Что показывает значение коэффициента автокорреляции второго порядка
Автокорреляция, Коэффициент автокорреляции
При наличии во временном ряде тренда и сезонных колебаний значения любого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда в эконометрике называется автокорреляцией уровней рада.
Количественно ее можно найти с помощью коэффициента корреляции между уровнями начального временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов по времени.
Определим коэффициент корреляции между рядами уt и yt-1.
Формула для расчета коэффициента корреляции можно представить в виде:
Коэффициент автокорреляции
В качестве переменной X рассматривают ряд у2, у3, …, у6 в качестве переменной у — ряд у1, у2, …, у5. Тогда приведенная формула для расчета коэффициента корреляции примет вид
Эта величина — коэффициент автокорреляции первого порядка, так как он определяет зависимость между соседними уровнями ряда t и t-1
Аналогично определяют коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков.
Число периодов, по которым определяется коэффициент автокорреляции, называют лаг автокорреляции. С ростом лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается что лаг должен определяться отношением n/4 — количество наблюдений деленных на 4.
Свойства коэффициента автокорреляции
По коэффициенту автокорреляции судят о наличии линейной тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (степенную функцию или экспоненту), коэффициент автокорреляции может быть меньше 0,7.
По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать судить о возрастающем или убывающем направлении связи в ряду.
Коррелограмма
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и других порядков называется автокорреляционной функцией временного ряда. График значений коэффициентов автокорреляции разных порядков называют коррелограммой.
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет найти лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями временного ряда наиболее тесная.
Анализ коэффициентов автокорреляции
Если максимальным оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, временной ряд содержит только тенденцию (тренд).
Если максимальным оказался коэффициент автокорреляции порядка n, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в n моментов времени.
Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым (близок к 0), можно сказать, что либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит нелинейную тенденцию, для выявления которой проводят дополнительный анализ.
Источник: Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М: Финансы и статистика, 2002. – 344 с.
Для перехода на страницу выполнения контрольных по эконометрике жмите сюда
Корреляционная зависимость между уровнями взаимосвязанных рядов динамики
При изучении развития явления во времени часто возникает необходимость оценить степень взаимосвязи в изменениях уровней 2-х или более рядов динамики различного содержания, но связанных между собой. Эта задача решается методами коррелирования:
Коэффициент вычисляется по непосредственным данным рядов динамики, когда фактические уровни одного ряда рассматриваются как значения факторного признака, а уровни этого же ряда со сдвигом на один период, принимаются в качестве результативного признака (этот сдвиг называется лагом). Коэффициент рассчитывается на основе формулы коэффициента корреляции для парной зависимости:
Примечание: во избежание путаницы, следует обратить внимание на порядок, по которому будет производиться сдвиг уровней, а именно, вниз или вверх. Соответственно и в формулах по разным источникам, ряд со сдвигом отображают либо так y t-1 либо y t+1
Формула для расчета коэффициента уровней ряда 1-го порядка:
Формула для расчета коэффициента уровней ряда 2-го порядка:
Для суждения о наличии или отсутствии в исследуемом ряду, фактическое значение коэффициента сопоставляют с табличным для 5% или 1% уровня значимости (т. е. по величине вероятности допустить ошибку при принятии гипотезы о независимости уровней ряда). Если расчетное значение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии принимается и, наоборот, в противном случае, отвергается.
Последовательность коэффициентов 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов от величины лага (порядка коэффициента ) называют коррелограммой.
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет выявить структуру ряда, т. е. определить присутствие в ряде той или иной компоненты. Так, если наиболее высоким оказался коэффициент первого порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент порядка m, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в m моментов времени. Если же ни один из коэффициентов не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений:
Необходимо подчеркнуть, что линейные коэффициенты характеризуют тесноту только линейной связи текущего и предыдущих уровней ряда. Поэтому, по коэффициентам можно судить только о наличии или отсутствии линейной зависимости (или близкой к линейной). Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент уровней исходного ряда может приближаться к нулю. По знаку коэффициента нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную уровней, однако, при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Для проверки ряда на наличие нелинейной тенденции рекомендуется вычислить линейные коэффициенты для временного ряда, состоящего из логарифмов исходных уровней. Отличные от нуля значения коэффициентов будут свидетельствовать о наличии нелинейной тенденции.
Пример расчета:
Коэффициент 1 порядка
Расчет коэффициента 1-го порядка
17. Автокорреляция уровней временного ряда
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют Автокорреляцией уровней ряда.
Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:
(4.1)
.
Эту величину называют Коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда 
и 
.
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и 
и определяется по формуле:
(4.2)
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют Лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше 
.
Свойства коэффициента автокорреляции.
1. Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и также характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют Автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется Коррелограммой.
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка 
, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.
Рассмотрим Пример. Пусть имеются некоторые условные данные об общем объеме потребления электроэнергии на одном из предприятий города.
Построим поле корреляции:
Уже исходя из графика видно, что значения Y образуют пилообразную фигуру.
Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу (см. табл. 4.2).
Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т. к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.
Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле (4.1):
.
Составляем вспомогательную таблицу 4.3 для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.
.
Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу 4.4.
Автокорреляция первого, второго порядков
При изучении развития явления во времени часто возникает необходимость оценить степень взаимосвязи в изменениях уровней 2-х или более рядов динамики различного содержания, но связанных между собой. Эта задача решается методами коррелирования:
· уровней ряда динамики
· отклонений фактических уровней от тренда
Коррелирование уровней динамических рядов с применением парного коэффициента корреляции правильно показывает тесноту связи лишь в том случае, если в каждом из них отсутствует автокорреляция. Наличие зависимости между последующими и предшествующими уровнями динамического ряда в статистической литературе называютавтокорреляцией [5].
Поэтому прежде, чем коррелировать ряды динамики по уровням, необходимо проверить каждый из рядов на наличие или отсутствие в них автокорреляции. Применение методов классической теории корреляции в динамических рядах связано с некоторыми особенностями. Прежде всего, это наличие для большинства динамических рядов зависимости последующих уровней от предыдущих.
Коэффициент автокорреляции вычисляется по непосредственным данным рядов динамики, когда фактические уровни одного ряда рассматриваются как значения факторного признака, а уровни этого же ряда со сдвигом на один период, принимаются в качестве результативного признака (этот сдвиг называется лагом). Коэффициент автокорреляции рассчитывается на основе формулы коэффициента корреляции для парной зависимости:
· yt– фактические уровни ряда,
· yt+1 – уровни того же ряда со сдвигом на 1 период (коэффициент автокорреляции первого порядка).
Формула для расчета коэффициента автокорреляции уровней ряда 1-го порядка [2]:
Формула для расчета коэффициента автокорреляции уровней ряда 2-го порядка [3]:
Для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду, фактическое значение коэффициента автокорреляции сопоставляют с табличным для 5% или 1% уровня значимости. Если расчетное значение меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается и, наоборот, в противном случае, отвергается.
Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой [5].
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет выявить структуру ряда, т. е. определить присутствие в ряде той или иной компоненты. Так, если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка m, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в m моментов времени. Если же ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений:
· либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;
· либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ [1].
Необходимо подчеркнуть, что линейные коэффициенты автокорреляции характеризуют тесноту только линейной связи текущего и предыдущих уровней ряда. Поэтому, по коэффициентам автокорреляции можно судить только о наличии или отсутствии линейной зависимости (или близкой к линейной). Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к 0 [2].
Автокорреляция уровней временного ряда
При наличии тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений.
Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.
Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда yt и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени yt—t.
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Максимальный лаг должен быть не больше (n/4).
Коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка, измеряющий зависимость между соседними уровнями ряда yt и yt-1, т. е. при лаге 1, рассчитывается по формуле:
,
где 
Аналогично определяются коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями yt и yt-2 и определяется по формуле:
,
где 
Коэффициент автокорреляции характеризует тесноту только линейной связи текущего и анализируемого уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой.
При помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Анализ структуры ряда можно проводить следующим образом:
Ø если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию;
Ø если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка τ, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в τ моментов времени;
Ø если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из предположений относительно структуры ряда:
· ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а включает только случайную компоненту,
· ряд содержит сильную нелинейную тенденцию.
Пример. Динамика урожайности зерновых культур за гг. характеризуется данными (ц/га), представленными в табл. 1.