Как вписать эллипс в параллелограмм

Руководство пользователя

динамической программной среды «Математический конструктор»

Эллипс, вписанный в параллелограмм

Для построения Эллипса, вписанного в параллелограмм, необходимо выделить или построить три точки, являющиеся вершинами параллелограмма. В результате будет создан эллипс вместе со своим центром. Этот эллипс – изображение окружности, вписанной в квадрат, которое получено в результате аффинного преобразования, переводящего квадрат в параллелограмм с вершинами в выбранных точках.

Также инструмент может работать в режиме команды: для этого сначала нужно выделить точки, а потом вызвать инструмент. Если число выделенных точек больше трех, но кратно трем, то будет построено несколько эллипсов, заданных последовательными тройками точек.

Эллипс также можно построить при помощи других инструментов:

© ООО «1С-Паблишинг», 2007-2021
© ООО «Виртуальная лаборатория», 2009-2021

Источник

Вписать эллипс в параллелограмм

Поставил я себе грандиозную задачу — изобразить проекцию квадрата с вписанной окружностью на произвольную плоскость. Квадрат проецируется достаточно просто и в общем виде он принимает вид параллелограмма. Окружность же преобразуется в эллипс, центр которого лежит на пересечении диагоналей параллелограмма, стороны параллелограмма касаются эллипса и в точках касания делятся пополам.

С помощью элементарных преобразований я могу вычислить координаты точек окружности на получившейся проекции, но при отрисовке возникает некоторая угловатость (см. вложение). Дайте совет, как вычислить координаты фокусов получившегося эллипса или размеры и угол поворота полуосей, чтобы я мог отрисовать получившийся эллипс, опираясь на эти данные, а не разбивая окружность на громадное количество отрезков.

Вписать равносторонний пятиугольник в эллипс
Существует аналитическое решение данной задачи или нет? Я составил систему уравнений, но они.

Параллелограмм
Помогите пожалуйста решить задачу: В параллелограмме со сторонами 3 и 5 проведены биссектрисы.

Параллелограмм
Помогите, пожалуйста, написать программу. Задание: На координатной плоскости действительными.

параллелограмм
Известны стороны параллелограмма и угол между ними. Вычислить объём и площадь полной поверхности.

Параллелограмм на графике
не могу понять что не так. почему он не соединяет точки. заданы координаты точек. по ним.

Нарисовать параллелограмм
Помогите с кодом имеется код на задание Нарисовать параллелограмм вида: | |.

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

Вписать эллипс в параллелограмм

Поставил я себе грандиозную задачу — изобразить проекцию квадрата с вписанной окружностью на произвольную плоскость. Квадрат проецируется достаточно просто и в общем виде он принимает вид параллелограмма. Окружность же преобразуется в эллипс, центр которого лежит на пересечении диагоналей параллелограмма, стороны параллелограмма касаются эллипса и в точках касания делятся пополам.

С помощью элементарных преобразований я могу вычислить координаты точек окружности на получившейся проекции, но при отрисовке возникает некоторая угловатость. Помогите советом, как вычислить координаты фокусов получившегося эллипса или размеры и угол поворота полуосей, чтобы я мог отрисовать получившийся эллипс, опираясь на эти данные, а не разбивая окружность на громадное количество отрезков.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось iifat 17.05.2018, 18:24, всего редактировалось 1 раз.

Самый, пожалуй, тупой вариант — помнится, кривая второго порядка однозначно определяется по пяти точкам.

Второй, пожалуй, чуть поумнее: как понимаю, параллельная проекция, да? Как проходит большая ось эллипса? Как малая? И чему, стало быть, равно отношение их длин?

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Проекция параллельная, да. Если получится каким-то образом малой кровью найти расположение осей эллипса, то будет превосходно.

Последний раз редактировалось Sinoid 18.05.2018, 12:09, всего редактировалось 1 раз.

Так. на всякий случай. Плоскость проекции можно считать проходящей через центр квадрата (окружности).

Вообще, ИМХО, проектируемую окружность проще считать расположенной в плоскости : там, параметрическое уравнение окружности можно взять, так координаты поврозь можно подставлять, куда нужно.

Источник

Как вписать эллипс в параллелограмм

Задача:
1. По заданным трём вершинам параллелограмма найти фокусы, полуоси, центр, вершины эллипса который вписанный в данный параллелограмм.
2. По заданным центру и полуосям найти вершины паралеллограмма в который вписан эллипс.

Посоветуйте книгу по данному материалу.

	От:	subdmitry
	Дата:	13.02.09 09:09
Оценка:

	От:	DIMEDROLL
	Дата:	13.02.09 09:25
Оценка:

Здравствуйте, subdmitry, Вы писали:

S>Не задается однозначно.

Я не понял. Вы хотите сказать что в такой параллелограмм можно вписать несколько эллипсов или что?

	От:	subdmitry
	Дата:	13.02.09 10:01
Оценка:

Здравствуйте, DIMEDROLL, Вы писали:

DIM>Я не понял. Вы хотите сказать что в такой параллелограмм можно вписать несколько эллипсов или что?

Хочу сказать. Представьте себе, что эллипс становиться уже и немного более вытянутым. Запросто можно вписать.

	От:	Кодт
	Дата:	13.02.09 10:03
Оценка:	+2

Здравствуйте, DIMEDROLL, Вы писали:

DIM>1. По заданным трём вершинам параллелограмма найти фокусы, полуоси, центр, вершины эллипса который вписанный в данный параллелограмм.
DIM>2. По заданным центру и полуосям найти вершины паралеллограмма в который вписан эллипс.

Эллипс однозначно строится не по 4, а по 5 точкам.
Здесь же получается семейство эллипсов, причём даже не соосных. Ну и, соответственно, семейство параллелограммов (для второго пункта).

Хотя центр любого эллипса, вписанного в данный параллелограмм, совпадает с центром параллелограмма.

	От:	DIMEDROLL
	Дата:	13.02.09 10:33
Оценка:

Здравствуйте, subdmitry, Вы писали:

S>Хочу сказать. Представьте себе, что эллипс становиться уже и немного более вытянутым. Запросто можно вписать.

Тогда он не будет касаться всех четырех сторон. Если у вас есть пример или ссылка на несколько эллипсов вписанных в параллелограмм, поделитесь ими.

	От:	subdmitry
	Дата:	13.02.09 10:42
Оценка:

Здравствуйте, DIMEDROLL, Вы писали:

S>>Хочу сказать. Представьте себе, что эллипс становиться уже и немного более вытянутым. Запросто можно вписать.
DIM>Тогда он не будет касаться всех четырех сторон.

Почему не будет? Можно регулировать его вторую (большую) ось и угол ее наклона. Впишется. Два условия касания и два параметра — уравнение имеет решение.

Ну и сами подумайте, если вокруг одного эллипса можно описать целое семейство параллелограммов (надеюсь, это сомнений не вызывает?), как может быть, что в параллелограмм можно вписать только один эллипс?

DIM>Если у вас есть пример или ссылка на несколько эллипсов вписанных в параллелограмм, поделитесь ими.

Максимум могу нарисовать от руки, но будет довольно коряво.

	От:	DIMEDROLL
	Дата:	13.02.09 11:15
Оценка:

Хорошо. И все таки мне нужна литература по эллипсам в параллелограмме.

	От:	MBo
	Дата:	13.02.09 12:55
Оценка:

Здравствуйте, DIMEDROLL, Вы писали:

DIM>Здравствуйте, subdmitry

DIM>Хорошо. И все таки мне нужна литература по эллипсам в параллелограмме.

Вряд ли существует именно такая литература, так что стоит смотреть книги по аналитической геометрии, главы о конических сечениях.

Если вам подойдет выбор одного из вариантов «красивого вписывания», то можно ограничиться, например, эллипсом, который касается середин сторон параллелограмма (примерно такой на приведенном рисунке). Его параметры нетрудно получить, если взять единичный квадрат со вписанной окружностью, и применить такое аффинное преобразование, которое переведет квадрат в нужный параллелограмм

	От:	kamre
	Дата:	17.02.09 02:04
Оценка:	+1

Здравствуйте, DIMEDROLL, Вы писали:

DIM>Я не понял. Вы хотите сказать что в такой параллелограмм можно вписать несколько эллипсов или что?

Легко:

	От:	DIMEDROLL
	Дата:	17.02.09 08:35
Оценка:

Здравствуйте, MBo, Вы писали:

MBo>Вряд ли существует именно такая литература, так что стоит смотреть книги по аналитической геометрии, главы о конических сечениях.

MBo>Если вам подойдет выбор одного из вариантов «красивого вписывания», то можно ограничиться, например, эллипсом, который касается середин сторон параллелограмма (примерно такой на приведенном рисунке). Его параметры нетрудно получить, если взять единичный квадрат со вписанной окружностью, и применить такое аффинное преобразование, которое переведет квадрат в нужный параллелограмм

Да. Именно такое «красивое вписывание» и есть у меня. Тоесть эллипс вписанный в параллелограмм таким образом что касается середин сторон параллелограмма. В книге «Энциклопедия элементарной математики. т 5 Геометрия» Александров П.С. нужной информации для решения задачи не нахожу, как и в остальных книгах.

	От:	subdmitry
	Дата:	17.02.09 11:55
Оценка:

Здравствуйте, kamre, Вы писали:

DIM>>Я не понял. Вы хотите сказать что в такой параллелограмм можно вписать несколько эллипсов или что?

K>Легко:

kamre, вы бы поделились с человеком формулами и сорцами. А то он все книги ищет.

	От:	MBo
	Дата:	17.02.09 12:56
Оценка:

Здравствуйте, DIMEDROLL, Вы писали:

DIM>Да. Именно такое «красивое вписывание» и есть у меня. Тоесть эллипс вписанный в параллелограмм таким образом что касается середин сторон параллелограмма. В книге «Энциклопедия элементарной математики. т 5 Геометрия» Александров П.С. нужной информации для решения задачи не нахожу, как и в остальных книгах.

В элементарной математике такого и не должно быть.

	От:	MBo
	Дата:	17.02.09 13:06
Оценка:

MBo>Например, наклон оси Tg(fi)=B/(A-C)

	От:	kamre
	Дата:	17.02.09 13:10
Оценка:

Здравствуйте, subdmitry, Вы писали:

S>kamre, вы бы поделились с человеком формулами и сорцами. А то он все книги ищет.

У меня нет готовых формул для этой задачки. А задачку я решал в общем виде с помощью геометрического решателя:

А для той gif анимации просто еще угол поварьировал для оси эллипса, чтобы показать, что у эллипса осталась одна степень свободы.

	От:	subdmitry
	Дата:	17.02.09 14:57
Оценка:

Здравствуйте, kamre, Вы писали:

K>Здравствуйте, subdmitry, Вы писали:

S>>kamre, вы бы поделились с человеком формулами и сорцами. А то он все книги ищет.

K>У меня нет готовых формул для этой задачки. А задачку я решал в общем виде с помощью геометрического решателя:

Ну вот этот геометрический решатель и может представлять ценность. Как он работает, это какой-то плавный подбор параметов пока окружающие эллипс стороны не станут как надо?

	От:	kamre
	Дата:	18.02.09 02:38
Оценка:

Здравствуйте, subdmitry, Вы писали:

S>Как он работает, это какой-то плавный подбор параметов пока окружающие эллипс стороны не станут как надо?

Так что к задаче топикстартера отношения мало на самом деле, у него все гораздо проще, и решается все аналитически (по готовым формулам).

	От:	DIMEDROLL
	Дата:	18.02.09 09:43
Оценка:

Здравствуйте, MBo, Вы писали:

MBo>A=bx^2+by^2
MBo>B=2*(bx*cx+by*cy)
MBo>C=cx^2+cy^2
MBo>D=-bx-by
MBo>E=-cx-cy
MBo>F=1/4
MBo>Из этих данных уже можно вытащить все параметры эллипса. Например, наклон оси Tg(fi)=B/(A-C)
MBo>Но это уже самостоятельно.

Если А, B и С это точки вершин параллелограмма. То что означают коэффициенты D, E и F?

	От:	Кодт
	Дата:	18.02.09 11:13
Оценка:

Здравствуйте, DIMEDROLL, Вы писали:

Давай сперва рассмотрим простую задачу: ромб, описанный вокруг окружности.

Окружность единичного радиуса с центром в центре координат.
Ромб, диагонали которого лежат на осях координат, касается окружности в точках (±cosa, ±sina).
Соответственно, вершины ромба — (±1/cosa, 0) и (0, ±1/sina).
А длина стороны ромба — 1/(cosa·sina).

Таким образом, меняя параметр a в интервале (0,П/2) мы получаем семейство ромбов.
Чтобы избавиться от тригонометрии, перейдём к s = sina, c = sqrt(1-s^2).

Ну а дальше — аффинные преобразования, сжимающие наш ромб до квадрата, а окружность превращается в эллипс.
При s->0 или s->1 эллипс вырождается до диагонали квадрата.

Было:
— эллипс с уравнением 1/xx+1/yy=1 (окружность)
— ромб с вершинами (1/(1-ss),0) и (0,1/s)

Масштабируем (x’,y’) = (x·sqrt(1-ss), y·s)
Получаем
— квадрат с вершинами (1,0) и (0,1)
— эллипс с уравнением (1/(1-ss))·1/xx + (1/ss)·1/yy = 1

Если нам нужно вписать эллипс в параллелограмм, то
— находим аффинное преобразование, переводящее квадрат с вершинами (0,±1),(1,±0) в исходный параллелограмм
— варьируя s, получаем семейство эллипсов и применяем к ним это преобразование

И наоборот, если нужно описать параллелограмм вокруг эллипса
— находим аффинное преобразование, переводящее эллипс в единичную окружность, а его оси — в оси координат
— варьируя s, получаем семейство ромбов и применяем к ним это преобразование

Кстати: аффинные преобразования могут вращать оси эллипса.
То есть, если у нас эллипс вписан в квадрат — его оси всегда лежат на диагоналях квадрата. Растянем квадрат до прямоугольника (анизотропно отмасштабируем) — оси спрыгнут с диагоналей.
Это чтоб не было иллюзий о быстром подходе к решению.

Источник

Руководство пользователя

динамической программной среды «Математический конструктор»

Эллипс, описанный вокруг параллелограмма

Для построения Эллипса, описанного вокруг параллелограмма, необходимо выделить или построить три точки, являющиеся вершинами параллелограмма. В результате будет создан эллипс вместе со своим центром. Этот эллипс – изображение окружности, описанной вокруг квадрата, которое получено в результате аффинного преобразования, переводящего квадрат в параллелограмм с вершинами в выбранных точках.

Также инструмент может работать в режиме команды: для этого сначала нужно выделить точки, а потом вызвать инструмент. Если число выделенных точек больше трех, но кратно трем, то будет построено несколько эллипсов, заданных последовательными тройками точек.

Эллипс можно построить также при помощи других инструментов:

© ООО «1С-Паблишинг», 2007-2021
© ООО «Виртуальная лаборатория», 2009-2021

Источник