Что принимают за единицу измерения углов

Математика. 5 класс

Конспект урока

Углы. Измерение углов

Перечень рассматриваемых вопросов:

— понятие «угол», «величина угла»;

— измерение величины угла.

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки, которая называется вершиной угла.

Градус – единица измерения углов, составляющая часть развёрнутого угла.

Градусная мера угла – число, которое показывает, сколько единиц измерения (градусов) содержится между сторонами этого угла.

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия», – сказал в своё время французский архитектор Ле Корбюзье, и трудно с ним не согласиться. Геометрические фигуры постоянно встречаются в творениях природы и человека.

Сегодня мы рассмотрим ещё одну геометрическую фигуру – угол, разберём его виды и опишем процесс построения и измерения углов.

Для начала определим, что называют углом.

Углом называют геометрическую фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки.

Построим угол. Для этого отметим на плоскости точку О и проведём два луча – ОК и ОМ. Получим геометрическую фигуру, образованную точкой О и двумя лучами, исходящими из этой точки. Такую геометрическую фигуру и называют углом.

Лучи ОК и ОМ называют сторонами угла, точку О – общее начало этих лучей – называют вершиной угла.

Обозначается угол чаще всего тремя буквами. Например, ∠КОМ или ∠МОК. В середине пишется буква, которой обозначена вершина угла. Также угол можно обозначать и одной буквой, поставленной у вершины угла. Например, ∠О.

Начертим два луча, исходящих из точки О и принадлежащих одной прямой.

Лучи ОС и OК вместе с точкой О дополняют друг друга до прямой – это дополнительные лучи. Угол называют развёрнутым, если его стороны являются дополнительными лучами.

Угол СОК – развёрнутый.

Построим развёрнутый угол АОВ и полуокружность с центром в точке О. Полуокружность разделим на 180 равных частей. Если построим углы с вершиной в точке О, стороны которых проходят через точки деления полуокружности, то таких углов будет 180. Один такой угол будет составлять часть развёрнутого угла.

Меру угла, составляющего часть развёрнутого угла, принимают за единицу измерения углов и называют градусом. Обозначают: 1º.

Градусной мерой угла называют число, которое показывает, сколько единиц измерения (градусов) содержится между сторонами этого угла.

Например, градусная мера угла КOВ равна 25 градусам, так как в нём единица измерения градус содержится двадцать пять раз. Записывают: ∠КОВ = 25º.

Стоит отметить, что для более точного измерения угла используют доли градуса:

– минуты, которые обозначают одной чёрточкой сверху над цифрой справа,

– секунды, которые обозначаются двумя чёрточками над цифрой справа.

В одном градусе содержится 60 минут, а в одной минуте – 60 секунд.

Например, если угол А равен 10 градусам 5 минутам, записывают: ∠А = 10º5′.

Градусная мера развёрнутого угла равна 180º.

Для измерения углов в градусах пользуются прибором, который называется транспортиром. На транспортире имеется шкала – полуокружность, разделённая на 180 равных частей. На линейке транспортира чёрточкой отмечен центр полуокружности транспортира.

Чтобы найти градусную меру угла, например, угла АВС, нужно совместить центр транспортира с вершиной угла, в данном случае точкой В; расположить линейку транспортира так, чтобы одна из сторон угла прошла через начало отсчёта шкалы транспортира – ноль градусов (в данном случае сторона АВ), и найти на шкале транспортира деление, через которое проходит другая сторона угла – в данном случае сторона ВС.

Это деление шкалы покажет градусную меру угла. В нашем случае – это 120º.

Транспортир применяется также для построения угла, мера которого известна. Построим, например, угол KNM, равный 60º. Для этого:

— совместим центр транспортира с точкой N;

— расположим линейку транспортира так, чтобы луч NM прошёл через начало отсчёта шкалы транспортира;

— найдём на шкале транспортира деление, соответствующее шестидесяти градусам, и отметим напротив него точку К;

— проведём луч NK. Мы построили угол KNM, равный 60º.

Ответить на вопрос, равны ли углы, и, если не равны, то какой из них больше или меньше, можно, сравнивая их градусные меры. Углы с равными градусными мерами равны. Из двух углов больше тот, который имеет большую градусную меру; а меньше тот, который имеет меньшую градусную меру.

Углы можно сравнить также наложением. Если при этом они совпадают, то равны.

Помимо развёрнутого, углы можно разделить на следующие виды: прямой, острый и тупой.

Угол называют прямым, если его градусная мера равна 90º.

Острым – если его градусная мера меньше 90º.

Тупым – если его градусная мера больше 90º и меньше 180º.

Рассмотрим ещё два вида углов, которые встречаются в геометрических задачах: это вертикальные углы, то есть пара углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Например, угол один и два.

И смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.

Например, угол САВ и угол САD.

Вместе смежные углы составляют развёрнутый угол. Следовательно, сумма величин смежных углов составляет 180º.

Итак, сегодня мы познакомились с разными видами углов и научились строить их с помощью транспортира.

Для определения величины углов используется прибор, который называют транспортир. Но существуют и более высокоточные приборы.

Так, гониометр использовался для определения положения судна в море или океане.

Теодолит – прибор для измерения горизонтальных и вертикальных углов при геодезических работах, в строительстве и т. п.

Секстант применялся для измерения высоты Солнца над горизонтом с целью определения географических координат той местности, в которой производится измерение, и на судах.

Посох Якова, служащий для измерения углов, – один из первых инструментов для астрономических наблюдений.

Источник

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Градус – угол, равный одной сто восьмидесятой части развернутого угла.

Градусная мера угла – положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу.

Минута – 1/60 часть градуса.

Секунда – 1/60 часть минуты.

Луч – часть прямой, состоящий из всех точек, лежащих по одну сторону от заданной точки, которая является началом луча.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Стороны угла – лучи, из которых состоит угол.

Вершина угла – общее начало сторон угла.

Биссектриса – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее вы уже познакомились с геометрической фигурой – уголи его составными элементами.

Сегодня мы продолжим изучать углы, познакомимся с их классификацией и будем измерять углы с помощью транспортира.

Измерение углов аналогично измерению отрезков – оно основано на сравнении, только отрезки сравнивались с отрезком, принятым за единицу измерения, а углы с углом, тоже принятым за единицу измерения.

Обычно за единицу измерения углов принимают градус.

Градус – угол, равный 1/180 части развёрнутого угла.

Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу, называется градусной мерой угла.

Для измерения углов используют транспортир. Вспомним, как проводить измерение углов с помощью транспортира.

Транспортир накладывают на угол так, чтобы вершина угла совпала с центром транспортира, а одна из сторон угла прошла через нулевое деление на шкале. Тогда другая сторона угла укажет величину угла в градусах на той же шкале.

Но обычно говорят кратко – угол О равен 50 градусам.

Если масштабныйугол не укладываетсяцелое число раз в измеряемом угле, тоединицу измерения делят ещё на части.

Определённые части градуса носят специальные названия.

Минута – 1/60 часть градуса.

Секунда – 1/60 часть минуты.

Далее, аналогично понятию равные отрезки, ведём понятие равные углы.

Дваугла считаются равными, если градус и его части укладываются в этих углах одинаковое число раз, т.е. равные углы имеют равные градусные меры.

Если один угол меньше другого, то градус в нём (или его часть) укладываются в этом углу меньшее число раз, чем в другом, т.е. меньший угол имеет меньшую градусную меру.

Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Далее рассмотрим классификацию углов.

Мы уже знаем, что есть развёрнутый угол, его градусная мера сто восемьдесят градусов.

Но есть и другие углы.

Например, прямой угол, его градусная мера девяносто градусов;

острый угол, его градусная мера меньше девяноста градусов;

тупой угол, его градусная мера больше девяноста градусов, но меньше ста восьмидесяти.

Выполним практическое задание – построим биссектрису угла с помощью транспортира.

Мы знаем, что биссектриса – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

OL – биссектриса ∠АОС.

Поэтому для начала определим градусную меру ∠АОС, она составляет 128°, тогда биссектриса этого угла, исходя из определения, составит 64 °.

Итак, сегодня получили представление о том, как измерять и изображать угол с помощью транспортира. Перейдем к практическим заданиям.

Способы измерения на местности.

Измерение углов на местности проводят с помощью различных приборов. Один из таких – астролябия, она состоит из диска (лимб), разбитого на градусы и вращающейся вокруг центра диска линейки (алидады). На концах алидады есть окошечки, которые нужны, чтобы устанавливать её в определённом направлении.

Опишем, как происходит измерение углов с помощью этого прибора. При измерении углов астролябию устанавливают в его вершине, например, точке О, при этом лимб должен находится горизонтально плоскости угла, а отвес, в центе диска, совпадать с вершиной угла.

Затем устанавливаем алидаду вдоль одной из сторон угла, например, АО, отмечаем деление, напротив которого находится указатель алидады.

Далее поворачиваем алидаду по часовой стрелке, пока она не совпадёт со второй стороной угла, у нас это сторона ОВ, отмечаем деление, напротив которого оказался указатель алидады. Теперь можно найти градусную меру измеряемого угла, как разность второго и первого измерения.

1. Луч ВК делит развернутый ∠ОВС на два угла, разность которых равна 56°. Найдите образовавшиеся углы.

Решение: нарисуем рисунок, исходя из условия задачи.

Обозначим ∠СВК за х, тогда ∠ОВК= х + 56°, исходя из условия задачи (разность углов равна 56°). Развёрнутый угол равен 180°. Составим уравнение и решим его.

Тогда ∠ОВК= х + 56°= 62° +56° = 118°.

Ответ: ∠СВК = 62°; ∠ОВК = 118°.

2. Чему равен ∠ЕОА, если ∠ВОА = 130° 54´, а ∠ВОЕ = 105° 76´?

Решение: Найдём ∠ЕОА = ∠ВОА – ∠ВОЕ, т.к. ОЕ – луч, проведённый из вершины ∠ВОА и делящий этот угол на 2 части. Подставим в выражение градусные меры углов и найдём градусную меру ∠ЕОА. Так как в градусе 60 минут, то 105° 76´ = 106° 16´.

Источник

Что принимают за единицу измерения углов

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла). Плоскость, содержащая обе стороны угла, делится углом на две области.

Содержание:

На рисунке 2.47 изображена прямая , на ней отмечена точка В, которая разделяет прямую на три части:

1) первая состоит из точек, лежащих левее точки В;

2) вторая состоит из самой точки В;

3) третья состоит из точек, лежащих правее точки В.

Объединение первого или третьего множеств с точкой В называется лучом или полупрямой. Таким образом, точка В определила на прямой два луча.

Точка В называется началом каждого из этих лучей или начальной точкой полупрямой.

Луч обозначается латинскими буквами: одной строчной (например, на рис. 2.48) или двумя заглавными, одна из которых обозначает начало луча, а вторая — какую-либо точку на луче (например, луч ВС на рис. 2.49).

Полупрямые прямой , на которые она разбивается точкой В, называются дополнительными.

В повседневной жизни мы часто употребляем понятие направления: направление движения пешехода или автомобиля, направление удара мяча в

футбольном матче, направление полета самолета или ракеты и т. д.

При задании направления используют понятие луча. В геометрии считают, что направление задается лучом, а определить понятие «направление» можно как множество лучей, сонаправлен-ных (одинаково направленных) с данным (рис. 2.50).

1. Если два луча лежат на одной прямой, то будем считать их одинаково направленными, если один из них содержится в другом, и противоположно направленными, если один из них не содержится в другом.

2. Если два луча параллельны, но не лежат на одной прямой, то проведем через их начала плоскость, которая разделит пространство на два полупространства. Если лучи лежат в одном из этих полупространств, то они сонаправлены (рис. 2.51). Если же лучи лежат в разных полупространствах, то они противоположно направлены (рис. 2.52).

Понятие угла

На рисунке 2.53 два луча OA и ОВ имеют общее начало. Эти два луча с общим началом всегда лежат в одной плоскости.

При таком расположении лучи разбивают плоскость, которую они образуют, на две части (рис. 2.54). Эти части плоскости вместе с образовавшими их лучами в геометрии называются углами.

Определение. Углом называется фигура, состоящая из двух различных лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости.

На рисунке 2.54 лучи OA и ОВ имеют общее начало — точку О и разбивают плоскость на две части. Исходя из определения угла, получили два различных угла.

Точка, из которой выходят ограничивающие угол лучи, называется вершиной угла, а сами лучи — сторонами угла (рис. 2.55). Лучи OA и ОС на этом рисунке определяют два угла.

Весь угол изобразить на рисунке нельзя, как нельзя на рисунке изобразить весь луч. Каждый угол в действительности продолжается бесконечно. На рисунке 2.56 выделены только части изображенных углов.

Слово «угол» иногда заменяют знаком . Часто при изображении угла чертят только выходящие из вершины начальные участки его сторон, а ту часть, которую хотят указать, обозначают дужкой (рис. 2.57)

Угол обозначается или одной заглавной буквой, поставленной у вершины угла, например: (рис. 2.57), или тремя буквами, из которых одна ставится при вершине угла, а две другие — у каких-нибудь точек сторон, например: (рис. 2.57). Буква, стоящая при вершине угла, всегда записывается между двумя другими буквами. Иногда угол обозначают цифрой, поставленной внутри угла (рис. 2.58).

Для изучения свойств углов используется понятие луча, проходящего между сторонами угла.

Определение. Луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.

На рисунке 2.59 луч ОВ проходит между сторонами угла АОС, так как он исходит из вершины угла АОС и пересекает отрезок MP. Концы отрезка MP лежат на сторонах угла АОС.

Возьмем луч АС (рис. 2.60) и будем поворачивать его вокруг точки А против часовой стрелки, например, до положения АВ, тогда его последовательные положения «заметут» угол со сторонами АС и АВ.

Продолжая вращать луч в том же направлении, мы будем получать все новые и новые углы. В определенный момент оба луча составят прямую линию (рис. 2.61). Такой угол называется развернутым углом.

Развернутый угол есть часть плоскости, ограниченная прямой, т. е. полуплоскость (рис. 2.62). Сторонами развернутого угла являются две дополнительные полупрямые.

Определение. Развернутым углом называют угол, стороны которого являются дополнительными полупрямыми одной прямой.

Если продолжить вращение луча дальше, чем показано на рисунке 2.62, то будут получаться новые углы (рис. 2.63), пока луч не вернется в свое первоначальное положение (рис. 2.64).

Самый большой возможный угол, полученный в ходе вращения луча, называется полным углом. Полный угол, в сущности, есть вся плоскость (рис. 2.65), а не ее часть, ограниченная двумя лучами.

Измерение углов

Каждый угол характеризуется его величиной, которая называется градусной мерой угла. Измерение углов осуществляется аналогично измерению отрезков — оно основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус — угол, равный части развернутого угла. Градус обозначают знаком .

Градусную меру часто называют просто величиной угла. Величина угла, равного части градуса, называется минутой и обозначается знаком , часть минуты называется секундой и обозначается знаком . Например, угол в 60 градусов 32 минуты 17 секунд записывается так: 60°32’17».

Так как градус составляет часть развернутого угла, развернутый угол равен 180°.

Определение. Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называют градусной мерой угла.

В зависимости от градусной меры углы бывают трех видов: острые, прямые и тупые.

Определение. Угол, равный 90°, называют прямым углом. Прямой угол обозначается буквой d. Угол, меньший 90°, называют острым углом. Угол, больший 90°, называют тупым углом.

Градусные меры угла обозначаются или так же, как сами углы, или буквами греческого алфавита. Например, запись читается: величина (или градусная мера) угла АОВ равна 45 градусам. На рисунке 2.66 величина острого угла записана: , читаем: величина угла меньше 90 градусов. Аналогично записываются и читаются величины прямого и тупого углов (рис. 2.67, 2.68).

Основные свойства измерения углов

Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Например, на рисунке 2.69 луч ОС проходит между сторонами угла АОВ, градусная мера угла АОВ равна сумме градусных мер углов АОС и СОВ, то есть

Для измерения градусных мер углов (величин углов) на уроках геометрии применяется транспортир (рис. 2.70). На рисунке 2.71 показано, как с помощью транспортира можно измерять угол в 30°, 90°, 120°. На рисунке 2.72 показано, как с помощью транспортира можно отложить от полупрямой OA в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой 60°.

Пример:

Между сторонами угла COD, равного 120°, проходит луч OA. Найдите углы СОА и AOD, если их градусные меры относятся как 4:2.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1.

2. Луч OA проходит между сторонами угла COD.

3.

Найдите градусные меры углов СОА и AOD.

4. (2, свойства измерения углов).

5. Так как градусные меры углов СОА и AOD относятся как 4:2, то можно считать, что состоит из 6 частей (1, 2, 3, 4).

6.

Равенство углов. Биссектриса угла

Как и при определении равенства отрезков, рассматриваются два определения равенства углов.

Определение. Углы равны, если равны их градусные меры.

На рисунке 2.73 изображены два угла ABC и DEM, величины которых равны, а значит, по определению, эти углы равны. Равенство углов обозначается так:

Определение. Углы называются равными, если их можно совместить наложением друг на друга.

Развернутые углы при наложении всегда могут быть совмещены. Отсюда следует, что все развернутые углы равны между собой. Полные углы равны между собой.

Пусть есть два угла: (рис. 2.74). Если угол 1 наложить на угол 2 так, чтобы их вершины совпали, одна из сторон угла 1 совместится со стороной угла 2, но при этом угол 1 составит только часть угла 2 (рис. 2.75). В этом случае говорят, что величина угла 1 меньше величины угла 2. Можно сформулировать по-другому: угол 1 меньше угла 2.

Используя понятие равенства углов, можно дать определение одному из важных понятий геометрии — биссектрисе угла.

Определение. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

На рисунке 2.76 луч ОМ — биссектриса угла АОВ, при этом

Смежные углы

Определение. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

На рисунке 2.77 являются смежными, так как лучи OA и ОС — дополнительные полупрямые, а луч ОВ — общая сторона этих углов.

Теорема 4.

Сумма смежных углов равна 180°.

Из теоремы 4 вытекают следующие следствия — свойства смежных углов.

Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Следствие 3. Угол, смежный с острым, является тупым, а смежный с тупым — острым.

Вертикальные углы

На рисунке 2.78 изображены две пересекающиеся в точке О прямые АВ и CD. При пересечении этих прямых образовалось четыре угла:

Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

На рисунке 2.78 углы 1 и 3, 2 и 4 вертикальные.

Теорема 5.

Вертикальные углы равны.

Очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Смежные углы дополняют друг друга до 180°. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми.

Пример:

На рисунке 2.79 угол COD равен 30°. Чему равны углы АОК и DOK?

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. Прямые СК и AD пересекаются в точке О.

2. (рис. 2.79)

3. Найдите углы АОК и DOK.

4. Углы COD и АОК вертикальные (1, определение вертикальных углов).

5. (2, свойство вертикальных углов).

6. Угол DOK смежный с углом COD (1, определение смежных углов).

7. (6, свойство смежных углов).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник