Что показывает показатель степени

Показатель степени

Число a b называется степенью с основанием a и показателем b.

Содержание

Натуральная степень

Число с называется n-ной степенью числа а, если .

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Целая степень

не определён

Рациональная степень

По определению,

Действительная степень

Пусть .

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов. (см. определение комплексной степени)

Потенцирование

Потенцирование — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

Комплексная степень

Определим некоторые функции:

теперь для вычисления a z можно использовать свойства степеней и логарифмов:

Степень как функция

Поскольку в выражении x y принимает участие две переменных, то его можно рассматривать как:

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Показатель степени» в других словарях:

Показатель степени — по техн. правилам набора должен набираться шрифтом, кегль которого в два раза меньше кегля шрифта символов и цифр, но без ущерба для удобочитаемости: Кегль символа или цифры Показатель степени 1 го порядка 2 го порядка 12 6 4 или 6 10 5 или 6 4… … Издательский словарь-справочник

показатель степени — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN power exponentsuperscript … Справочник технического переводчика

показатель степени — laipsnio rodiklis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. potenz vok. Exponent, m; Potenz, f rus. показатель степени, m pranc. exposant, m … Fizikos terminų žodynas

показатель степени — Syn: степень … Тезаурус русской деловой лексики

показатель степени сосредоточенности источников информации в сети — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN locality … Справочник технического переводчика

показатель степени числа — порядок числа — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы порядок числа EN number exponent … Справочник технического переводчика

показатель степени опасности компонента отхода — 3.1.9 показатель степени опасности компонента отхода: Интегральный показатель, характеризующий степень опасности компонента отхода при воздействии его на окружающую природную среду; Источник: СТО Газпром 12 2005: Каталог отходов производства и… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ПОКАЗАТЕЛЬ СТЕПЕНИ СЖАТИЯ ГРУНТА — величина, характеризующая уменьшение объема породы по отношению к начальному объему осадки. Определяется по формуле где еf коэффициент пористости грунта при верхнем пределе пластичности; е коэффициент пористости при естественной влажности и… … Словарь по гидрогеологии и инженерной геологии

ЭКСПОНЕНТА, ПОКАЗАТЕЛЬ СТЕПЕНИ — (exponent) Одно из названий показателя степени; если у = хn, n является экспонентой. Экспонента не обязательно должна быть целым числом; если z – натуральный логарифм х, т. е., х = еz, мы получаем у = хn = (еz)n = ezn, значение которого может… … Экономический словарь

дробный показатель степени — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN fractional exponent … Справочник технического переводчика

Источник

Степень числа: определения, обозначение, примеры

В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.

Степени с натуральными показателями: понятие квадрата и куба числа

Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a ), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n ).

Разберем пример степени с натуральным показателем: для 5 7 пятерка будет основанием, а семерка – показателем.

Понятие степени является обратным другому математическому понятию – корню числа. Если мы знаем значение степени и показатель, мы можем вычислить ее основание. Степень обладает некоторыми специфическими свойствами, полезными для решения задач, которые мы разобрали в рамках отдельного материала.

Что такое степени с целым показателем

В показателях степени могут стоять не только натуральные числа, но и вообще любые целые значения, в том числе отрицательные и нули, ведь они тоже принадлежат к множеству целых чисел.

Степень числа с целым положительным показателем можно отобразить в виде формулы: .

При этом n – любое целое положительное число.

Разберемся с понятием нулевой степени. Для этого мы используем подход, учитывающий свойство частного для степеней с равными основаниями. Оно формулируется так:

Последнее условие важно, поскольку позволяет избежать деления на ноль. Если значения m и n равны, то мы получим следующий результат: a n : a n = a n − n = a 0

При желании легко проверить, что a 0 = 1 сходится со свойством степени ( a m ) n = a m · n при условии, что основание степени не равно нулю. Таким образом, степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем равна единице.

Такая формулировка подтверждает, что для степени с целым отрицательным показателем действительны все те же свойства, которыми обладает степень с натуральным показателем (при условии, что основание не равно нулю).

Проиллюстрируем нашу мысль конкретными примерами:

В последней части параграфа попробуем изобразить все сказанное наглядно в одной формуле:

Что такое степени с рациональным показателем

Мы разобрали случаи, когда в показателе степени стоит целое число. Однако возвести число в степень можно и тогда, когда в ее показателе стоит дробное число. Это называется степенью с рациональным показателем. В этом пункте мы докажем, что она обладает теми же свойствами, что и другие степени.

Далее нам необходимо определить, какие именно ограничения на значения переменных накладывает такое условие. Есть два подхода к решению этой проблемы.

Для степени с нулевым основанием это положение также подходит, но только в том случае, если ее показатель – положительное число.

Степень с нулевым основанием и дробным положительным показателем m / n можно выразить как

При отрицательном отношении m n 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Отметим один момент. Поскольку мы ввели условие, что a больше или равно нулю, то у нас оказались отброшены некоторые случаи.

Если n – нечетное число, а значение m – положительно, a – любое неотрицательное число, то a m n имеет смысл. Условие неотрицательного a нужно, поскольку корень четной степени из отрицательного числа не извлекают. Если же значение m положительно, то a может быть и отрицательным, и нулевым, т.к. корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.

Объединим все данные выше определения в одной записи:

Здесь m/n означает несократимую дробь, m – любое целое число, а n – любое натуральное число.

Определение степени с дробным показателем, которое мы привели первым, удобнее применять на практике, чем второе, поэтому мы будем далее пользоваться именно им.

При вычислении же лучше заменять показатель степени обыкновенной дробью и далее пользоваться определением степени с дробным показателем. Для примеров выше у нас получится:

Что такое степени с иррациональным и действительным показателем

Что такое действительные числа? В их множество входят как рациональные, так и иррациональные числа. Поэтому для того, чтобы понять, что такое степень с действительным показателем, нам надо определить степени с рациональными и иррациональными показателями. Про рациональные мы уже упоминали выше. Разберемся с иррациональными показателями пошагово.

и так далее (при этом сами приближения являются рациональными числами).

Источник

Показатель степени: определение и свойства

Степень a n равняется произведению числа a на само себя n-ое количество раз.

a n = a * a * a… a (n раз)

В данном случае a – это основание, а n – показатель степени.

Примеры:

Произошение:

Правила операций с показателями степени

#1. Умножение степеней (одинаковые основания)

Пример: 2 2 ⋅ 2 3 = 2 2+3 = 2 5 = 32

#2. Степень произведения

Пример: (2 ⋅ 3) 4 = 2 4 ⋅ 3 4 = 1296

#3. Деление степеней (одинаковые основания)

Пример: 2 5 ⋅ 2 3 = 2 5-3 = 2 2 = 4

#4. Степень частного

Пример: (12 / 4) 3 = 12 3 / 4 3 = 27

#5. Возведение степени в степень

Пример: (5 2 ) 3 = 5 2 · 3 = 3125

#6. Степень, возведенная в степень

Пример: 2 4 2 = 2 (4 2 ) = 2 (4 · 4) = 2 (16) = 65536

#7. Извлечение степени из числа в степени

Пример: 3 √(2 6 ) = 2 6/3 = 2 2 = 2⋅2 = 4

#8. Возведение в отрицательную степень

#9. Число в нулевой степени

#10. Возведение нуля в степень

#11. Число в первой степени

#12. Единица в степени (любой)

#13. Минус один в степени

(-1) n = 1, если n – четное число

#14. Возведение числа в дробную степень (в числителе – единица)

Источник

Свойства степеней и действия с ними

Зачем нужны степени? Где они тебе пригодятся? Почему тебе нужно тратить время на их изучение?

Как обычно — чтобы облегчить себе жизнь. Знание свойств степеней позволит тебе упрощать вычисления и считать быстрее, что пригодится и в жизни и на ОГЭ или ЕГЭ!

Чтобы узнать все о степенях и научиться пользоваться свойствами степеней, читай эту статью.

P.S Если ты хорошо знаешь степени и тебе надо только повторить, переходи сразу к продвинутому уровню.

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Степени. Коротко о главном

Определение степени:

Свойства степеней:

Особенности степеней:

Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи. Начнем со сложения.

Сложение

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок. Теперь умножение.

Умножение

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: \(\displaystyle 2\cdot 8=16\).

Математики — люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать».

В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением.

Согласись, \(\displaystyle 2\cdot 8=16\) считается легче и быстрее, чем \(\displaystyle 2+2+2+2+2+2+2+2=16\).

И еще одна важная деталь. Ошибок при таком счете делается гораздо меньше. Математики из Стэнфорда, кстати, считают, что человек, знающий приемы счета, делает это в два раза легче и быстрее и совершает в два раза меньше ошибок. Работы меньше, а результат лучше.

Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками, но лучше ее запомнить! Вот таблица умножения. Выучи ее наизусть.

И другая таблица, красивее:

А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно – возведение числа в степень.

Возведение числа в степень

Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень.

Например, \(\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=<<2>^<5>>\). Математики помнят, что два в пятой степени – это \(\displaystyle 32\).

И решают такие задачки в уме – быстрее, легче и без ошибок.

Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел. Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.

Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью — кубом? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.

Примеры из жизни

Начнем с квадрата или со второй степени числа.

Представь себе квадратный бассейн размером \( \displaystyle 3\) метра на \( \displaystyle 3\) метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться.

Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.

Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из \( \displaystyle 9\) кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет \( \displaystyle 9\) кусков. Это легко…

Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет \( \displaystyle 10\) см на \( \displaystyle 10\) см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать.

Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится \( \displaystyle 30\) плиток (\( \displaystyle \frac<300\ см><10\ см>=30\) штук) и по другой тоже \( \displaystyle 30\) плиток.

Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень».

Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше.

Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат – это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа.

Квадрат – это изображение второй степени числа.

Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?)

Нарисуй бассейн: дно размером \( \displaystyle 3\) на \( \displaystyle 3\) метра и глубиной \( \displaystyle 3\) метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.

Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать?

Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту.

В нашем случае объем бассейна будет равен \( \displaystyle 3\cdot 3\cdot 3=27\) кубов… Легче правда?

А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя…

Остается только запомнить таблицу степеней. Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки – можешь продолжать считать пальцем.

Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.

У тебя есть \( \displaystyle 2\) миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через \( \displaystyle 5\) лет?

Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты – умный! Итак, в первый год — два умножить на два… во второй год — то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп!

Ты заметил, что число \( \displaystyle 2\) перемножается само на себя \( \displaystyle 6\) раз. Значит, два в шестой степени – \( \displaystyle 64\) миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти \( \displaystyle 64\) миллиона получит тот, кто быстрее посчитает…

Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?

У тебя есть \( \displaystyle 1\) миллион. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через \( \displaystyle 4\) года?

Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя \( \displaystyle 4\) раза.

Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.

Источник

Степень числа

Степень числа — это выражение, обозначающее краткую запись произведения одинаковых сомножителей.

Рассмотрим умножение одинаковых чисел, например:

Произведение 5 · 5 · 5 можно записать так: 5 3 (пять в третьей степени). Выражение 5 3 — это степень. Следовательно,

Основание степени — это повторяющийся множитель. Показатель степени — это число, указывающее количество повторений, то есть показатель степени показывает сколько одинаковых множителей содержится в произведении.

Читаются степени так:

Пример. Записать в виде степени:

б) 10 · 10 · 10 · 10 = 10 4 ;

Возведение в степень

Результат возведения в степень называется степенью (также как и само выражение, значение которого вычисляется). В выражении:

2 — это основание степени, 3 — показатель степени, 8 — степень.

a) 11 2 = 11 · 11 = 121;

б) 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32;

в) 10 4 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10000.

Выражения со степенями. Порядок действий

Если выражение не содержит скобки и содержит степени, то сначала выполняется возведение в степень в порядке следования степеней (слева направо), а затем все остальные арифметические действия. Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются действия в скобках, с учётом всех правил порядка выполнения действий.

Рассмотрим два выражения:

В соответствии с порядком выполнения действий в первом случае сначала выполняется возведение в степень, а затем вычисляется сумма. Во втором случае сначала вычисляется сумма, а затем результат возводится в квадрат.

5 2 + 2 2 = 25 + 4 = 29,

Пример 1. Найти значение выражения:

Решение: Сначала выполняется действие, заключённое в скобки:

Затем, по правилам порядка действий, выполняется возведение в степень:

И последним действием вычисляется произведение:

Пример 2. Вычислить:

Калькулятор возведения в степень

Источник