Альтернативная логика что это
Многозначная логика своими руками
Существует заблуждение, будто бы «когда-то давно существовала только одна логика — формальная, но с тех пор учёные уже придумали ей массу альтернатив».
Если попросить назвать эти альтернативы, то вполне вероятно, что в пример будет приведена какая-то бессодержательная и размытая конструкция вроде «диалектической логики», однако возможен и вариант приведения содержательной: «нечёткая логика», «многозначная логика» и т. п.
В большинстве случаев, правда, отвечающий не в курсе устройства того, про что он говорит, и реальное его знание о приводимом им в пример заканчивается чем-то вроде «в нечёткой логике всё нечётко».
Это, впрочем, не умаляет реальной содержательности того, что он упомянул — пусть даже он и не понимает его устройства. Заблуждение тут не в том, что «он думает, будто существует нечёткая логика, но на самом деле такой нет», а в том, что «он думает, будто бы нечёткая логика — альтернатива формальной, но на самом деле…».
Что же должно в данном случае следовать за «но на самом деле…»? Если это не «альтернатива», то что? Дополнение? Развитие? Усовершенствование?
Ни то, ни другое и ни третье. Подобно тому, как определив f(x) = 10x + 1, мы не создали альтернативу математике и не дополнили её основы, любая из этих логик — «нечёткая», «многозначная» и т. п. — представляет собой лишь «определение специфического языка на базе другого языка, позволяющего в некоторой предметной области — на некотором классе задач — вести рассуждения быстрее и понятнее».
Мы заводим f(x), чтобы короче записывать 10x + 1, поскольку, например, именно такое выражение в нашей задаче особенно часто встречается. Мы вводим дополнительное прилагательное «неформальный», чтобы короче говорить «не принадлежащий к множеству формализованных видов деятельности». И ровно так же мы вводим «логику в логике» — «логику второго порядка» — чтобы было проще вести рассуждения определённого типа. Логика же первого порядка не только остаётся в деле, но и является обязательной для введения логики второго порядка, подобно тому, как для f(x) для нас обязательны были понятия «сложение», «умножение», «число» и «переменная».
Чтобы лучше представить себе, как это бывает, рассмотрим, например, такую ситуацию.
Эта система утверждений вполне может выступать в качестве набора предпосылок — базовых утверждений, и к ней мы вполне можем задавать вопросы.
Разумеется, у слов естественного языка всегда есть некоторая произвольность трактовки. Тут, в частности, неясно…
Заметьте, все эти вопросы следуют из формальной логики: именно она побуждает нас сначала разобраться со значением используемых в вопросах слов. И, что немаловажно, со значениями слов, которые будут использоваться в ответах.
Давайте так и сделаем.
Здесь уже начинает просматриваться «многозначная логика». И велик соблазн сказать что-то вроде:
«Вот видите, такая логика гораздо ближе к реальности, чем формальная — ведь в реальности правда бывает, что кто-то не может ответить сразу».
«Вот видите, как важно отказаться от „закона исключённого третьего“: мы ввели вариант „возможно“ и нам сразу стало гораздо легче описывать реальность».
И действительно, вот это вот «возможно» вроде бы означает одновременно «да» или «нет». Мы даже именно так и собрались трактовать этот ответ: «он в курсе, но пока точно не знает, да или нет».
Однако это — иллюзия.
«Исключённое третье» никуда не делось, оно всё ещё тут. Иллюзия же его исчезновения возникла благодаря тому, что вы мысленно отождествили «да», сказанное кем-то в ответ, с «истиной», как значением данного высказывания.
Смотрите в чём штука. В нашей «логике-2» («логике второго порядка») есть утверждение
Однако оно есть именно что в «логике-2». В «логике-1» же полная форма утверждения иная:
Или, если его записать более подробно, то
Утверждение «Вася сказал „да“» является истинным.
Отличие между «да» и «истина» было бы ещё более рельефным, если бы мы обратили внимание на другие варианты.
Утверждение «Петя сказал „нет“» является истинным.
Из этого ведь не следует, что «нет» и «истина» — одно и то же?
Но самое главное, верно и вот это:
Исключённое третье действует не для «возможно», «да» и «нет». Оно действует для «Вася сказал „да“», «Петя сказал „нет“», «Коля сказал „возможно“».
Либо «Вася сказал „да“» — истинно, либо «Вася сказал „да“» — ложно.
Может казаться, будто бы формальная логика требует считать, что, если «Вася сказал „да“» — ложно, то из этого должно следовать «Вася сказал „нет“».
Это, однако, не так. Из этого следует только то, что «Вася не сказал „да“». Для иных же выводов нам нужны дополнительные данные.
Например, мы можем ввести дополнительные базовые утверждения:
будет следовать, что Вася сказал «нет» или Вася сказал «возможно».
Повторюсь: ответы «да», «нет» и «возможно» — не то же самое, что «истинно» или «ложно» в отношении утверждений вида «Вася дал такой-то ответ». Однако явное лингвистическое сходство между ними заставляет нас ошибочно отождествлять одно с другим.
Причём иллюзия была бы ещё сильнее, если бы я — по примеру многих «типа альтернативных логик» — использовал бы вместо «да» и «нет» совсем те же самые слова: «истина» и «ложь».
На деле мы вовсе не вводим «альтернативную логику», а строим внутри формальной логики некий DSL («Domain Specific Language» — локальный предметно-ориентированный язык внутри другого языка). Именно на нём мы задаём соотношения между ответами друзей Димы и ответами на те вопросы, которые можно дополнительно задать к этим ответам.
И вот уже для этих их ответов — «да», «нет», «возможно» (а вовсе не для самих утверждений об их ответах) может не действовать правило исключённого третьего и т. п.
Давайте, кстати, попробуем проделать это для наглядности.
Однако чтобы не попасть в плен иллюзий, с самого начала разграничим операции логики-1 и логики-2 не только по смыслу, но и по именам.
«Истина» или «ложь» будут называться «логическим значением высказывания» в логике-1.
«Да», «нет» и «возможно» будут называться «статусами» в логике-2.
имеет смысл: «статус Васиного прихода = да».
«На вопрос о своём приходе Вася ответил „да“» = истина
означает, что мы ввели предпосылку, что считаем истинным утверждение
Вот эти символы у нас используются в логике первого порядка.
В логике второго порядка мы будем по-другому называть некие аналоги этих операций, чтобы подчеркнуть их смысловое отличие от оных в логике первого порядка.
И вот как тогда мы могли бы определить «логическое и» в логике-2.
По сути дела, тут приведён набор правил «замены выражений». Что-то вроде, «если нам встретится выражение „да && нет“, то мы можем заменить его на „нет“, поскольку они тождественны друг другу».
Кроме того, мы считаем, что от перестановки параметров результат не меняется, поэтому «да && нет» тождественно «нет && да» и, следовательно, второе выражение тоже можно заменить по правилу, введённому для первого.
Как можно видеть, «&&» у нас получилось чем-то вроде «пессимистического объединения»: в каждом случае она выбирает из двух вариантов наиболее печальный для Димы.
Но, кроме того, введём ещё «логическое или» из логики-2.
«Логическое или»-2 — напротив, «оптимистическое»: оно из двух вариантов выбирает наилучший для Димы.
Теперь мы можем ввести понятие логической переменной в логике-2 тоже.
Переменная — просто буква, которой обозначается выражение, способное принимать один из трёх статусов «да», «нет» и «возможно».
Логические переменные логики-2 тоже следует отличать от логических переменных логики-1.
В логике-1 переменная будет выглядеть, например, вот так.
Но в логике-2 уже будет иначе
Дальше мы — тоже через набор утверждений — зададим алгоритм преобразования выражений в логике-2.
Этот алгоритм может показаться сложным для понимания, но его суть в том, что «надо применять правила замены, пока от них всё ещё меняется выражение».
На языке Wolfram это выглядело бы гораздо короче.
rules — это вышеприведённый список правил замены, а //. — команда «применять их, пока выражение не перестанет изменяться».
Правда, для того, чтобы это превратилось в программу, нам надо каким-то образом указать в программе, что к правилам следует добавить ещё и их же, но с переставленными местами операндами.
то надо добавить ещё и правило
Это можно записать так:
Казалось бы, к чему тут вообще эта отсылка к некому языку программирования?
О, в этом есть глубокий смысл. Компьютеры и языки программирования на них, как вы знаете, построены целиком и полностью на формальной, двузначной логике.
Однако как можно видеть, без каких-либо особых ухищрений на компьютере можно реализовать и эту нашу многозначную логику. Нам не надо для этого менять архитектуру компьютера, вводить, кроме «0» и «1», ещё какое-то третье значение кванта информации — бита и так далее. Вот этой вот «негибкой прямолинейной бинарности», оказывается, вполне достаточно.
Описание того, как в логике-2 преобразуются выражения — чисто техническое. Там нет ничего про конкретные высказывания на ней и способы их анализа. Просто «есть правила — преобразуй выражения по ним — получишь ответ».
Валидность же этих правил и самого алгоритма доказывается исключительно по логике-1 — той самой формальной.
Не будь программы, можно было бы заподозрить, что тут, в рассуждениях «на словах» просто где-то сокрыта ошибка (и, возможно, не одна), а на самом деле ничего работать не будет. Чтобы же оно заработало, необходима «альтернативная логика».
Но вот наличие работающей программы исключает такой вариант. Действительно мы можем строить выражение и, преобразуя его по этому алгоритму, получать однозначно трактуемый ответ.
По этой причине и приведён код на Wolfram.
Вот как это на нём записывается.
Задание значений переменных (статусов ответов).
Зададим интересующие нас вопросы.
На примере последнего выражения посмотрим, что, по сути, делает наш алгоритм/программа.
Сначала на место переменных подставляются их значения.
Теперь для каждого правила из списка мы пробуем найти подвыражение, соответствующее тому, что у этого правила слева от стрелки.
Первое, что будет найдено «возможно && да → возможно». Соответствующее подвыражение следует заменить правой от стрелки частью правила.
Теперь уже следующим подходящим правилом замены будет «возможно || нет → возможно». После замены у нас останется
Дальше, сколько ни проходи по списку, изменить выражение уже не удастся, поэтому оно — окончательный ответ.
При этом видно, что наша система под кодовым названием «логика-2» уже столь формализована и абстрактна, что не зависит от того, что именно скрывается под именами переменных «a», «b» и «c». Мы можем применять её для любых других высказываний, которые тоже могут иметь статус «да», «нет» и «возможно».
Однако трактовать результаты мы должны строго в том же смысле, в котором трактовались ответы друзей Димы.
Например, «возможно» тут означает не вообще всё, что можно назвать словом «возможно», а именно то самое «возможно», которое соотносится с теми самыми «да» и «нет» по описанному нами списку правил.
Вот в этом уже проявляется логика-1 — формальная логика: всё это имеет хоть какой-то содержательный смысл только в том случае, если мы следуем правилам формальной логики, и тот смысл, который оно имеет, — тот и только тот, который косвенно описан в списке правил замены.
Причём список замены нами построен тоже исключительно по правилам формальной логики: по сути, из некоторого набора утверждений мы логикой-1 выводили то, как должно выглядеть правило преобразования.
Так, мы для начала воспользовались тем, что друзья Димы на все вопросы отвечают только правду, а потому приравняли их ответ на приглашение к статусам их прихода, названным аналогично: «да», «нет», «возможно».
Потом мы для каждой пары статусов и для каждой операции — «||» и «&&» — задали преобразование, соответствующее тому смыслу, который мы него вкладываем.
Нам, в частности, хотелось, чтобы «&&» было подобно «логическому и» из логики-1: мы говорим «да, все перечисленные придут», если все перечисленные сказали «да», и мы говорим «все перечисленные возможно придут», если никто из них не сказал «нет». И к этому желаемому поведению операции мы тоже подобрали правило преобразования при помощи формальной логики.
Мы могли бы на этом не останавливаться и ввести ещё какие-то операции — чтобы расширить множество систем базовых утверждений, которые могут анализироваться таким образом.
Предположим, мы бы хотели ещё рассматривать те ситуации, когда кого-то из друзей Димы ещё не успели спросить (или он ответил что-то неразборчивое, а потом связь прервалась).
ОК. Введём для этого ещё один статус ответа в рамках логики-2: «неизвестно».
Для него нам тоже надо задать правила преобразования.
Логика-2 из трёхзначной превращается в четырёхзначную, но она по-прежнему является лишь локальным специфическим языком в рамках логики-1. Алгоритм преобразования высказываний остаётся всё тем же и всё так же в пару строк реализуется на этом вашем «бинарном» компьютере и с его бинарной логикой.
Дальше дело доходит и до «отрицания», которое пока ещё не реализовано.
Как уже говорилось выше, отрицание из логики-1 — это не то же самое, что мы могли бы назвать «отрицанием» в рамках логики-2.
В логике-1 из того, что
следует лишь то, что
… то есть, как максимум, просто перефразировка его же самого́.
Если мы хотим, чтобы полный аналог такой операции в логике-2 обладал свойством исключённого третьего, то мы, исходя из того, что статусов у нас сейчас четыре — «да», «нет», «возможно» и «неизвестно» — должны заключить следующее: «отрицанием» каждого из статусов является список из трёх других.
У нас — это тоже следует из формальной логики — просто нет иного выхода: ведь у нас нет специальных имён для статусов вида «всё, кроме „да“».
Но при этом правило исключённого третьего для системы с четырьмя статусами однозначно утверждает: если
то либо Вася сказал «нет», либо Вася сказал «возможно», либо ответ Васи неизвестен.
Однако вариант реализации со списком нам вполне доступен — мы вполне можем определить «отрицание» в логике-2 следующим образом:
…и трактовать ответы со списком, как возможные и равноправные альтернативы нашего выражения.
Правда, для этого ещё надо дополнить сам алгоритм преобразования, чтобы он позволял проделывать логические операции не только с двумя статусами, но и со статусом и списком статусов или с двумя списками статусов.
По смыслу — примерно вот так:
Если вам вдруг интересно, то на Wolfram это будет записываться вот так:
Однако это не единственный вариант того, что мы могли бы назвать «отрицанием» — благо, теперь мы разграничиваем отрицание в логике-1 и нечто, названное «отрицанием», в логике-2.
Например, мы могли бы считать, что
с точки зрения практических интересов Димы означает «я по-прежнему не знаю, придёт ли он».
Кроме того, быть может, мы рассматриваем ситуацию, как ещё развивающуюся, а потому из «сейчас он не сказал “да”» не следует, что он этого не скажет в дальнейшем.
В этом же смысле можно трактовать «Васе не неизвестно»: Вася как бы уже в курсе Дня Рождения, просто Дима не знает его ответ, а потому считает, что из этого следует, что Вася, возможно, придёт.
Поэтому мы можем добавить ещё одно «вроде как отрицание».
Такая операция, даже если мы назовём её «отрицанием», уже не подобна отрицанию из логики-1: во-первых, для неё не выполняется закон исключённого третьего, а, во-вторых, она ещё и не взаимно однозначна — в частности, двойное её применение не всегда приводит к возврату к исходному статусу.
Тем не менее, мы ей вполне можем пользоваться, полностью оставаясь в рамках формальной логики, поскольку используем мы её лишь как набор правил преобразования выражений в рамках логики-1. Как статус ответа в рамках логики-2, но не как значение выражения в рамках логики-1.
Причём мы можем её использовать даже вместе с операцией «!» — с аналогом полного отрицания.
И даже можем завести третий вариант «отрицания».
Здесь есть взаимная однозначность и одновременно с тем выполняется нечто, вроде «исключённого третьего», но четыре статуса при этом как бы распадаются на две пары.
Однако мы всё равно можем использовать эту операцию и даже приписать некий практический смысл её трактовке.
Например, она может относиться к случаям вида:
Известно, что Вася не ответил и не ответит «да».
Для Димы в практическом смысле это знание аналогично тому, что Вася ответил «нет».
Если бы было известно, что Вася не ответил и не ответит «нет», то в практическом смысле для Димы это — аналог ответа «да».
Если известно, что Вася не ответил «возможно», то Дима считает, что ответ Васи ему неизвестен.
Если известно, что Вася ответил хоть как-то (его ответ не неизвестен), то для Димы это означает, что Вася, возможно, придёт.
Однако неверно было бы считать, что операции «наоборот», «не» и «!» означают одно и то же — раз уж мы все их в процессе рассуждений называли «отрицанием». Нет, формальная логика требует трактовать их именно так, как они были введены, не подменяя одну другой.
И тем более ни одну из них нельзя отождествить с отрицанием из формальной логики — даже «!», которая вроде бы выглядит, как полный аналог.
Аналог или не аналог, но эти операции находятся в разных смысловых пространствах.
Собственно, те «парадоксы», которые подводят людей к мыслям: «формальная логика ограничена», «есть вещи, с которыми она не справляется» и т. п., — как раз и возникают из-за незаметного смешения смысловых пространств:
Это далеко не полный перечень вариантов, однако все они сводятся к отождествлению разных смысловых пространств, из-за чего и возникают ошибочные суждения о логическом выводе из некоторого набора утверждений и о логике в целом. Но стоит перестать это делать, как все такие «парадоксы» исчезнут.
Наконец, можно было бы задаться вопросом: а действительно ли надо вводить логику-2 исключительно как DSL в рамках логики-1? Ведь можно просто повторить некий (возможно, адаптированный) набор правил из неё в логике-2, после чего считать логику-2 — отдельным вариантом логики?
Да, так действительно можно было бы сделать. Однако в этом случае вполне можно было бы ровно так же математику, для которой мы локально ввели некую удобную нам функцию назвать «альтернативной математикой».
Таким образом, слово «альтернативный» перестаёт значить то, что под ним обычно понимается.
Формальная логика — это минимальный набор правил, требуемых для построения любой другой «логики» более высокого порядка в виде системы высказываний в рамках формальной логики.
От того, что мы назвали такую систему «тоже логикой», ничего не изменилось — она от этого не стала неким образом отличаться от любого другого набора высказываний в рамках формальной логики.
Всё, что можно проанализировать при помощи любой содержательной логики-2, можно проанализировать и при помощи логики-1 — просто это будет более многословно и менее удобно.
Поэтому любая логика-2 является лишь «альтернативным (более кратким и наглядным) способом записи рассуждений», но не «альтернативным способом ведения рассуждений».
Логика: предикатная, формальная и сентенциальная. Кванторы и возникновение информатики
1 | Введение
Логика, как эпистемологический инструмент, — исследующий знание как таковое, — изобретена независимо в трёх отдельных государствах: Греции (Аристотелем), Китае (до правления Цинь Шихуанди) и Индии. В последних двух государствах логика не распространилась настолько, чтобы получить полноценное развитие. В античной же Греции логика сформировалась в своих основах столь определённо, что дополнилась только через 2 тысячелетия.
Значительные изменения в греческую логику, помимо Буля, Моргана и Рассела, внёс Фреге — самая важная фигура основателей формальной семантики. Он разработал логику предикатов и 2 вида кванторов, попытавшись создать «логически совершенный язык» о котором мечтал Лейбниц. Значимой личностью является также Гёдель, который открыл знаменитые две теоремы о неполноте, описывающие невозможность объединения множества доказуемых утверждений со множеством истинных. Он утверждал, что доказательства математики зависят от начальных предположений, а не фундаментальной истины, из которой происходят ответы. Одна из главных идей его работ состоит в том, что ни один набор аксиом, — в том числе математических, — не способен доказать свою непротиворечивость.
На этом этапе некоторые заметят влияние платонизма на австрийского логика. Совершенно верно, ведь Гёдель не раз заявлял о влиянии метафизики Платона на собственную деятельность. Но сам Платон развитию формальной логики способствовал лишь косвенно: в истории он вносит вклад в развитие другого направления — философской логики. Платоном созданы вопросы, на которых основывается вся западная академическая философия вплоть до наших дней. Философия, в том виде, котором она известна, возникла только благодаря учителю Аристотеля.
Платон — учитель Аристотеля
В другие периоды в логику также вносили дополнения:
античной школой стоицизма введены термины «модальности», «материальной импликации», «оценки смысла и истины», которые являются задатками логики высказываний;
также средневековыми схоластами введены несколько понятий;
Но главное, что сами логические операции не изменились. «Органон» Аристотеля, как сборник из 6 книг — первоисточник, где подробно описаны главные логические законы. «Органон» (с древнегреческого ὄργανον), означает — инструмент. Аристотель считал, что логика является инструментом к познанию. Он объединяет методом получения информации такие науки:
Физика — наука о природе;
Метафизика — наука о природе природы;
Биология — раздел физики, наука о жизни;
Психология — раздел физики, наука о душе;
Кинематика — раздел физики, наука о движении;
2 | Терминология
У каждой из наук должен быть идентичный фундамент в способе получения гнозисов (знаний), который позволит упорядочить информацию и вывести новые силлогизмы (умозаключения). Только таким образом получится прогресс в познании истины. Без логики наука была бы похожа на коллекционирование фактов, ибо информация бы не поддавалась анализу.
Сам Аристотель находит логике как средству убеждения иное применение: в риторике, спорах, дебатах, выступлениях и т.д., описывая это в труде «Риторика». В западной философии принято давать чёткие определения перед рассуждениями, поэтому определимся с терминами. Логика — наука о правильном мышлении.
В языковой зависимости возникают трудности трактовки термина «наука», но даже в оригинальном названии труда Фридриха Гегеля «Наука логики» — «Wissenschaft der Logik», употребляется слово «наука» (Wissenschaft). Поэтому придём к консенсусу и будем считать, что научной можно назвать ту дисциплину, в которой возможны открытия, исследование и анализ. Логика в таком случае — наука, ибо внутри неё возможно совершать открытия. Яркий пример — комбинаторика Лейбница.
Слово «правильный» веет нормативными коннотациями: правильное поведение, правильное выражение лица, и т.д. Перечисленное соответствует некоторым критериям и логика выставляет их (критерии) для правильного мышления.
Слово «мышление» понимается на интуитивном уровне, но чёткое объяснение затруднительно, обширно и иногда не объективно.
Бюст Аристотеля
3 | Формальная и неформальная логика
Первоначально, деление логики происходит на формальную и неформальную. Формальная логика отличается тем, что, в отличие от неформальной, записывается уравнениями. Неформальная же логика пишется выражениями в форме языка, поэтому она подходит для риторики, а формальная логика для абстрактных наук.
Формальная логика равным образом делится на дедуктивную и индуктивную. Они различаются тем, что в дедуктивном аргументе истинность условий гарантирует истинность умозаключения или вывода. В индукции же, при истинности условий одинаково возможен ложный и истинный вывод.
Законы формальной логики:
1. Закон тождества (А = А): эквивокация или двусмысленность недопустимы. Нельзя подменять одно понятие, другим.
2. Закон непротиворечия (А ∧ ¬А = 0): одно и то же утверждение не может быть истинным и ложным одновременно.
3. Закон исключения третьего или бивалентности (А ∨ ¬А = 1): утверждение может быть либо истинным, либо ложным — третьего не дано.
Принципы формальной логики:
1. Принцип достаточного обоснования: достаточными являются такие фактические и теоретические обоснования, из которых данное суждение следует с логической необходимостью.
4 | Сентенциальная логика (алгебра высказываний)
Базовые операции сентенциальной логики — логики высказываний, где заглавная буква означает предложение:
Отрицание (Утверждение ¬A истинно тогда и только тогда, когда A ложно): если имеем утверждение «А» и имеем утверждение «не А», то, когда утверждение «А» будет истинным — утверждение «не А» будет ложным. Также и когда утверждение «А» будет ложным — утверждение «не А» будет истинным.
Конъюнкция (Утверждение A ∧ B истинно, если и A, и B — истинны. Ложно в противном случае): в английском языке — союз «and/&»; в русском — «и». В утверждении «А и В», между «А» с «В» стоит знак конъюнкции — «∧». Утверждение «А и В» является истинным, если «А» с «В» являются истинными одновременно. Если хоть один элемент ложен, то всё утверждение ложно. «А и В» подразумевает, во-первых: истинность «А», во-вторых: истинность «В».
Дизъюнкция (Утверждение A ∨ B верно, если A или B (или оба) верны. Если оба не верны — утверждение ложно): в английском языке — союз «or»; в русском — «или». Существует два типа дизъюнкции — включающая и исключающая (в логике используется включающее «или»). Условия таковы, что утверждение «А или В» будет истинным, когда один или оба элемента истинны, но никогда — когда оба элемента ложны. Это противоречит нашему обыденному мышлению, т.к. когда спрашивают: «Чай или кофе?» мы выбираем один элемент, но в логике подразумевается выбор не только одного, а нескольких возможных.
Импликация (Утверждение A ⇒ B ложно, только когда A истинно, а B ложно): в английском языке — «therefore»; в русском языке — «следовательно». Подразумевает истинность одного элемента при истинности другого. Потому что условия истинности соблюдаются всегда, кроме случая, когда «А» истинно, а «B» ложно. Поэтому утверждение: «А» ложно, следовательно «B» ложно — истинно. Покажется, что когда «А» ложно, а «В» истинно — не соблюдаются условия, но это не так. Если вы скажете, что после дождя промокните — это утверждение будет истинным вне зависимости от того, пошёл дождь или нет.
Эквивалентность (Утверждение A ⇔ B истинно, только если оба значения A и B ложны, либо оба истинны): если истинно утверждение «А, следовательно В» и истинно утверждение «В, следовательно А», то истинными являются выражения «А эквивалентно В» и соответственно «В эквивалентно А». Условия истинности соблюдаются в случаях, когда оба элемента истинны или оба ложны.
Значение переменных
5 | Предикатная логика первого порядка
В XX веке, после добавлений в область логики работ Лейбница и Фреге, на основе этой дисциплины создаётся новая — информатика. Программирование сохраняет преемственность с видоизменённой логикой Аристотеля — предикатной логикой, описательная способность которой выше, чем у логики высказываний (сентенциальной).
Прежде чем разобрать этот новый тип логики, поговорим об её отличии от сентенциальной. Главная особенность предикатной логики, что заглавными буквами обозначаются предикаты, а не целые высказывания. Можно сказать, что предикат — это математическая функция, которая «накладывает» множество субъектов на множество утверждений.
Высказывание «Я пошёл в зоопарк» — состоит из субъекта и предиката. В нём субъект — «Я», а предикат — то, что остаётся кроме субъекта («пошёл в зоопарк»). Субъект — тот, кто совершает действие в предложении или имеет выраженное свойство; предикат — всё оставшееся. Таким образом, если в сентенциальной логике высказывание «Я пошёл в зоопарк» выражалось бы одной заглавной буквой, то в логике предикатов использовались бы две буквы (заглавная и подстрочная): «P» — для предиката; «x» — для субъекта. Субъекты обозначаются переменной («x»), потому что в предикатной логике появляются две относительно новые операции: универсальный и экзистенциальный кванторы. Особенность кванторов заключается в том, что ими возможно записать выражение истинное при всех возможных переменных «х» или хотя бы при одном.
Универсальный квантор (квантор всеобщности) обозначается символом — «∀», с указанием переменной под ним. Возьмём утверждение «Все пингвины чёрно-белые». В логике высказываний оно бы выражалось как «X ⇒ P», где «X» — нечто являющееся пингвином, а «P» — нечто являющееся чёрно-белым. В предикатной логике же используются субъекты и предикаты, поэтому нечто являющееся пингвином (субъект), обозначалось бы переменной «х» снизу под предикатом. «»х» — является пингвином, следовательно, является чёрно-белым». Записывается так: P(х) ⇒ B(х), где P(х): х — пингвин; B(х): x — чёрно-белый.
Однако этого недостаточно, ведь непонятно, один субъект «х» чёрно-белый или больше одного, а может вообще все. Поэтому утверждение «»х» — является пингвином, следовательно, является чёрно-белым», берётся в скобки и перед скобками используется символ «∀» с переменной «х» под ним — которые вместе и будут универсальным квантором.
Универсальный квантор переводится как: «Для всех «х» истинно, что …». Теперь утверждение «х — является пингвином, следовательно, является чёрно-белым» с универсальным квантором перед ним, расшифровывается так: «Для всех «х» истинно, что «х» — является пингвином, следовательно, является чёрно-белым». Это означает, что чем бы ни был объект во вселенной, если этот объект пингвин — он является чёрно-белым. Полная запись будет выглядеть так:
Экзистенциальный квантор (квантор существования) обозначается символом — «∃» с указанием переменной под ним. Возьмём утверждение «Некоторые пингвины серые». Как и в прошлый раз, выражение «»x» — является пингвином и «х» — является серым» возносим в скобки и ставим перед ними квантор, в этом случае экзистенциальный с указанной переменной. «»x» — является пингвином и «х» — является серым» записывается так: P(х) ∧ C(х), где P(х): х — пингвин; C(х): x — серый.
Экзистенциальный квантор можно перевести так: «Есть такой «х», для которого будет истинно, что …». Подразумевается, что есть как минимум один «х», для которого выполняются условия выражения. Если вам говорят, что ДНК не существует, достаточно показать одну молекулу дезоксирибонуклеиновой кислоты для опровержения этого утверждения. Также и с кванторами, если существует хотя бы один серый пингвин, то утверждение об отсутствии серых пингвинов будет ложно. Полная запись экзистенциального квантора для выражения «Есть такой «х», для которого будет истинно, что «x» — является пингвином и «х» — является серым», будет выглядеть так:
6 | Заключение
Примечательно, что есть возможность перевода одного вида квантора в другой. Возьмём утверждение «Все пингвины не являются серыми». Для универсального квантора текстовая запись будет такая: «Для всех «х», будет истинным утверждение о том, что если «х» — является пингвином, то «х» — не является серым объектом». Но утверждение изменяется и для экзистенциального квантора, используя знак отрицания: «Нет такого «х», для которого бы было истинным утверждение о том, что «x»— является пингвином и «х»— является серым».
В середине XIX века, Готлоб Фреге дополнил логику Аристотеля двумя этими операциями, которые позже сформировались в отдельную дисциплину — предикатную логику. С введением в логику экзистенциального квантора (после универсального) — предикатная логика, в основе своей, завершилась как система…
Источники:
1 — Аристотель: «Органон» — «Первая аналитика» и «Вторая аналитика»;
2 — Аристотель: «Риторика»;
3 — Готлоб Фреге: «Исчисление понятий»;
4 — «Monatshefte für Mathematik und Physik» 1931 г.: Курт Гёдель «О принципиально неразрешимых положениях в системе Principia Mathematica и родственных ей системах»;
5 — The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz;
6 — Мельников Сергей: «Введение в философию Аристотеля»;
7 — Гильмутдинова Нина: «Логика и теория аргументации»;