Как выбираются уровни варьирования факторов

Теория Планирования Эксперимента

Главная

Полный факторный эксперимент

Как выбрать локальную область факторного пространства, где ее выби­рать и какого размера она должна быть? Это важный этап принятия неформализованных решений, предшествую­щих построению плана первой серии эксперимента.

Весь процесс исследования можно считать состоящим из последовательности этапов, часть из которых пол­ностью формализованы, а часть требуют «интуитивных» решений. Причем, по мере развития теории, формальные этапы будут играть все большую роль, но до конца не вытеснят неформализованные этапы.

Принятие решений перед планированием эксперимента

При выборе области эксперимента должны учи­тываться следующие соображения.

Прежде всего, надо оценить границы областей определе­ния факторов. При этом должны учитываться ограничения нескольких типов. Первый тип: принципиальные огра­ничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Например, если фактор – температура, то нижним пределом будет абсолютный нуль. Второй тип – ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями, например, со стоимостью сырья, дефицитностью отдельных компонен­тов, временем ведения процесса. Третий тип ограниче­ний, с которым чаще всего приходится иметь дело, опре­деляется конкретными условиями проведения процесса, например, существующей аппаратурой, технологией, орга­низацией. В реакторе, изготовленном из некоторого мате­риала, температуру нельзя поднять выше температуры плавления этого материала или выше рабочей температуры данного катализатора.

Оптимизация обычно начинается в условиях, когда объект уже подвергался некоторым исследованиям. Инфор­мацию, содержащуюся в результатах предыдущих ис­следований, будем называть априорной (т.е. полученной до начала эксперимента). Мы можем использовать априор­ную информацию для получения представления о пара­метре оптимизации, о факторах, о наилучших условиях ведения процесса и характере поверхности отклика, т.е. о том, как сильно меняется параметр оптимизации при небольших изменениях значений факторов, а также о кривизне поверхности. Для этого можно использовать графики (или таблицы) однофакторных экспериментов, осуществлявшихся в предыдущих исследованиях или описанных в литературе. Если однофакторную зависимость нельзя представить линейным уравнением (в рас­сматриваемой области), то в многомерном случае, несомненно, будет существенная кривизна. Обратное утверж­дение, к сожалению, не очевидно.

Итак, выбор экспериментальной области факторного пространства связан с тщательным анализом априор­ной информации.

Выбор основного уровня

Наилучшим условиям, определенным из анализа априорной информации, соответст­вует комбинация (или несколько комбинаций) уровней факторов. Каждая комбинация является многомерной точкой в факторном пространстве. Ее можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента. Назовем ее основным (нулевым) уровнем. Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нуле­вого уровня.

В разных случаях мы располагаем различными све­дениями об области наилучших условий. Если имеются сведения о координатах одной наилучшей точки и нет информации о границах определения факторов, то остает­ся рассматривать эту точку в качестве основного уровня. Аналогичное решение принимается, если границы известны и наилучшие условия лежат внутри области.

Положение усложняется, если эта точка лежит на границе (или весьма близко к границе) области. Тогда приходится основной уровень выбирать с некоторым сдвигом от наилучших условий.

Может случиться, что координаты наилучшей точки неизвестны, но есть сведения о некоторой подобласти, в которой процесс идет достаточно хорошо. Тогда основной уровень выбирается либо в центре, либо в случайной точке этой подобласти. Сведения о подобласти можно получить, анализируя изученные ранее подобные процес­сы, из теоретических соображений или из предыдущего эксперимента.

Наконец, возможен случай с несколькими эквивалентными точками, координаты которых различны. Когда отсутствуют дополнительные данные (технологического, экономического характера и т.д.), выбор произволен. Конечно, если эксперимент недорог и требует немного времени, можно приступить к построению планов экспе­риментов вокруг нескольких точек.

Резюмируем наши рассуждения о принятии решений при выборе основного уровня в виде блок-схемы

После того как нулевой уровень выбран, перехо­дим к следующему шагу – выбору интервалов варьиро­вания.

Выбор интервалов варьирования.

Теперь наша цель состоит в том, чтобы для каждого фактора выбрать два уровня, на которых он будет варьироваться в экспери­менте.

Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание – нижний уровни фактора. Другими словами, интервал варьирования – это расстояние на координатной оси между основным и верхним (или нижним) уровнем. Таким образом, задача выбора уровней сводится к более простой задаче выбора интервала варьирования.

Заметим еще, что для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний –1, а основной – нулю. Для факторов с непрерывной областью определения это всегда можно сделать с помощью преобразования

,

– кодированное значение фактора;

– натуральное значение фактора;

– натуральное значение основного уровня;

– интервал варьирования;

– номер фактора.

Для качественных факторов, имеющих два уровня, один уровень обозначается +1, а другой –1; порядок уров­ней не имеет значения.

На выбор интервалов варьирования наклады­ваются естественные ограничения сверху и снизу. Интер­вал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора. Иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличи­мыми. С другой стороны, интервал не может быть настоль­ко большим, чтобы верхний или нижний уровни оказались за пределами области определения. Внутри этих ограничений обычно еще остается значительная неопределенность выбора, которая устраняется с помощью интуитивных решений.

Обратите внимание, что при решении задачи оптимизации мы стремимся выбрать для первой серии экспериментов такую подобласть, которая давала бы возможность для шагового движения к оптимуму. В задачах же интерполяции интервал варьирования охватывает всю описываемую область.

Выбор интервалов варьирования – задача трудная, так как она связана с неформализованным этапом планирования эксперимента. Возникает вопрос, какая априорная информация может быть полезна на данном этапе? Это – сведения о точности, с которой экспериментатор фиксирует значения факторов, о кривизне поверхности отклика и о диапазоне изменения параметра оптимизации. Обычно эта информация является ориентировочной (в некоторых случаях она может оказаться просто оши­бочной), но это единственная разумная основа, на которой можно начинать планировать эксперимент. В ходе эксперимента ее часто приходится корректировать.

Точность фиксирования факторов определяется точ­ностью приборов и стабильностью уровня в ходе опыта. Для упрощения схемы принятия решений мы введем приближенную классификацию, полагая, что есть низ­кая, средняя и высокая точности. Можно, например, счи­тать, что поддержание температуры в реакторе с погрешно­стью не более 1% соответствует высокой, не более 5% – средней, а более 10% – низкой точности.

Источником сведений о кривизне поверхности отклика могут служить уже упоминавшиеся графики однофакторных зависимостей, а также теоретические соображения. Из графиков сведения о кривизне можно получить визу­ально. Некоторое представление о кривизне дает анализ табличных данных, так как наличию кривизны соответ­ствует непропорциональное изменение параметра оптимизации при равномерном изменении фактора. Мы будем различать три случая: функция отклика линейна, функ­ция отклика существенно нелинейна и информация о кри­визне отсутствует.

Наконец, полезно знать, в каких диапазонах меняются значения параметра оптимизации в разных точках фак­торного пространства. Если имеются результаты некото­рого множества опытов, то всегда можно найти наиболь­шее или наименьшее значения параметра оптимизации. Раз­ность менаду этими значениями будем называть диапазо­ном изменения параметра оптимизации для данного мно­жества опытов. Условимся различать широкий и узкий диапазоны. Диапазон будет узким, если он не существенно отличается от разброса значений параметра оптимизации в повторных опытах (этот разброс определяет ошибку опыта). В противном случае будем считать диапазон широким. Учтем также случай, когда информация отсутствует. Итак, для принятия решений используется априорная информация о точности фиксиро­вания факторов, кривизне поверхности отклика и диапа­зоне изменения параметра оптимизации. Каждое сочета­ние градаций перечисленных признаков определяет ситуа­цию, в которой нужно принимать решение. При принятых градациях возможно З 3 = 27 различных ситуаций. Они представлены на рис. 3, 4, 5 в виде кружочков, цифры в которых соответствуют порядковым номерам ситуаций.

Теперь мы приблизились к принятию решения о выборе интервалов варьирования. Для интервалов также введем градацию. Будем рассматривать широкий, средний и узкий интервалы варьирования, а также случай, когда трудно принять однозначное решение. Размер интер­вала варьирования составляет некоторую долю от области определения фактора. Можно, например, условиться о следующем: если интервал составляет не более 10% от области определения, считать его узким, не более 30% – средним, и в остальных случаях – широким. Это, ко­нечно, весьма условно, и в каждой конкретной задаче приходится специально определять эти понятия, которые зависят не только от размера области определения, но и от характера поверхности отклика и от точности фикси­рования факторов.

Перейдем к рассмотрению блок-схем принятия реше­ний. На первой схеме (рис. 3) представлены девять ситуа­ций, имеющих место при низкой точности фиксирования факторов. При выборе решений учитываются информация о кривизне поверхности отклика и о диапазоне изменения параметра оптимизации. Типичное решение – широкий интервал варьирования, узкий интервал варьирования совершенно не используется, что вполне понятно при низкой точности.

Сред­ний интервал варьирования в этой схеме выбирается дважды, причем в девятой ситуации как редко применяе­мая альтернатива. Здесь отсутствует информация об обоих признаках и выбор широкого интервала представляется более естественным.

Наибольшие трудности возникают, когда поверхность отклика нелинейна. Появляется противоречие между низ­кой точностью фиксирования факторов и кривизной. Пер­вая требует расширения интервала, а вторая – сужения. Решение оказывается неоднозначным. Как поступить? Приходится рассматривать дополнительные рекоменда­ции (см. блок-схему). Прежде всего, нужно выяснить, нельзя ли увеличить точность эксперимента либо за счет инженерных решений, либо за счет увеличения числа повторных опытов. Если это возможно, то решения принимаются на основе блок-схемы (рис. 4) для средней точ­ности фиксирования факторов. Если это невозможно, то для принятия решения нет достаточных оснований и оно становится интуитивным.

Эта блок-схема, как и последующие, служит весьма грубым приближением к действительности. На практике учитывается ещё масса обстоятельств. Например, решения, принимаемые по каждому фактору в отдельности, корректируются при рассмотрении совокупности факторов.

На рис. 4 изображена блок-схема для случая средней точности фиксирования фактора. Характерен выбор сред­него интервала варьирования. Лишь в случае нелинейной поверхности и широкого диапазона рекомендуется узкий интервал варьирования. При сочетаниях линейной поверх­ности с узким диапазоном и отсутствием информации о диапазоне выбирается широкий интервал варьирования. Пунктиром, как и выше, показаны редко применяемые альтернативы.

Наконец, на рис. 5 построена блок-схема для случая высокой точности фиксирования фактора. Сочетание вы­сокой точности с нелинейностью поверхности всегда при­водит к выбору узкого интервала. Довольно часто выби­рается средний интервал и лишь в двух случаях широкий. В обеих последних блок-схемах отсутствуют неоднозначные решения.

Источник

Уровни варьирования факторов

Каждый фактор в эксперименте варьируется на двух или более уровнях. Необходимое и достаточное количество уровней варьирования факторов s определяется порядком математической модели q.

Увеличение числа уровней варьирования факторов позволяет увеличить точность вычисления параметров математической модели, однако ведет к увеличению расхода времени и ресурсов при проведении эксперимента. Уровни варьирования факторов целесообразно выбирать так, чтобы интервалы между уровнями варьирования были бы одинаковыми. Это обеспечивало бы получение одинаковой точности в любой части модели.

Верхний и нижний уровни варьирования факторов z_{j max} и z_{j min} характеризуют диапазон варьирования.

Диапазон варьирования факторов определяется областью управления объекта и устанавливается таким образом, чтобы идентифицированная модель была справедлива для всей области управления. Все значения факторов, находящиеся внутри диапазона варьирования, должны быть практически реализуемы.

Последовательность опытов

При экспериментировании с одним и тем же объектом возможны необратимые изменения его свойств.

Если необратимые изменения в состоянии управляемого объекта, возникающие и развивающиеся с течением времени, незначительны, а сам объект можно вернуть в любое предыдущее состояние, то такой эксперимент считается воспроизводимым.

Если состояние управляемого объекта претерпевает необратимые изменения, то эксперимент является невоспроизводимым. Невоспроизводимые эксперименты осуществляются без возможного повторения состояния объекта исследования.

В воспроизводимых экспериментах допускается выбор любой последовательности проведения опытов. Либо значение фактора скачкообразно изменяется от нижнего уровня варьирования к верхнему (или наоборот), тогда такой план называется последовательным, либо значения уровней варьирования факторов чередуются случайным образом, тогда такой план называется рандомизированным.

Для большинства невоспроизводимых инженерных экспериментов целесообразно применять частично или полностью рандомизированный план.

В эксперименте с разными объектами, когда один объект используется только в одном опыте, последовательность опытов может быть любая.

План эксперимента

Для исследований применяются классический, факторный, латинский, греко-латинский, композиционный, рациональный и другие планы.

· Классический план — совокупность из n > 1 однофакторных планов, в каждом из которых один фактор варьируется на s уровнях, а остальные n-1 факторов остаются постоянными, не равными нулю.

Число опытов в классическом плане равно

Факторный план образует равномерную кубическую решетку внутри выпуклого многогранника с 2 n вершинами в n-мерном факторном пространстве.

Число опытов в факторном плане равно

При к = 0 план называется полным. Так как число опытов р с увеличением числа факторов растет быстрее, чем число неизвестных параметров модели, то применяют дробные планы с к 1.

На практике чаще всего применяют двухуровневые факторные планы с числом опытов

Число опытов в латинском плане равно

· Греко-латинский план— 1/s 2 часть всех возможных сочетаний четырех и более факторов, варьируемых на s уровнях.

Греко-латинский план получают при наложении друг на друга латинского и ортогонального ему греческого планов.

Число опытов в греко-латинском плане равно

· Композиционный план — часть всех возможных сочетаний n + 1 однородных переменных (компонентов) z_j, n из которых являются независимыми, варьируемых на s уровнях так, что сумма значений этих переменных в каждом опыте всегда остается постоянной.

Композиционный план образует равномерную гексагональную решетку внутри выпуклого правильного многогранника (симплекса) с n + 1 вершиной в n-мерном факторном пространстве.

Число опытов в композиционном плане равно

· Рациональный план— часть всех возможных сочетаний n факторов, варьируемых на s уровнях.

Рациональный план образует равномерную кубическую решетку внутри усеченного многогранника с n+1 вершинами в n-мерном факторном пространстве.

Число опытов в рациональном плане равно

РЕАЛИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Измерение параметров

Информация о параметрах состояния объекта может быть получена в результате прямых и косвенных измерений.

Прямые измерения обеспечивают получение искомой физической величины непосредственно сравнением измеряемой величины с эталонной физической величиной.

Косвенные измерения позволяют получить искомую величину измерением какой-либо другой физической величины (механической, электрической, оптической и др.), связанной с искомой величиной физической закономерностью.

Измерительные приборы

Средством для выработки информации о значениях физической величины с надлежащей точностью в удобной для восприятия форме является измерительный прибор. Измерительный прибор состоит из первичного преобразователя, устройства согласования и устройств отображения и регистрации информации.

В процессе измерения происходит преобразование измеряемой физической величины в другую физическую величину, удобную для воспроизведения, передачи, хранения и обработки в системе управления. Преобразование осуществляется с помощью измерительных преобразователей (датчиков).

Измерительные преобразователи, преобразующие измеряемые физические величины в электрическое сопротивление, индуктивность и емкость, работают с дополнительным источником электроэнергии и называются параметрическими.

Измерительные преобразователи, преобразующие измеряемые физические величины в электродвижущую силу, работают без дополнительного источника электроэнергии и называются генераторными.

Ошибки измерений

Результаты всех измерений содержат систематические и случайные ошибки. Источниками этих ошибок являются:

1. Неспособность измерительного преобразователя правильно отражать измеряемую величину в результате изменения чувствительности.

2. Неспособность устройства передачи информации правильно отражать информацию с измерительного преобразователя вследствие нарушения балансировки и калибровки.

3. Неспособность средств регистрации информации и наблюдателя правильно реагировать на измеренную величину.

Систематические ошибки — ошибки, связанные с состоянием измерительного прибора. Измеренное значение У определяется измеряемой величиной Y, а также ошибкой балансировки a 0 и ошибкой калибровки
b 1

Систематические ошибки устраняются при балансировке и калибровке измерительных приборов.

Случайные ошибки — ошибки, связанные с условиями эксплуатации измерительных приборов, вызывающими воздействие случайных возмущающих факторов.

Случайные ошибки учитываются при статистическом анализе данных измерений.

а ошибка измерения (отклонение от среднего арифметического) равна

Функция распределения ошибок измерения имеет вид

,

где — дисперсия ошибок измерения D.

Функцию распределения ошибок измерения, которую называют нормальным распределением или распределением Гаусса, вывели на основе двух допущений:

1. Наиболее вероятным значением измеряемой величины является среднее арифметическое измеренных значений.

2. Положительные и отрицательные отклонения ошибок относительно среднего арифметического равновероятны.

3. Показателями точности измерительных приборов являются:

а) Средняя квадратическая ошибка (стандарт) , равная

,

представляющая собой отклонение от среднего, при котором в интервале находится 0,682 всех отклонений;

б) вероятная ошибка — такое отклонение от среднего, при котором в интервале находится 0,5 всех отклонений

= 0,675 .

7. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В процессе обработки опытных данных устанавливаются значения параметров математической модели (коэффициентов и экспонентов), обеспечивающие наилучшее соответствие между моделью и оригиналом.

Метод наименьших квадратов

Параметрическая идентификация для рассмотренных видов математических моделей осуществляется с использованием метода наименьших квадратов, т.к. при известных значениях управляющих факторов и реализованных в эксперименте значениях параметров имеющиеся зависимости можно привести к линейному виду.

Пусть имеется некоторая совокупность из р реализованных в эксперименте значений х_к и у_к. Предполагается, что искомая зависимость описывается линейной функцией вида

Требуется установить такие значения коэффициентов с и а, при которых сумма квадратов отклонений, наблюдаемых в эксперименте значений у от расчетных , была бы минимальной.

Расчетные значения у в каждом опыте равны:

₁ = с + а х₁

₂ = с + а х₂

Отклонения значений в каждом опыте равны:

e₁= ₁ – у₁ = с + а х₁ – у₁

e₂= ₂ – у₂ = с + а х₂ – у₂

Изменение значений коэффициентов с и а приводит к увеличению или уменьшению отклонений, обобщенным показателем которых является величина

Е =

Е = .

Условием Е = min является

;

;

.

Дифференцируя в частных производных, получим

;

;

.

Полученную систему уравнений можно представить в виде

;

или в матричной форме:

*

=

.

Решив систему уравнений, получают значения коэффициентов с и а.

Показатели распределения в математической модели определяют следующим образом. Для каждого опыта вычисляют отклонения наблюдаемых в эксперименте значений параметров от расчетных значений

Полученные отклонения ранжируются по возрастающей. Показатели распределения a_i вычисляют по формуле

Так как в расчет принимают не вероятность события, а его частоту, то при ограниченном числе опытов вводится коррекция в виде поправочных коэффициентов 0,4 и 0,7, приближающая частоту к вероятности. Иными словами, так как вероятность не равна частоте n/N k/p, а только стремится к ней при p , то принимают n/N = (k-0,3)/(p+0,4).

Метод подстановки

Если число опытов равно числу неизвестных параметров модели, то отклонения наблюдаемых в эксперименте значений у от расчетных ў во всех опытных точках равны нулю. Для определения значений неизвестных параметров модели решают систему линейных уравнений.

Пусть, например, имеется система трех уравнений с тремя неизвестными:

Сначала исключают неизвестную х₁ во всех уравнениях, начиная со второго. Для этого коэффициенты и свободный член первого уравнения делят на первый коэффициент, полагая, что он не равен нулю (a₁₁¹0)

подставляют во все уравнения, начиная со второго, и получают новую систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

Аналогичным способом исключают неизвестную х₂. Для этого коэффициенты и свободный член преобразованного второго уравнения делят на коэффициент перед неизвестной х₂, полагая, что он не равен нулю
(а’₂₂ ¹ 0).

подставляют в оставшееся третье уравнение

Отсюда находим значение неизвестной х₃

Затем формируют треугольную систему трех уравнений:

Значения неизвестных определяют в обратной последовательности, начиная с последнего

ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Информация об оптимальном управляющем воздействии представляется в виде оптимального плана. Оптимальный план представляет собой совокупность значений управляющих факторов, обеспечивающих достижение цели управления в заданных условиях с наибольшей эффективностью.

Эффективность управления

Эффективность управления — один из параметров управляемого физического процесса, выбираемый для оценки качества управления.

Эффективность управления, представляемая в виде функции управляющих факторов, называется целевой функцией.

Если возникает стремление оценить эффективность управления несколькими параметрами, то эти параметры необходимо объединить в один компромиссный параметр.

Если каждый из параметров выражается в виде линейного полинома, то

R = R / c = ( z ) = ( a ) z .

Причем =1, где — коэффициент важности параметра, определяемый методом экспертных оценок.

Если каждый из параметров выражается в виде степенного комплекса, то

R = (R / c ) = ( ) =

ln R = (ln R — ln c ) = ( ln z ) =

= ( a ) ln z .

Причем =1, где — экспонент важности параметра.

> 0, если R необходимо увеличивать, и

Источник