Что показывает математическое ожидание

Математическое ожидание

Математическое ожидание — это ожидаемый результат от какого-то действия.

Например, можно рассчитать ожидаемую стоимость инвестиции в определённый момент в будущем. Рассчитывая математическое ожидание перед тем, как инвестировать, можно выбрать наилучший сценарий который, по мнению инвестора, даст наилучший результат.

Случайная величина может быть двух типов:

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается этой формулой:

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается:
1. Сначала нужно умножить каждое из возможных результатов на свою вероятность (например: вероятность, что выпадет «1» — 1/6, «2» — 1/3, значит умножаем 1 на 1/6, 2 на 1/3, и т.д.),
2. Затем суммируем все эти значения (1 × 1/6 + 2 × 1/3 и т.д.).

Для непрерывной случайной величины используется эта формула:

В этом случае рассчитывается интеграл в заданном интервале.

Примеры вычисления математического ожидания

Пример 1

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:

xi	−1	1	2	3	4
pi	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

Используется формула для дискретной случайной величины:

M(X) = ∑ xi×pi = −1×0,1+ 1×0,2 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,3 = −0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,3 + 1,2 = 2,2

Пример 2

Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = 2x, при x∈(0,1) и f(x) = 0 в остальных точках.

Используется формула для непрерывной случайной величины:

Пример 3

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:

xi	1	2	3	4	5
pi	0,3	0,3	0,1	0,1	0,2

Используется формула для дискретной случайной величины:

M(X) = ∑ xi×pi = 1×0,3 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,1 + 5×0,2 = 0,3 + 0,6 + 0,3 + 0,4 + 1 = 2,6

Пример 4

Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = (1/10).(3x²+1), при x∈(0,2) и f(x) = 0 в остальных точках.

Используется формула для непрерывной случайной величины:

Источник

Математическое ожидание

Материал из MachineLearning.

Математическое ожидание — мера среднего значения случайной величины в теории вероятностей. В зарубежной литературе обозначается через (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской (возможно, от англ. Mean value).

Содержание

Определение

Основные формулы для математического ожидания

Математическое ожидание дискретного распределения

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

Математическое ожидание целочисленной величины

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности

Теперь возьмём производящую функцию последовательности «хвостов» распределения

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

Математическое ожидание случайного вектора

Пусть — случайный вектор. Тогда по определению

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть — борелевская функция, такая что случайная величина имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

если имеет дискретное распределение;

если имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение случайной величины общего вида, то

Простейшие свойства математического ожидания

Дополнительные свойства математического ожидания

Пусть — монотонная последовательность неотрицательных почти наверное интегрируемых случайных величин. Тогда

Примеры

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

то есть математическое ожидание не определено.

Источник

Теория вероятностей и антропогенный фактор

Введение

Общая информация

Я все же введу пару определений, чтобы хоть немного формализовать написанное.
1) Если имеется несколько возможных случайных исходов, «равновозможных» между собой, то классическая вероятность — это отношение количества «хороших» случайных (элементарных) событий к их общему количеству. Например, если у вас есть 5 шариков, 2 из которых белые, то вероятность взять именно белый шар будет равняться 2/5.
2) Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины до ее измерения нельзя точно предсказать. Классический пример — игральная кость. Кидая ее, можно случайно получить одно из шести возможных значений.
3) Математическое ожидание случайной величины — это сумма всех возможных ее значений, помноженных на их вероятность. Говоря простым языком, это «среднее значение» принимаемой случайной величины. Для игральной кости оно равно (1+2+3+4+5+6)*1/6=3.5. Что нам это дает? То, что кидая кость много (например 100) раз, в среднем каждый раз будет выпадать 3.5, а в сумме выпадет примерно 100*3.5=350. При увеличении количества бросков, относительная погрешность реального результата и его математического ожидания, помноженного на количество бросков, будет уменьшаться все сильнее.

Теперь суть того, что я, собственно, хотел рассказать: математические подсчеты довольно хорошо прогнозируют разные события, если они напрямую не зависят от выбора человека. Если же вмешивается антропогенный фактор, то строить какие-то планы, опираясь только на теорию вероятности нужно с осторожностью. Приведу пару простых примеров. Возможно они немного надуманные, но зато простые и понятные.

Монетка

Случай раз

Вам во время пары в универе (урока в школе, рабочего дня) стало скучно и Вы предложили соседу по парте (коллеге по работе) сыграть в следующую игру: подбрасываете монетку; если выпал орел — Ваш друг платит вам 5 рублей, если же выпала решка, то Вы платите 5 рублей. От скуки человек может и согласиться. Вы будете играть так весь день, а в конечном итоге оба останетесь практически при тех же деньгах, что были изначально. Вероятность выпадения любой стороны монетки 1/2 и, как следствие, математическое ожидание Вашего выигрыша равно нулю. Так что в среднем выигрыш/проигрыш будет в районе плюс-минус 10 рублей. Ну, может быть, немногим больше. В любом случае, для бюджета не критично.

Случай два

Ситуация та же, но вы предложили за проигрыш платить не по 5, а по 1000 рублей. Скорее всего ваш друг/коллега откажется. Ибо не хочется просто так потерять ощутимую сумму денег.

Что же изменилось? Математическое ожидание выигрыша по-прежнему равно нулю. С точки зрения математики все практически то же самое. А тут уже вмешался человеческий фактор, и Ваш план скоротать скучный день провалился.

Лотерея

Вы меняете условия и делаете лотерею практически благотворительной. Теперь выигрыш 25 рублей. Математическое ожидание выигрыша минус стоимость билета — 2.5 рубля! Вы даже останетесь в убытке! Но народ в большинстве своем по-прежнему не будет жаловать Вашу лотерею, ибо выигрыш немногим больше цены билета. В лотерею будут играть разве что школьники, которым не хватает мелочи на мороженное.

Читатель может решить, что дело просто в количественном размере выигрыша. Но это далеко не обязательно. Приведу еще один довольно надуманный, но показательный пример:

Очень крупная лотерея

Вам предлагают подарок неслыханной щедрости. «Супер-лотерею». Одну из двух, на выбор. Сыграть в нее можно только один раз. В первой «лотерее» Вам гарантированно выплачивают миллион долларов. А во второй с 50% шансом Вы получите 2 миллиона, с 40% шансом миллион и с 10% шансом уйдете ни с чем. Математическое ожидание выигрыша в первой «лотерее» 1 миллион. Во второй — 1.4 миллиона. Но что же Вы выберете? Может кто-то и выберет второй вариант, но проведение опроса среди некоторого количества людей покажет, что большинство наверняка выберет первый вариант. Ведь, как говорится, лучше синица в руках… Тем более, если синица — это миллион, а во второй «лотерее» есть шанс не получить ничего. И гипотетические 2 миллиона ничего не решают.

Последний пример

Ну и что в итоге?

В итоге, с одной стороны, математические подсчеты могут дать не совсем очевидные с точки зрения математики результаты. Человек может из почти одинаковых условий выбирать строго одно, а среди нескольких предложений брать более невыгодное для себя. Почему? Так устроен человек. Выгода одного конкретного человека не всегда может быть просто так подсчитана.
С другой стороны, если смотреть с точки зрения различных фирм, корпораций и т.д., то имея множество клиентов, можно получать неплохие деньги, даже если с точки зрения математики предложение для клиента не самое выгодное. Именно поэтому существуют банки, лотереи, страховые компании. И люди берут кредиты под дикие проценты, покупают сомнительные лотерейные билеты и страхуют вещи, с которыми, скорее всего, все будет в порядке.
А значит, пытаясь применить по отношению к людям какие-то подсчеты «в тупую», мысля как робот, скорее всего, ничего путного и полезного не выйдет. Но ежели действовать с умом, представить себя на месте других людей, то можно горы свернуть и миллиарды заработать с помощью математики.

В общем, думайте как люди, но про математику тоже не забывайте.

Источник

Математическое ожидание случайной величины

Содержание

Математическое ожидание случайной величины [ править ]

Определение:

Математическое ожидание (англ. mean value) [math] \left( E\xi \right) [/math] — мера среднего значения случайной величины, равная [math]E\xi = \sum \xi(\omega) \cdot p(\omega)[/math]

Доказательство:[math]\triangleright[/math][math]\sum\limits_a \sum\limits_ <\omega|\xi(\omega) = a>\xi(\omega) \cdot p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot \sum\limits_<\omega|\xi(\omega)=a>p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot p(\xi = a)[/math][math]\triangleleft[/math]

Пример [ править ]

Пусть наше вероятностное пространство — «честная кость»

[math] E\xi = 1\cdot \dfrac<1><6>+2\cdot \dfrac<1> <6>\dots +6\cdot \dfrac<1> <6>= 3.5[/math]

Свойства математического ожидания [ править ]

Утверждение (о матожидании случайной величины на событии вероятности нуль):

Линейность математического ожидания [ править ] Использование линейности [ править ] Рассмотрим три задачи. Пример 1 [ править ] Найти математическое ожидание суммы цифр на случайной кости домино. Получаем ответ [math]E(\xi+\eta)=2E(\xi)=6[/math] Пример 2 [ править ] Итоговый результат: [math]E(\xi)=<\sum_^n \limits>E(\xi^i)=\dfrac [/math] Пример 3 [ править ] Пусть [math] \xi [/math] — случайная величина, которая возвращает количество инверсий в перестановке. Очевидно, что вероятность любой перестановки равна [math] \dfrac<1> [/math] Докажем, что количество инверсий в этих двух перестановках равно [math] \dfrac <2>[/math] Примеры распределений [ править ] Распределение Бернулли [ править ] Случайная величина [math]\xi[/math] имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: [math]1[/math] и [math]0[/math] с вероятностями [math]p[/math] и [math]q \equiv 1-p[/math] соответственно. Таким образом: [math]P(\xi = 1) = p[/math] [math]P(\xi = 0) = q[/math] Тогда несложно догадаться, чему будет равно математическое ожидание: [math]E(\xi) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p[/math] Гипергеометрическое распределение [ править ] Гипергеометрическое распределение в теории вероятностей моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности. Пусть имеется конечная совокупность, состоящая из [math]N[/math] элементов. Предположим, что [math]D[/math] из них обладают нужным нам свойством. Оставшиеся [math]N-D[/math] этим свойством не обладают. Случайным образом из общей совокупности выбирается группа из [math]n[/math] элементов. Пусть [math]a[/math] — случайная величина, равная количеству выбранных элементов, обладающих нужным свойством. Тогда функция вероятности [math]a[/math] имеет вид: где [math]C_n^k \equiv \dfrac[/math] обозначает биномиальный коэффициент. Формула математического ожидания для гипергеометрического распределения имеет вид: Источник Математическое ожидание Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Их свойства и примеры. Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность веро-ятности) полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач доста-точно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный во-прос. Рассмотрим основные числовые характеристики дискретных случайных величин. Определение 7.1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называ-ется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности: Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то , если полученный ряд сходится абсолютно. Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов. Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольше-го. Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучай-ная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непре-рывных случайных величин. Пример 1. Найдем математическое ожидание случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных. Составим ряд распределения для Х. Из условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3. Тогда Пример 2. Определим математическое ожидание случайной величины Х – числа бросков монеты до первого появления герба. Эта величина может принимать бесконечное число значений (множество возможных значений есть множество натуральных чисел). Ряд ее распределения имеет вид: Х … п … р 0,5 (0,5) 2 … (0,5) п … Тогда ..+ + (при вычислении дважды использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , откуда ). Свойства математического ожидания. 1) Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной: Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение С с вероятностью р = 1, то М(С) = С?1 = С. 2) Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания: Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределения xi x1 x2 … xn pi p1 p2 … pn то ряд распределения для СХ имеет вид: Сxi Сx1 Сx2 … Сxn pi p1 p2 … pn Определение 7.2. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы. Определение 7.3. Назовем произведением независимых случайных величин Х и Y случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y, а соответствующие им вероят-ности равны произведениям вероятностей сомножителей. 3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: Доказательство. Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения: xi x1 x2 pi p1 p2 уi у1 у2 gi g1 g2 Тогда ряд распределения для XY выглядит так: ХY x1y1 x2y1 x1y2 x2y2 p p1g1 p2 g1 p1g2 p2g2 Замечание 1. Аналогично можно доказать это свойство для большего количества возможных значений сомножителей. Замечание 2. Свойство 3 справедливо для произведения любого числа независимых случайных величин, что доказывается методом математической индукции. Определение 7.4. Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х + Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго). 4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин ( зависимых или незави-симых ) равно сумме математических ожиданий слагаемых: Замечание. Из свойства 4 следует, что сумма любого числа случайных величин равна сумме математических ожиданий слагаемых. Пример. Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при броске пяти игральных костей. Найдем математическое ожидание числа очков, выпавших при броске одной кости: М(Х1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)Тому же числу равно математическое ожидание числа очков, выпавших на любой кости. Следовательно, по свойству 4 М(Х)= Дисперсия. Для того, чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y, заданные рядами распределения вида Х р 0,1 0,8 0,1 Y p 0,5 0,5 Найдем М(Х) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, М(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Как видно, мате-матические ожидания обеих величин равны, но если для Х М(Х) хорошо описывает пове-дение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (при-чем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отсто-ят от М(Y). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, на-сколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия. Определение 7.5. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания: Найдем дисперсию случайной величины Х (числа стандартных деталей среди отобранных) в примере 1 данной лекции. Вычислим значения квадрата отклонения каждого возможно-го значения от математического ожидания: (1 – 2,4) 2 = 1,96; (2 – 2,4) 2 = 0,16; (3 – 2,4) 2 = 0,36. Следовательно, Замечание 1. В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга. Замечание 2. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения. Замечание 3. Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии, справедливость которой доказывается в следующей теореме: Используя то, что М(Х) – постоянная величина, и свойства математического ожидания, преобразуем формулу (7.6) к виду: 1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю: 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: 3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины. 4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением. Определение 7.6. Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии: . (7.12) Пример. В предыдущем примере средние квадратические отклонения Х и Y равны соответственно Источник ← читы пабг мобайл андроид вх и аим Prt на усилителе что это → Вам также понравится Активные энергетические комплексы что это 03.01.202412.09.2023 admin 0 Что приготовить с молодыми кабачками 04.01.202430.09.2023 admin 0 Ufiler что это за программа и нужна 02.01.202410.09.2023 admin 0 Добавить комментарий Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.