Что показывает среднее гармоническое
Термин «гармоническое» возникает в результате его использования применительно к типу рядов, включающих обратные значения, известных как гармонические ряды.
Формула среднего гармонического.
Среднее гармоническое можно рассматривать как особый тип взвешенного среднего, в котором вес наблюдения обратно пропорционален его величине.
Концепция лучше всего объясняется с помощью иллюстрации.
Пример расчета и пременения среднего гармонического.
Хорошо известный пример применения среднего гармонического возникает в инвестиционной стратегии, известной как усреднение издержек (англ. ‘cost averaging’), которая включает периодическое инвестирование фиксированной суммы денег.
Предположим, что инвестор покупает €1,000 ценных бумаг каждый месяц в течение n = 2 месяцев. Цены на акции составляют €10 и €15 на две даты покупки.
Какова средняя цена акций?
В этом примере в 1-м месяце мы приобретаем €1,000/€10 = 100 акций, а во 2-м месяце мы приобретаем €1,000/€15 = 66.67 или 166.67 акций. Разделив общую сумму вложенных евро, €2,000, на общее количество приобретенных акций 166.67, мы получаем среднюю цену, уплаченную за акции, в размере €2,000/166.67 = €12.
Средняя цена фактически является средним гармоническим значением цен актива на даты покупки. По Формуле 7 средняя гармоническая цена составляет:
2/[(1/10) + (1/15)] = €12.
Значение €12 меньше среднеарифметической цены покупки акций:
(€10 + €15)/2 = €12.5.
Тем не менее, мы могли бы найти правильное значение €12, используя формулу средневзвешенного значения, где весовые коэффициенты, применяемые к ценам, равны долям акций, приобретенным по данной цене, от общего количества приобретенных акций.
В нашем примере расчет будет таким:
(100/166.67)€10.00 + (66.67/166.67)€15.00 = €12.
Если бы мы инвестировали разные суммы денег на каждую дату, мы не могли бы использовать формулу гармонического среднего. Мы могли бы, однако, все еще использовать формулу взвешенного среднего значения способом, подобным только что описанному.
В приведенной иллюстрации средняя гармоническая цена действительно была меньше средней арифметической цены.
8.3. Средние величины в статистике
Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, являются средние показатели (средняя величина).
Средняя величина – представляет обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.
Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.
Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.
Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные.
Сущность средней заключается, в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.
ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН наиболее часто применяемых на практике:
Выбор средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.
ФОРМУЛЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН
Таблица 8.2 – Результаты опроса работников офиса
Правильное среднее
Существует много видов средних, но в каждой ситуации только одно из них правильное. Только один вид среднего следует использовать в каждом конкретном случае, и ошибка может вам стоить очень дорого.
Дело в том, что в основе такого усреднения лежит закон больших чисел и допущение, что исходная величина распределена нормально. А это подразумевает, что возможные значения сконцентрированы вокруг некоторого наиболее частого значения, а отклонения и в большую, и в меньшую сторону относительно невелики и равновероятны.
В следующих записях я приведу интересные примеры неправильного усреднения, а сейчас перейдем к другим видам среднего.
Сначала, наверное, может показаться, что правильное значение 65 км/ч, потому что (50+80)/2 = 65.
Однако быстро становится понятно, что если бы другой автомобиль двигался со средней скоростью, то он провел бы в пути столько же времени, что и первый. Именно в этом смысл усреднения в данном случае.
И вот тут на помощь приходит среднее гармоническое:
Для нашей задачи искомое среднее равно 2/(1/50+1/80)=61.54 км/ч. И действительно в первом случае автомобиль затратил 2 часа на преодоление 100 км со скоростью 50 км/ч и еще 1.25 часа ему потребовалось на следующие 100 км, потому что скорость возросла до 80 км/ч. Таким образом, всего ушло 3.25 часа.
Если бы автомобиль все 200 км двигался со скоростью 61.54 км/ч, то у него также ушло бы на дорогу 3.25 часа.
Можно предположить, что есть несколько вариантов усреднения. Во-первых, среднее арифметическое: (12+42)/2 = 27%. Во-вторых, сложный процент: 1.12*1.42=1.5904, т.е. 59.04% за 2 года или 28.02% за год.
Но «в среднем» означает, что применив это значение к каждому году, мы получим тот же самый результат, что и при использовании множества исходных значений.
Проверяем. Среднее арифметическое: 1.27*1.27=1.6129 (на 61.29%). Сложный процент: 1.2802*1.2802=1.6389 (на 63.89%). Результаты мало того, что разные, так и оба неправильные, потому что выручка за 2 года выросла на 59.04%.
Среднее геометрическое часто встречается в реальных бизнес-задачах вместе с процентами и долями. Если в вашей задаче что-то растет или падает и вы хотите усреднить динамику показателя, то вам следует применять среднее геометрическое.
Вместо заключения
Повторю главные моменты:
— среднее арифметическое далеко не всегда соответствует смыслу и физической сущности усредняемого показателя;
— существует много видов средних значений, но в каждом конкретном случае есть только один правильный вид среднего, и именно его следует использовать в расчетах.
Среднее гармоническое
Средним гармоническим нескольких положительных чисел называется число, обратное среднему арифметическому их обратных, то есть число
 |
 Статистические показатели | |||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Описательная статистика |
| ||||||||||||
| Статистический вывод и проверка гипотез |
| ||||||||||||
| Корреляция | Коэффициент корреляции Пирсона · Ранг корреляций (Коэффициент Спирмана для ранга корреляций, Коэффициент тау Кендалла для ранга корреляций) · Переменная смешивания | ||||||||||||
| Линейные модели | Основная линейная модель · Обобщённая линейная модель · Анализ вариаций · Ковариационный анализ | ||||||||||||
| Регрессия | Линейная · Нелинейная · Непараметрическая регрессия · Полупараметрическая регрессия · Логистическая регрессия | ||||||||||||
Полезное
Смотреть что такое «Среднее гармоническое» в других словарях:
СРЕДНЕЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ — англ. mean, harmonic; нем. Mittel, harmonisches. Измерение центральной тенденции ряда мат. величин, исчисляемое произведением n числа величин и извлечением корня n степени из этого произведения. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии
среднее гармоническое — harmoninis vidurkis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Apibrėžtį žr. priede. priedas( ai) Grafinis formatas atitikmenys: angl. harmonic average; harmonic mean vok. harmonisches Mittel, n rus. среднее гармоническое, n… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
среднее гармоническое — harmoninis vidurkis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. harmonic average; harmonic mean vok. harmonisches Mittel, n rus. среднее гармоническое, n pranc. moyenne harmonique, f … Fizikos terminų žodynas
СРЕДНЕЕ, ГАРМОНИЧЕСКОЕ — Измерение центральной тенденции набора значений, представленное обратной величиной среднего арифметического обратных величин набора значений. Имеет ограниченное использование, преимущественно встречается при определении среднестатистической… … Толковый словарь по психологии
СРЕДНЕЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ — англ. mean, harmonic; нем. Mittel, harmonisches. Измерение центральной тенденции ряда мат. величин, исчисляемое произведением n числа величин и извлечением корня n степени из этого произведения … Толковый словарь по социологии
Среднее гармоническое взвешенное — набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как В том случае, если все веса равны между собой, среднее гармоническое взвешенное равно среднему гармоническому. Существуют также взвешенные версии для других средних величин.… … Википедия
Среднее геометрическое взвешенное — набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому. См. также Среднее геометрическое … Википедия
Среднее арифметическое взвешенное — набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как Часто подразумевают, что сумма весов равна 1, тогда формула выглядит следующим образом: В том случае, если все веса равны между собой, среднее арифметическое взвешенное будет равно … Википедия
Среднее взвешенное — Среднее взвешенное общее название группы разновидностей среднего значения либо короткое название для любого из перечисленных: Среднее арифметическое взвешенное Среднее геометрическое взвешенное Среднее гармоническое взвешенное … Википедия
Среднее гармоническое
Предлагаемая здесь программа, помимо расчета среднего гармонического, умеет еще и приводить исходные данные к стандартному виду, а так же упорядочивать их по возрастанию или убыванию.
Рис.1. Гармонический ряд и среднее гармоническое
Среднее гармоническое от двух реже трех чисел используется в математике не менее двух с половиной тысяч лет (возможно более 4000 лет). Свойства средних гармонических, арифметических и геометрических величин для двух чисел были детально изучены еще пифагорейцами, поэтому они так же называются классическими пифагорейскими средними.
Свое название среднее гармоническое получило благодаря замечательному свойству гармонического ряда: каждый член ряда, начиная со второго, представляет собой среднее обратно-пропорциональное от двух соседних членов (рисунок). Это свойство гармонического ряда было известно еще во времена Аристотеля.
.
В свете современных представлений:
Среднее гармоническое значение множества положительных вещественных чисел определяется как результат деления количества этих чисел на сумму их обратных величин:
Среднее степенное значение sd порядка (степени) d от множества заданных чисел a 1 + a 2 + …+ a n определяется формулой: