну из них и так далее. Так поступают раз; в итоге получают простую случайную выборку объема .

Если извлеченные карточки не возвращать в пачку, то выборка является простой случайной бесповторной.

При большом объеме генеральной совокупности описанный процесс оказывается очень трудоемким. В этом случае пользуются готовыми таблицами «случайных чисел», в которых числа расположены в случайном порядке. Для того, что отобрать, Типическим называется отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части

Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект.

Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Подчеркнем, что на практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.

45

46.Статистическая оценка неизвестных параметров Всякая генеральная совокупность так же, как и любая стохастическая модель (будь то модель регрессионной зависимости, модель главных компонент, модель факторного анализа и т. д., см. ниже) характеризуется набором числовых параметров ¢. [1], в качестве таких параметров выступают компоненты вектора средних значений и элементы ковариационной матрицы , так что в этом случае размерностьт вектора равна, как легко подсчитать,р + р (р+ 1)/2.Однако практически чаще всего точные значения этих «определяющих» параметров неизвестны, и нам приходится судить о них лишь на основании имеющихся в нашем распоряжении результатов наблюдения (выборочных данных).а) Статистика, статистическая оценка, ее свойства. Любую функцию от результатов наблюдения в вероятностно-статистической литературе принято называтьстатистикой. Именно статистикиобычно используются для построения статистических оценок параметров , относительная частота

являющаяся оценкой вероятности Р (DS); выборочная плотность (1.4′), являющаяся оценкой теоретической плотности f(U) в точке U; выборочные средние и выборочные ковариации (1.6″) и (1.7″), являющиеся оценками соответственно теоретических средних и ковариаций . Метод, который чаще приводит к наилучшим оценкам, называется метод максимального правдоподобия (предложен Р. Фишером).Пусть – непрерывная случайная величина, которая в результате испытаний приняла значения . Пусть вид плотности распределения данной случайной величины известен, но не известен параметр , которым определяется эта функция.

Определение 16.4. Функция вида: называется функцией правдоподобия.

Метод максимального правдоподобия заключается в том, что в качестве оценок параметра принимается то значение , при котором функция принимает максимальное значение. Экстремум функций и достигается при одних и тех же значениях . Удобнее находить максимум функции . Поэтому критические значения определяются из системы уравнений правдоподобия:

где – число оцениваемых параметров.Данный метод дает состоятельные оценки. Если существует эффективная оценка, то метод максимального правдоподобия дает эту оценку. Оценки максимального правдоподобия асимптотически эффективны и имеют асимптотически нормальное распределение.

47 интервальные оценки и их св-ва

47

48.Понятие статистической гипотезы.

Виды гипотез. Ошибки первого и второго рода

Так, гипотеза о том, что затраты времени на сборку узла машины в группе механических цехов, выпускающих продукцию одного наименования и имеющих примерно одинаковые технико-экономические условия производства, распределяются по нормальному закону, является гипотезой о законе распределения. А гипотеза о том, что производительность труда рабочих в двух бригадах, выполняющих одну и ту же работу в одинаковых условиях, не различается (при этом производительность труда рабочих каждой бригады имеет нормальный закон распределения), является гипотезой о параметрах распределения.

Подлежащая проверке гипотеза называется нулевой, или основной, и обозначается Н₀. Нулевой гипотезе противопоставляют конкурирующую, или альтернативную, гипотезу, которую обозначают Н₁. Как правило, конкурирующая гипотеза Н₁ является логическим отрицанием основной гипотезы Н_0.

Примером нулевой гипотезы может быть следующая: средние двух нормально распределенных генеральных совокупностей равны, тогда конкурирующая гипотеза может состоять из предположения, что средние не равны. Символически это записывается так:

Если нулевая (выдвинутая) гипотеза будет отвергнута, то имеет место конкурирующая гипотеза.

50.Проверка гипотез о законе распределения.

Проверку гипотезы о законе распределения (то есть, соответствует ли выборочная совокупность какому либо определённому распределению) проводят с помощью критерия соответствия (предложен К.Пирсоном в 1900г.).

Н₀заключается в том, что различие между наблюдаемыми экспериментальными частотами m_i попадания вариант выборки в интервалы вариационного ряда от вычисленных теоретических частот m_{i теор}=m_i·P_{i теор} не достоверно (т.е. носит случайный характер). Другими словами:

Н₀: экспериментальные данные соответствуют предложенному теоретическому закону распределения.

Экспериментальное значение критерия вычисляется по формуле:

— вероятность попадания в интервал для теоретического распределения.

если теоретическое распределение произвольное, то а=1,

Если Н₀ принимаем.

Вывод: экспериментальное распределение соответствует теоретическому.

Если Н₀ отвергаем.

Вывод: экспериментальное распределение не соответствует теоретическому.

51.Суть метода наименьших квадратов (мнк).

Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b принимает наименьшее значение. То есть, при данныха и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов.

Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных.

Вывод формул для нахождения коэффициентов.

Составляется и решается система из двух уравнений с двумя неизвестными. Находим частные производные функции по переменныма и b, приравниваем эти производные к нулю.

Решаем полученную систему уравнений любым методом (например методом подстановки или методом Крамера) и получаем формулы для нахождения коэффициентов по методу наименьших квадратов (МНК).

Основная особенность регрессионного анализа: при его помощи можно получить конкретные сведения о том, какую форму и характер имеет зависимость между исследуемыми переменными.

Последовательность этапов регрессионного анализа

Рассмотрим кратко этапы регрессионного анализа.

Формулировка задачи. На этом этапе формируются предварительные гипотезы о зависимости исследуемых явлений.Определение зависимых и независимых (объясняющих) переменных.Сбор статистических данных. Данные должны быть собраны для каждой из переменных, включенных в регрессионную модель.

Формулировка гипотезы о форме связи (простая или множественная, линейная или нелинейная).

Определение функции регрессии (заключается в расчете численных значений параметров уравнения регрессии)

Оценка точности регрессионного анализа.Интерпретация полученных результатов. Полученные результаты регрессионного анализа сравниваются с предварительными гипотезами. Оценивается корректность и правдоподобие полученных результатов.

Предсказание неизвестных значений зависимой переменной.

Задачи регрессионного анализа

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Источник

Определение способом повторного и бесповторного отбора по генеральной совокупности средней, предельной и относительной ошибок средней с учетом заданного доверительного интервала

Организация выборочного наблюдения. Области применения выборочного наблюдения и преимущества перед сплошным наблюдением. Основные принципы теории выборочного наблюдения. Репрезентативность выборочного наблюдения

Тема 5 Выборочное наблюдение

Наряду со сплошным наблюдением,когда анализу подвергаются все единицы совокупности,в статистике широко используют методы не сплошного наблюдения, разновидностью которого является выборочное наблюдение. Выборочное наблюдение является наиболее распространенным и совершенным видом не сплошного наблюдения. Переход статистики Российской Федерации на международные стандарты требует более широкого применения теории выборки для получения и анализа показателей системы национального счетоводства во всех отраслях и секторах экономики.

Современный этап развития рынка услуг и средств связи характеризуется действием большого количества хозяйственных единиц, среди которых объекты малого предпринимательства составляют несколько тысяч единиц. Сплошное обследование такой статистической совокупности потребовало бы огромных материальных и финансовых затрат. Использование же выборочного наблюдения позволяет значительно сэкономить средства, ускорить процесс получения и обработки данных, и тем самым повысить актуальность результатов обследования.

Статистическая теория выборки, основанная на теории вероятности и законе больших чисел, разработала достаточно надежный математический аппарат, позволяющий распространить характеристики некоторой части единиц изучаемого явления, отобранной в случайном порядке, на всю совокупность. Выборочный метод позволяет с достаточной достоверностью определить ошибку выборки. Если размер возможной ошибки относительно невелик и может быть признан допустимым, то результаты выборочного учета считаются репрезентативными, т.е. достоверно представляющими генеральную совокупность и пригодными для практического использования.

Выборочное наблюдение имеет ряд несомненных преимуществ перед сплошным наблюдением: позволяет собирать необходимую информацию в более сжатые сроки, при меньших трудовых и денежных затратах, по более широкой программе и более тщательно. Кроме того, при изучении некоторых явлений нельзя проводить сплошное наблюдение. Так, изучение качества микросхем радиоламп сопряжено с их разрушением и уничтожением, т.е. выборочное наблюдение является единственно возможным.

Выборочный учет применяется как в текущей статистической отчетности, так и специальных обследованиях, проводимых в отрасли связи. Но чтобы полученные в результате выборочного наблюдения данные объективно и достоверно отражали социально-экономические явления и процессы отрасли связи, необходимо соблюдать основополагающие принципы и правильно организовывать выборочное наблюдение.

Выборочное наблюдение организуется и проводится в строгом соответствии с научными принципами теории выборочного метода. Важнейшим из них является обеспечение случайности отбора единиц и достаточного их количества.

Любое выборочное наблюдение ставит своей задачей определение среднего размера признака или доли единиц, обладающих данным признаком, и распространение полученных характеристик выборочной совокупности на генеральную совокупность. Например, количество пересылаемой простой письменной корреспонденции на предприятиях связи определяется на основе их среднесуточного количества, рассчитываемого по результатам учета за семь дней месяца. Естественно, между величинами среднесуточного количества пересылаемых писем, исчисленных при сплошном (за все дни месяца) и выборочном (за 7 дней) наблюдении, имеются различия, но они не могут существенно повлиять на необходимую нам достоверность результатов.

Выборочное наблюдение на предприятиях связи применяется для характеристики среднего размера изучаемого признака: средней массы письма, средней продолжительности телефонного соединения, среднего числа слов в телеграмме – и доли единиц изучаемого признака в общей совокупности: доли письменной корреспонденции, прошедшей в контрольные сроки, удельного веса телеграмм, замедленных и переданных с браком, и т.д. Выборочное наблюдение может быть организовано бесповторным (ранее отобранные единицы отбрасываются) или повторным (рассматриваются все единицы генеральной совокупности) способами.

Различают выборочную (единицы совокупности попавшие в выборку) и генеральную (все единицы совокупности) совокупности.

Расхождения между характеристиками выборочной и генеральной совокупностей, называемые ошибками репрезентативности, возникают вследствие различия структуры выборочной и генеральной совокупности. Структура генеральной совокупности вполне однозначна, и ей соответствует вполне определенное значение среднего размера (или доли) изучаемого признака. Выборочная же совокупность формируется на основе случайного отбора, в силу этого ее состав отличается от состава генеральной совокупности, отличается, естественно, и значение среднего размера (или доли) изучаемого признака.

Если из одной и той же генеральной совокупности производится несколько выборок, то в каждую из них попадут разные единицы и, следовательно, каждой выборочной совокупности будет соответствовать своя средняя. Отсюда следует важный вывод: выборочная средняя, в отличие от генеральной, – величина переменная. Переменной или случайной величиной будет и ошибка репрезентативности.

В практических статистических работах выборочное наблюдение проводится один раз, поэтому фактически приходится иметь дело с одной из множества выборочных средних, но с какой именно – сказать невозможно.

Чтобы получить суждение о точности результатов выборочного наблюдения, математическая статистика дает аппарат характеристики состава генеральной совокупности и формулу средней ошибки, т.е. средней величины из всех возможных ошибок при бесчисленном множестве случайных выборок.

Средняя ошибка выборки для средней величины признака определяется по формуле: ,

где s 2 _г – дисперсия количественного признака в генеральной совокупности.

Если при выборочном наблюдении изучению подлежит альтернативный признак (доля признака), то средняя ошибка выборки для доли единиц, обладающих данным признаком, определяется по теореме Я. Бернулли: ,

где p – доля единиц, обладающих данным качеством, в генеральной совокупности; p(1-p) – дисперсия альтернативного признака в генеральной совокупности.

Приведенные формулы средних ошибок выборки практически непригодны для расчета. В них фигурирует дисперсия признака в генеральной совокупности, которая неизвестна, как неизвестна и генеральная доля, генеральная средняя. В теории вероятности доказано, что s 2 _г = s 2 n/(n–1), и при большом объеме выборки дисперсии генеральной s 2 _г и выборочной s 2 совокупностей равны.

Средняя ошибка выборки по значениям выборочной дисперсии s 2 для средней и w(1–w) для доли признака при повторном способе выборки определяется по формуле:

, , где w – доля признака в выборочной совокупности.

На практике повторная выборка, при которой численность генеральной совокупности остается неизменной и для каждой единицы вероятность попасть в выборку одинакова, встречается редко (например, при изучении населения в качестве пользователей, пациентов, избирателей).

При бесповторной выборке численность генеральной совокупности в процессе отбора сокращается на 1–n/N, где n/N – доля отобранных единиц. В связи с этим формулы средней ошибки выборки приобретают следующий вид:

; .

Так как доля единиц генеральной совокупности, не попавших в выборку (1–n/N), всегда меньше единицы, то ошибка выборки при бесповторном отборе при прочих равных условиях меньше, чем при повторном отборе.

Как и сама выборочная характеристика, ошибка выборки является случайной величиной, она может быть в каждом конкретном случае меньше, равна или больше m. Академик А.М. Ляпунов доказал, что вероятность появления случайной ошибки выборки при достаточно большом ее объеме подчиняется закону нормального распределения:

,

Значения функции Ф(t) табулированы при разных значениях, например:

при t=1 P(D£ m) = Ф(1) = 0,683;

при t=2 P(D£2m) = Ф(2) = 0,9545;

при t=3 P(D£3m) = Ф(3) = 0,9973 и т.д.

В общем виде D = t*m характеризует предельную ошибку выборки, показывающую максимально возможное расхождение выборочной и генеральной характеристик при заданной вероятности этого утверждения. Так, при t=2 возможная ошибка D не превысит 2m, что гарантируется с вероятностью 0,9545. Это значит, что в 9545 выборках из 10000 подобных максимальная ошибка не выйдет за пределы ±2m.

При проведении выборочного учета массовых социально-экономических явлений считается достаточным максимальный размах ±3m.

Возможная ошибка выборки указывается с определенной вероятностью Р, с которой гарантируются границы рассчитанной случайной ошибки репрезентативности. На практике наиболее часто пользуются значениями вероятности Р=0,95 (t=1,96), Р=0,99 (t=2,58) и Р=0,999 (t=3,28), гарантирующими репрезентативность выборки соответственно с ошибкой 5; 1; 0,1%.

Возможная ошибка выборки позволяет определять предельные значения характеристик генеральной совокупности при заданной вероятности, т.е. их доверительные интервалы. Поэтому вероятность Р называется доверительной, она представляет собой вероятность того, что ошибка выборки не превысит некоторую заданную величину D. Доверительные интервалы для:

генеральной доли – (от w–D до w+D).

Наряду с абсолютной величиной предельной ошибки выборки рассчитывается и относительная ошибка выборки, которая определяется отношением предельной ошибки средней или доли к соответствующей характеристике выборочной совокупности:

%; %.

Источник