Как восстановить равенство 8 класс
Как восстановить пропущенные цифры в равенстве?
Восстанови пропущенные цифры в равенстве [ ]3*1[ ]=[ ]31, если последняя цифра второго множителя и первая цифра в произведении одинаковые.
Как можно заметить, произведение двух чисел, одно из которых оканчивается на цифру 3, оканчивается на единицу. Вспоминая таблицу умножения, приходим к выводу, что второе число в этом случае может оканчиваться только на цифру 7.
Стало быть, второй сомножитель равен 17, ну а произведение, исходя из условий задачи, в таком случае равно 731.
И теперь для нахождения первого сомножителя всего-то необходимо разделить 731 на 17, в результате чего получим, что он равен 43.
Таким образом, приведенная в задаче запись после восстановления пропущенных в ней цифр будет выглядеть следующим образом.
43*17 = 731.
Запишем равенство немного по-другому для удобности, введя переменные и не забывая о разрядах чисел.
Помним из вопроса, что:
Следовательно, немного редактируем уравнение и получаем:
Наверняка речь идет о задание ЕГЭ номер 17 по профильной математике. Хотя задания о кредитах, вкладах, процентах по вкладу, вообще о деньгах встречаются и в базовой части. Но все они несложные и решаются в один или два приема.
Задание 17 же это уже высокого уровня сложности.
Там правда чаще встречаются задания по вкладам, но и кредиты, и вклады решаются одинаково.
Ясно, что знаменатель прогрессии 1,1 (10%), сумма прогрессии 2 395 800, но есть еще и дополнительные условия: три платежа и соотношения между ними. Лучше всего обозначить через х сумму первого платежа и дальше уже составлять и решать уравнения.
Законы математики
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Переместительный закон сложения
Начнем изучать основные законы математики со сложения натуральных чисел.
Переместительный закон сложения
От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. С помощью переменных его можно записать так:
m + n = n + m
Переместительный закон сложения работает для любых чисел.
Если прибавить шестерку к двойке — получим восьмерку. И наоборот, прибавим двойку к шестерке — снова получим восьмерку. Это доказывает справедливость переместительного закона сложения.
Приведем пример с весами, которые используют продавцы в магазинах.
Если мы положим на одну чашу весов 3 килограмма конфет, а на другую — такие же 3 килограмма конфет, то стрелка весов будет на нейтральной позиции. Это говорит нам о том, что чаши действительно весят одинаково.
При этом неважно, как будут лежать конфеты, в каком порядке. Если перемешать конфеты в пакете, как шары в лотерейном мешке — их вес не изменится и будет по-прежнему 3 килограмма. От перестановки мест конфет их сумма, то есть вес, не меняется.
Поэтому, между выражениями 8 + 2 и 2 + 8 можно поставить знак равенства. Это значит, что их сумма равна:
Формула переместительного закона для обыкновенных дробей:
Чтобы сложить две дроби с одинаковым знаменателем, нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Вот так:
Сочетательный закон сложения
Сочетательный закон сложения помогает группировать слагаемые для удобства их вычислений.
Сочетательный закон сложения: два способа
Чтобы лучше запомнить суть этого закона, просто выбирайте формулировку, которая вам больше нравится.
Рассмотрим сумму из трех слагаемых:
Чтобы вычислить это выражение, можно сначала сложить числа 1 и 3 и к полученному результату прибавить 4. Чтобы было удобнее, можно сумму 1 и 3 взять в скобки — так мы поймем, что ими нужно заняться в первую очередь:
Или по-другому: сложим числа 3 и 4 и к результату прибавим 1:
В обоих случаях получается один и тот же результат — что и требовалось доказать.
Между выражениями (1 + 3) + 4 и 1 + (3 + 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному и тому же значению:
Отразим сочетательный закон сложения с помощью переменных:
(a + b) + c = a + (b + c)
Формула сочетательного закона для обыкновенных дробей:
Например, если к сумме одной седьмой и трёх седьмых прибавить четыре седьмых, то в результате получим восемь седьмых.
Переставим скобки — к одной седьмой прибавим сумму трёх седьмых и четырех седьмых. И снова ответ будет восемь седьмых.
Значит, сочетательный закон справедлив и для обыкновенных дробей.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Переместительный закон умножения
С каждым новым правилом решать задачки по математике все интереснее.
Переместительный закон умножения
От перемены мест множителей произведение не меняется. То есть, если множимое и множитель поменять местами — их произведение никак не изменится.
Проверим, действительно ли это так. Умножим пятерку на двойку, а потом наоборот:
В обоих случаях получили один ответ — значит между выражениями 5 * 2 и 2 * 5 можно поставить знак равенства.
Переместительный закон умножения с помощью переменных выглядит так:
a * b = b * a
Сочетательный закон умножения
Рассмотрим еще один полезный закон в математике.
Сочетательный закон умножения
Если выражение состоит из нескольких сомножителей, то их произведение не зависит от порядка действий.
Другими словами, умножайте числа в любом порядке — как вам больше нравится.
Это выражение можно вычислить в любом порядке. Давайте сначала перемножим числа 2 и 3, а полученный результат умножим на 4:
А теперь по-другому: перемножим числа 3 и 4, а результат умножим на 2:
Тот же ответ! Значит между выражениями (2 * 3) * 4 и 2 * (3 * 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному значению.
Для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:
a * b * с = (a * b) * с = a * (b * с)
Пример
Вычислить: 5 * 6 * 7 * 8.
Это выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим слева направо:
Распределительный закон умножения
Для умножения есть еще один закон — распределительный. На математике в 6 классе он звучит так:
Распределительный закон умножения
То есть при помощи распределительного закона умножения можно умножить сумму на число и число на сумму. Проверим на примере:
Сначала выполним действие в скобках:
В главном выражении (3 + 5) * 2 заменим выражение в скобках на восьмерку:
Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое в скобках, нужно умножить на 2, а потом сложить полученные результаты:
Отразим распределительный закон умножения с помощью переменных:
(a + b) * c = a * c + b * c
Выражение в скобках (a + b) — это множимое. Тогда переменная с — множитель, так как они соединены знаком умножения.
Из переместительного закона умножения мы знаем, что от перемены мест множимого и множителя произведение не изменится.
Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c * (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для такого умножения можно применять распределительный закон умножения. Переменную c можно умножить на каждое слагаемое в скобках:
c * (a + b) = c * a + c * b
Пример 1
Умножим пятерку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:
5 * (3 + 2) = 5 * 3 + 5 * 2 = 15 + 10 = 25
Пример 2
Найти значение выражения 2 * (5 + 2).
Умножим двойку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:
2 * (5 + 2) = 2 * 5 + 2 * 2 = 10 + 4 = 14
Если в скобках не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. А после из полученного первого числа вычесть второе число.
Пример 3
Умножим четверку на каждое число в скобках. Из полученного первого числа вычтем второе число:
4 * (6 − 2) = 4 * 6 − 4 * 2 = 24 − 8 = 16
Распределительный закон умножения для суммы обыкновенных дробей:
Распределительный закон умножения для разности обыкновенных дробей:
Проверим справедливость этого закона:
Посчитаем, чему равна левая часть равенства.
Теперь посчитаем, чему равна правая часть равенства.
Так мы доказали справедливость распределительного закона.
Задания для самопроверки
Давайте потренируемся! Решите примеры и сравните с ответами — только чур, не подглядывать 🙂
Задание 1. Найти значение выражения: 8 * (1 + 6).
Задание 2. Применить распределительный закон умножения: 2 * (9 + 5).
Задание 3. Решить в порядке выполнения действий: 3 * (6 + 4) + 7 * (8 + 2).
Задание 4. Решить выражение: 4 * (5 + 4) + 9 * (3 + 2).
Задание 5. Применить распределительный закон умножения: 13 * (3 + 8) + 5 * (4 + 2)
Восстановите равенство?
Дробь 3 и обьясните как вы это сделали Пожалуйста.
ЗАПИШИТЕ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО 15 В ВИДЕ ДРОБИ СО ЗНАМЕНАТЕЛЕМ 3?
ЗАПИШИТЕ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО 15 В ВИДЕ ДРОБИ СО ЗНАМЕНАТЕЛЕМ 3?
Восстановить равенство?
Востановите равенство?
Данное натуральное число запишите в виде дроби : 8 = * / 4 ; 8 = * / 9 Пожалуйста помогите умоляю!
Запишите натуральное число в виде неправильной дроби со знаменателем 4?
Запишите натуральное число в виде неправильной дроби со знаменателем 4.
Восстановите равенство?
Данное натуральное число запишите в виде дроби : 8 = * / 4 ; 8 = * / 9.
Восстановите равенство?
Данное натуральное число запишите в виде дроби 12 = 96 дробь * И обьясните как это сделали пж.
2 = * / 3 2 = 14 / * 8 = * / 4 8 = * / 9 12 = * / 5 12 = 96 / * 27 = 270 / * 27 = * / 100 ВОССТАНОВИТЕ РАВЕНСТВО ДАННОЕ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО ЗАПИШИТЕ В ВИДЕ ДРОБИ?
2 = * / 3 2 = 14 / * 8 = * / 4 8 = * / 9 12 = * / 5 12 = 96 / * 27 = 270 / * 27 = * / 100 ВОССТАНОВИТЕ РАВЕНСТВО ДАННОЕ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО ЗАПИШИТЕ В ВИДЕ ДРОБИ.
Запиши натуральное число в виде неправильной дроби заполните таблицу?
Запиши натуральное число в виде неправильной дроби заполните таблицу.
Запишите в виде дроби со знаменателем 7 натуральные числа 5 и 16?
Запишите в виде дроби со знаменателем 7 натуральные числа 5 и 16.
Запишите все натуральные числа которые расположены на числовом луче между дробями 13, 6 и 17, 48Можно пожалуйста с решением и желательно обьясните?
Запишите все натуральные числа которые расположены на числовом луче между дробями 13, 6 и 17, 48
Можно пожалуйста с решением и желательно обьясните.
Взвешиваем любые два слитка. Если вес равный, то не взвешенный слиток точно весит не 4 грамма. Делаем второе взвешивание со слитком который точно весит не 4 грамма и с любым другим. Если слиток который весит точно не 4 грамма тяжелее, значит он то..
1)а)13, 365 б)1, 6835 2)0, 01.
Ответ на 1) 2700 Ответ на 2) 80.
Конечный ответ 25 процентов, надеюсь по записи разберешься.
24 / 32 = 3 / 4 (24 / 32 = 0. 75 0. 75 * 4 = 3 ).
Ответ : 1440Пошаговое объяснение : На фото.
Восстановите равенство?
×× : × + × = 7, используя цифры 6, 2, 3 и 4.
Каждую цифру можно использовать один раз.
Восстановить пропущенные цифры?
Восстановить пропущенные цифры.
Каждую цифру можно использовать 1 раз.
Каждую цифру можно использовать 1 раз.
Восстанови пропущенные цифры?
Восстанови пропущенные цифры.
Используя цифры 2, 5, 8 составь верные равенства?
Используя цифры 2, 5, 8 составь верные равенства.
Замени звездочки цифрами 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы получилось верное равенство?
Замени звездочки цифрами 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы получилось верное равенство.
Каждую цифру можно использовать ровно 1 раз.
Восстанови пропущенные цифры в равенстве?
Восстанови пропущенные цифры в равенстве.
Взвешиваем любые два слитка. Если вес равный, то не взвешенный слиток точно весит не 4 грамма. Делаем второе взвешивание со слитком который точно весит не 4 грамма и с любым другим. Если слиток который весит точно не 4 грамма тяжелее, значит он то..
1)а)13, 365 б)1, 6835 2)0, 01.
Ответ на 1) 2700 Ответ на 2) 80.
Конечный ответ 25 процентов, надеюсь по записи разберешься.
24 / 32 = 3 / 4 (24 / 32 = 0. 75 0. 75 * 4 = 3 ).
Ответ : 1440Пошаговое объяснение : На фото.
2.1. Выражения, равенства, неравенства
На бумаге написано следующее:
Как это можно прочитать? До сих пор мы обычно говорили: «Три плюс два равно пять». Но можно сказать и по-другому. Например:
— Три и два — это пять.
— К трем прибавить два будет пять.
— Складываем три и два, в результате получаем пять.
— Три увеличить на два станет пять.
— Сумма чисел три и два равна пяти.
Кстати, «роли», которые играют числа в этой записи, имеют такие названия:
первое слагаемое + второе слагаемое = сумма
Подобным же образом,
это не только «пять минус два равно три», но и:
— Пять без двух — это три.
— От пяти отнять два будет три.
— Из пяти вычесть два получится три.
— Пять уменьшить на два составит три.
— Разность чисел пять и два равна трем.
— Если уменьшаемое равно 5, а вычитаемое равно 2, то разность равна 3.
«Роли» чисел в примерах на вычитание называются так:
уменьшаемое − вычитаемое = разность
В бытовом языке символ «=» допустимо читать как «будет» или «получится». Однако, следует иметь в виду, что на самом деле символ «=» означает «это столько же, сколько». Ведь можно написать не только так:
Семь — это столько же, сколько четыре плюс три.
Рассмотрим такую ситуацию. У Дениса есть 5 конфет. Его младший брат Матвей просит:
— Поделись, пожалуйста, со мной.
Денис раскладывает конфеты на две кучки. Одну кучку оставляет себе, другую дает Матвею. Спрашивается: как 5 конфет можно поделить на две кучки? Возможные ответы:
5 = 1 + 4 (Денис оставляет одну конфету себе, а четыре дает Матвею);
5 = 2 + 3;
5 = 3 + 2;
5 = 4 + 1.
Но это еще не все возможные варианты. Может оказаться так, что Денису эти конфеты вообще не нравятся, и он все их отдает Матвею:
А, может быть, Денис вовсе не захочет делиться конфетами, и тогда следует написать так:
Все эти ответы можно объединить в одну строчку:
5 = 0 + 5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 4 + 1 = 5 + 0.
Допустим, что какой-нибудь взрослый дядя — непрошеный экзаменатор — спросит у Дениса:
— Считать умеешь? А ну-ка сложи два и три, чему это равно?
Денис теперь смело может ответить:
— Это равно три плюс два.
И Денис будет совершенно прав. Действительно,
Но как же тогда грамотно попросить вычислить «два плюс три», чтобы ответом было одно-единственное число?
Грамотный вопрос звучит так:
— Чему равно значение выражения 2 + 3?
Математическим выражением называется всё, про что можно спросить: «Это сколько? Какому числу это равно?» Мы уже встречались с такими выражениями, как «2 + 3», «5 − 2». Числа сами по себе тоже являются выражениями. Ведь не будет ошибкой утверждать, что
Значит, «2» — это выражение.
Ответ на вопрос: «Это сколько? Какому числу это равно?» — называется значением выражения. Например, значением выражения «2 + 3» является «5». Записывается это уже знакомым нам способом:
Если два выражения имеют одно и то же значение, то между ними ставится знак «=» и полученная запись называется равенством, например:
1 + 4 = 2 + 3;
7 = 2 + 5.
Мы уже знаем, что равенства могут образовывать цепочки:
5 = 0 + 5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 4 + 1 = 5 + 0.
Если два выражения имеют разные значения, то ставить знак «=» между ними было бы неверно, но можно поставить другой знак, а именно «≠». Например,
1 ≠ 2 (читается: один не равен двум);
3 + 2 ≠ 4 (три плюс два не равно четырем);
10 ≠ 7 − 3 (десять не равно семи минус три).
Такие записи называются неравенствами. Однако такого рода неравенства часто оставляют некоторую неудовлетворенность. Вряд ли Денис скажет:
— Мой возраст неравен возрасту Матвея.
Скорее всего, он выразится так:
— Я старше Матвея. Мне больше лет, чем ему. Матвей младше меня. Ему меньше лет, чем мне.
Мы знаем, что Денису 7 лет, а Матвею 5. Мы можем записать так:
7 > 5 (читается: семь больше пяти; или: семь больше, чем пять)
5 5 + 3 (семь плюс три больше, чем пять плюс три);
5 + 3 » («больше») или « 2 > 1 > 0.
Допустимы также смешанные цепочки, в которых присутствуют как равенства, так и неравенства. Пусть, например, спрашивается: что больше:
Ответ на этот вопрос удобно представить в следующем виде:
Вероятно, иногда Денису захочется сказать так:
— Я старше Матвея на два года. Мне на два года больше, чем ему. Матвей младше меня на два года. Ему на два года меньше, чем мне.
Чтобы это записать с помощью чисел, снова понадобятся равенства. Такую запись можно сделать разными способами:
7 = 5 + 2;
5 = 7 − 2;
2 = 7 − 5.
Теперь поговорим о словах, которые принято употреблять, когда мы говорим об умножении и делении нацело. Пусть дано равенство
Эту запись можно прочитать следующими разными способами:
3 умножить на 5 равно 15;
произведение чисел 3 и 5 равно 15;
число 3 увеличили в 5 раз и получили 15;
число 5 увеличили в 3 раза и получили 15;
число 15 в 5 раз больше числа 3;
число 3 в 5 раз меньше числа 15;
число 15 в 3 раза больше числа 5;
число 5 в 3 раза меньше числа 15.
«Роли» распределяются таким образом:
первый сомножитель ∙ второй сомножитель = произведение
В школе произведения всех чисел, которые меньше или равны десяти, записывают в виде большой скучной таблицы, называемой таблицей умножения. Эту таблицу заставляют учить наизусть. Для облегчения зубрежки, в русском языке для произведений из таблицы умножения имеются специальные названия, например,
2 ∙ 2 — дважды два;
3 ∙ 6 — трижды шесть;
4 ∙ 5 — четырежды пять;
5 ∙ 8 — пятью восемь
и тому подобное.
Рассмотрим теперь равенство
Прочесть эту запись можно так:
15 поделить на 3 равно 5;
15 разделить на 3 равно 5;
частное от деления числа 15 на число 3 равно 5;
отношение чисел 15 и 3 равно 5;
число 15 в 3 раза больше числа 5;
число 5 в 3 раза меньше числа 15.
«Роли» распределяются так:
делимое / делитель = частное
2.1.1. Какие два числа надо сложить, чтобы результат был равен четырем? Выписать все возможные ответы.
2.1.2. Какое число надо вычесть из какого, чтобы результат был равен двум? Написать один из возможных ответов.
2.1.3. Указать, что из следующих записей является выражением, что равенством, что неравенством, что бессмыслицей. Какие из равенств и неравенств являются верными, а какие нет?
1
10
10 +
10 + 8
10 + 8 =
10 + 8 = 1
10 + 8 = 18
2
25
25 −
25 − 5
25 − 5 >
25 − 5 > 1
25 − 5 > 10
25 − 5 > 10 +
25 − 5 > 10 + 2
25 − 5 > 10 + 20
2.1.4. Найти значение выражений
37 + 54
98 − 73
и т.п.
2.1.5. Сравнить выражения (поставить между ними знак «=», «>» или « 71 − 16 = 55.
2.1.6. У Дениса 25 конфет, а у Матвея на 3 конфеты меньше. Сколько конфет у Матвея?
2.1.7. У Дениса 25 конфет, а у Матвея на 3 конфеты больше. Сколько конфет у Матвея?
2.1.8. У Дениса 25 конфет, а у Матвея 23 конфеты. У кого конфет больше и насколько?
2.1.9. У Дениса 33 конфеты, а у Матвея 35 конфет. У кого конфет меньше и насколько?
2.1.10. У Дениса было 25 конфет, а у Матвея было 23 конфеты. Денис съел 4 конфеты. У кого конфет теперь больше и насколько?
2.1.11. (Маленькая провокация) У Дениса было 25 конфет, а у Матвея было 23 конфеты. Денис съел 2 конфеты. У кого конфет теперь меньше и насколько?
2.1.12. У Дениса было 25 конфет, а у Матвея 23 конфеты. Денис съел 14 конфет, а Матвей съел 10 конфет. У кого конфет стало больше и насколько?
2.1.13. Папа дал Денису 10 конфет, а Матвею 5 конфет. Матвей сказал: «Так нечестно», — и попросил Дениса поделиться с ним еще конфетами. После этого Денис дал Матвею 2 конфеты. Стало ли у них конфет поровну? Если нет, у кого больше и насколько?
2.1.14. Денису 7 лет, а Матвею 5 лет. Сколько лет будет Матвею, когда Денису будет 10 лет? Сколько лет будет Денису, когда Матвею будет 10 лет?
2.1.15. У Дениса 20 конфет, а у Матвея в два раза меньше. Сколько конфет у Матвея?
2.1.16. У Дениса 5 конфет, а у Матвея в 3 раза больше. Сколько конфет у Матвея?
2.1.17. Начиная с этого этапа, задачи можно брать из пособий и задачников, официально рекомендованных для школьников и продающихся в книжных магазинах. Однако такие задачи часто сформулированы весьма заумно и требуют дополнительного редактирования. Например, имеется следующая задача (О. В. Узорова. 3000 задач и примеров по математике: 3-4 кл. Москва, 2001):
«Камни, которые врезаются в атмосферу Земли и полностью в ней сгорают, называются метеорами. Они загораются на высоте 100 км, и, горя, летят еще 30 км. Сколько километров до Земли остается пролететь пыли и пеплу от этого метеора?»
Если предложить ребенку задачу именно в таком виде, то есть риск погрязнуть в объяснениях относительно того, откуда берутся метеоры, чем они отличаются от метеоритов, что такое атмосфера, почему тела нагреваются при трении о воздух, и, вообще, как устроена Вселенная. Это всё вещи, конечно, интересные, но, раз уж мы решили заниматься математикой, то лучше ту же самую задачу перевести на более привычный язык. Вот один из возможных вариантов:
«От подъезда дома до магазина, где продается мороженое, 100 шагов. Папа отправился в магазин, чтобы купить Денису мороженое. Он прошел уже 30 шагов. Сколько шагов ему осталось пройти?»