А в кубе плюс б в кубе чему равно

Как использовать куб суммы (a + b) 3

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители — применение формул сокращённого умножения.

Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Вспомним, как выглядит формула куба суммы.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Формула куб суммы не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3

Как возвести в куб многочлен

Рассмотрим пример. Необходимо возвести в куб многочлен.

Используем формулу куба суммы. Только вместо « a » у нас будет « x », а вместо « b » будет « 2y ».

Часто возводят многочлен в куб следующим образом:

Это неверно! Для возведения многочлена в куб необходимо использовать формулу сокращенного умножения: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Применение куба суммы для разложения многочлена на множители

Рассмотрим многочлен. Требуется разложить его на множители, используя формулу куба суммы.

Обратите внимание, что многочлен « m 3 + 3m 2 n + 3mn 2 + n 3 » напоминает правую часть формулы « a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 », только вместо « a » стоит « m », а на месте « b » стоит « n ».

Используем для многочлена « m 3 + 3m 2 n + 3mn 2 + n 3 » формулу куба суммы.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется разложить многочлен на множители.

В этом многочлене не так очевидно, что будет являться в формуле « a », а что « b ».

Представим многочлен « 27x 3 + 54x 2 + 36x + 8 » в виде « a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ».

Обратим внимание, что « 27x 3 » — это « (3x) 3 », значит « a » в исходном многочлене — это « 3x ».

Чтобы понять, что является « b » в исходном многочлене, рассмотрим последний одночлен — « 8 ». Вспомним, что « 8 » — это « 2 3 », значит « b » в исходном многочлене — это « 2 ».

Рассмотрим одночлены посередине « 54x 2 » и « 36x ». При сравнении многочлена с кубом суммы « a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 » можно понять, что эти одночлены должны быть « 3a 2 b » и « 3ab 2 соответсвенно.

Преобразуем одночлены « 54x 2 » и « 36x » в виде « 3a 2 b » и « 3ab 2 ». С учетом того, что ранее мы нашли, что в нашем многочлене « a » — это « 3x », а « b » — это « 2 ».

Внимательно проверяйте, правильно ли вы разложили числовые коэффициенты.

Проверим, верно ли мы разложили одночлены « 54x 2 » и « 36x ».

После необходимых преобразований становится видно, что многочлен
« 27x 3 + 54x 2 + 36x + 8 » является правой частью формулы куба суммы
« (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ».

Используем формулу куба суммы и решим пример до конца.

Источник

Формулы сокращенного умножения

Таблица формул сокращенного умножения

Примеры использования формул

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Пример: (x + 3y) 2 = x 2 + 2 ·x·3y + (3y) 2 = x 2 + 6xy + 9y 2

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

Пример: 9x 2 – 16y 2 = (3x) 2 – (4y) 2 = (3x – 4y)(3x + 4y)

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Пример: (x + 2y) 3 = x 3 + 3·x 2 ·2y + 3·x·(2y) 2 + (2n) 3 = x 3 + 6x 2 y + 12xy 2 + 8y 3

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 –ab+b 2 )

Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

Пример: 64x 3 – 8 = (4x) 3 – 2 3 = (4x – 2)((4x) 2 + 4x·2 + 2 2 ) = (4x – 2)(16x 2 + 8x + 4)

Формулы для квадратов

Формулы для кубов

Формулы для четвертой степени

В заданиях ЕГЭ по математике применяются формулы сокращенного умножения.

Источник

Сокращенное умножение: правила, формулы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.

Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:

Обучение на курсах по математике — дорога к хорошим оценкам в школе и высокому баллу на экзамене.

Доказательство формул сокращенного умножения

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.

Бином Ньютона

Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

a n − b n = (a − b) * (a n-1 + a n-2 * b + a n-3 * b 2 + … + a * b n-2 + b n-1 ).

Для четных показателей можно записать так:

a 2*m − b 2*m = (a 2 − b 2 ) *(a 2*m−2 + a 2*m−4 * b 2 + a 2*m−6 * b 4 + … + b 2*m−2 ).

Для нечетных показателей:

a 2*m+1 − b 2*·m+1 = (a − b) * (a 2*m + a 2*m−1 * b + a 2*m−2 * b 2 + … + b 2*m ).

Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10) 2 = 55 2 + 2 * 55 * 10 + 10 2 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.

Задание 2

Что сделать: упростить выражение 64 * с 3 – 8.

Как решаем: применим разность кубов: 64 * с 3 – 8 = (4 * с) 3 – 2 3 = (4 * с – 2)((4 * с) 2 + 4 * с * 2 + 2 2 ) = (4 * с – 2)(16 * с 2 + 8 * с + 4).

Задание 3

Как решаем:

Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂

Источник