Как выглядит многочлен стандартного вида
Многочлен стандартного вида
Определение многочлена
Многочлен — это сумма одночленов. Получается, что многочлен — не что иное, как несколько одночленов, собранных «под одной крышей».
Одночлен — это произведение, состоящее из числового множителя и одной или нескольких переменных, каждая из которых взята в неотрицательной степени.
Рассмотрим примеры многочленов:
Если многочлен состоит из двух одночленов, его называют двучленом:
Этот же многочлен можно записать вот так:
Это значит, что каждый одночлен важно рассматривать вместе со знаком, который перед ним стоит.
Многочлен вида 10x − 3x 2 + 7 называется трехчленом.
Линейный двучлен — это многочлен первой степени: ax + b. a и b здесь — некоторые числа, x — переменная.
Если разделить многочлен с переменной x на линейный двучлен x − b (где b — некоторое положительное или отрицательное число) — остаток будет только многочленом нулевой степени. То есть некоторым числом N, которое можно определить без поиска частного.
Если многочлен содержит обычное число — это число является свободным членом многочлена.
Свободный член многочлена не имеет буквенной части. Кроме того, любое числовое выражение — это многочлен. Например, вот такие числовые выражения — тоже многочлены:
Такие выражения состоят из свободных членов.
Коэффициенты многочлена
Коэффициенты членов многочлена — это числа, которые указаны перед переменными множителями. Если перед переменной нет числа, то коэффициент этого члена = 1.
Иными словами — коэффициенты членов многочлена — это члены многочлена, представленные в виде стандартных одночленов.
Например:
Дан многочлен 2x + 5x − 18y
Все одночлены имеют стандартный вид. 2, 5 и 18 — коэффициенты членов данного многочлена.
Многочлен стандартного вида
Недостаточно просто знать, что такое многочлен и что такое одночлен. Это целая алгебраическая экосистема, где у всего есть названия, определения и особенности.
Давайте разберемся, что такое многочлен стандартного вида. Многочленом стандартного вида называют многочлен, каждый член которого имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.
Получается, что всякий многочлен можно привести к стандартному виду. Таким образом можно получить многочлен, работать с которым гораздо проще и приятнее.
К стандартному виду многочлен приводится очень просто. Нужно лишь привести в нем подобные слагаемые.
Подобные слагаемые — это подобные члены многочлена. Приведение подобных слагаемых в многочлене — приведение его подобных членов. Тут же возникает резонный вопрос: Что такое подобные члены многочлена? Это члены с одинаковой буквенной частью.
Давайте разберем на примере, как «нестандартный» многочлен приводится к стандартному виду.
Дан красавец многочлен: 3x + 5xy 2 + x − xy 2
Приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:
Как видите, в получившемся многочлене нет подобных членов. Такой многочлен — это многочлен стандартного вида.
Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.
Степень многочлена
Многочлен может иметь степень — имеет на это полное право.
Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней, входящих в него одночленов.
Из определения можно сделать вывод, что степень многочлена возможно определить только после приведения его к стандартному виду.
Рассмотрим на примере:
Дан многочлен 6x + 4xy 2 + x + xy 2
Сначала приводим многочлен к стандартному виду — для этого приводим подобные слагаемые:
Отсюда делаем вывод, что многочлен 7x + 5xy 2 — многочлен третьей степени.
Кроме того, можно сделать вывод, что и исходный многочлен 6x + 4xy 2 + x + xy 2 — многочлен третьей степени, поскольку оба многочлена равны друг другу.
В некоторых случаях необходимо сначала привести к стандартному виду одночлены многочлена, а затем уже и сам многочлен.
Пример:
Дан многочлен 6xx 2 + 5xx 2 − 3xx 3 − 3x 2 x
Приведем его к стандартному виду: 6xx 3 + 5xx 2 − 3xx 3 − 3x 2 x = 6x 4 + 5x 3 − 3x 4 − 3x 3
Получившийся многочлен без труда приводим к стандартному виду. Приводим подобные слагаемые:
Практика
Кажется, со стандартным видом многочлена все понятно. Чтобы без труда приводить любой многочлен к стандартному виду, нужно потренироваться, ведь в 7 классе только и разговоров, что о многочленах. Давайте разберем несколько примеров. Попробуйте решить их самостоятельно, сверяясь с ответами.
Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:
Многочлен приведен к стандартному виду.
Ответ: x 4 + x 2 y 3
Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:
Разобраться в многочленах не так-то просто. В этой теме немало нюансов и подводных камней. Чтобы не запутаться в множестве похожих одно на другое определений, побольше практикуйтесь. Чтобы перейти на следующую ступень и начать выполнение арифметических действий с многочленами, важно научиться приводить многочлен к стандартному виду.
Как выглядит многочлен стандартного вида
Ключевые слова конспекта: Многочлен, стандартный вид многочлена, члены многочлена, полиномы, нуль-многочлен, степень многочлена, приведение подобных слагаемых, старший коэффициент, свободный член многочлена.
Выражение 5a 2 b – 3ab – 4а 3 + 7 представляет собой сумму одночленов 5a 2 b, –5ab, –4а 3 и 7. Такие выражения называют многочленами.
✅ Определение. Многочленом называется сумма одночленов.
Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Например, членами многочлена х 3 у – 4х 2 + 9 являются одночлены х 3 у, –4х 2 и 9.
Многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом, а многочлен, состоящий из трёх членов, — трёхчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. Многочлены иногда называют полиномами, а двучлены — биномами (от греческих слов «поли» — «много», «номос» — «член, часть» и латинского «би» — «два, дважды»).
Зная значения переменных, входящих в многочлен, можно вычислить значение многочлена.
Пример 1. Найдём значение многочлена –0,3х 2 у – х 3 + 7у при х = –0,2, у = –1.
Имеем:
–0,3х 2 у – х 3 +7у = –0,3 • (–0,2) 2 • (–1) – (–0,2) 3 + 7 • (–1) = 0,012 + 0,008 – 7 = –6,98.
Стандартный вид многочлена
В многочлене 13х 2 у + 4 + 8ху – 6х 2 у — 9 первый и четвёртый члены имеют одинаковую буквенную часть. Члены многочлена, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными членами. Подобными членами считаются и слагаемые, не имеющие буквенной части.
Сумму подобных членов многочлена можно заменить одночленом. Такое тождественное преобразование называют приведением подобных членов или приведением подобных слагаемых. Приведение подобных членов основано на переместительном и сочетательном свойствах сложения и распределительном свойстве умножения.
Пример 2. Приведём подобные члены многочлена 13х 2 у + 4 + 8ху – 6х 2 у — 9.
Имеем:
13х 2 у + 4 + 8ху – 6х 2 у – 9 = (13х 2 у – 6х 2 у) + 8ху + (4 – 9) = (13 – 6)х 2 у + 8ху – 5 = 7х 2 у + 8ху – 5.
В многочлене 7х 2 у + 8ху – 5 каждый член является одночленом стандартного вида, причём среди них нет подобных членов. Такие многочлены называются многочленами стандартного вида.
Рассмотрим многочлен стандартного вида За 3 – 5а 3 b 2 + 7. Его членами являются одночлены третьей, пятой и нулевой степени. Наибольшую из этих степеней называют степенью многочлена. Таким образом, этот многочлен является многочленом пятой степени.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.
Пример 3. Определим степень многочлена а 6 + 2а 2 b – а 6 + 1.
Для этого приведём многочлен к стандартному виду: а 6 + 2а 2 b – а 6 + 1 = 2a 2 b + 1.
Степень полученного многочлена равна трём. Значит, и степень заданного многочлена равна трём.
Если многочлен является числом, отличным от нуля, то степень такого многочлена равна 0. Число нуль называют нуль-многочленом. Его степень считается не определённой.
Среди многочленов выделяют многочлены с одной переменной. Многочлен n-й степени с одной переменной в стандартном виде записывается так: а0х n + а1х n-1 + а2х n-2 + … + аn-2х 2 + аn-1х + аn, где х — переменная, а0, a1 а2, …, аn-1, аn — произвольные числа, n ∈ N или n = 0. Коэффициент при х n называют старшим коэффициентом (в нашем случае это а0). Слагаемое, не содержащее переменной х, называют свободным членом многочлена (в нашем случае это аn). Например, старший коэффициент многочлена х 4 + 2х 3 – х 2 + 3х равен 1, а свободный член равен нулю.
Заметим, что значение многочлена с переменной х при х = 0 равно свободному члену этого многочлена, а при х = 1 — сумме его коэффициентов.
Это конспект по математике на тему «Многочлен и его стандартный вид». Выберите дальнейшие действия:
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Многочлены стандартного вида
Перечень рассматриваемых вопросов:
Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.
Многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом.
Многочлен, состоящий из трёх членов, называется трёхчленом.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, входящих в этот многочлен.
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
«Единственный путь, ведущий к знанию, – это деятельность», – сказал однажды ирландский драматург Джордж Бернард Шоу.
Сегодня наша деятельность будет заключаться в том, чтобы привести многочлен к стандартному виду.
Начнём с того, что вспомним, что такое многочлен.
Многочлен – это сумма одночленов.
Многочлен стандартного вида – это многочлен, каждый член которого является одночленом стандартного вида и который не содержит подобных членов.
Например, так могут выглядеть многочлены, приведённые к стандартному виду:
12a 2 bc 3 + ху 4 + 1,2ср 8 (трёхчлен)
2,5ас – 3к 2 х 5 (двучлен)
В них каждый член многочлена записан в стандартном виде, и ему нет подобных.
Стоит отметить, что многочлены могут иметь свои названия.
Например, многочлен, состоящий из двух членов, называется двучленом, из трёх членов – трёхчленом и т.д.
А так могут выглядеть многочлены нестандартного вида:
2abаc 3 + хху 4 + 1,2ср 8
2,5аса – 3к 2 х 5 к + 16
В этом случае некоторые члены многочленов находятся не в стандартном виде.
Рассмотрим правило приведения многочлена к стандартному виду:
1)каждый член многочлена нужно привести к стандартному виду;
2)привести подобные члены.
Пример:
Приведите к стандартному виду многочлен:
Следуя 1 пункту правила, приведём все члены многочлена к стандартному виду, но в данном задании все члены уже записаны в стандартном виде, т.е. вначале стоит число, а затем буквы в алфавитном порядке.
Следуя 2 пункту правила, приведём подобные члены. В данном многочлене они есть, выделим их.
В результате преобразования получается многочлен, записанный в стандартном виде.
Следуя данному правилу, любой многочлен можно привести к стандартному виду.
Рассмотрим ещё одно подобное задание.
Приведём к стандартному виду многочлен:
Решение: 3ab + 7c 2 –3ab – 7сс = 3ab + 7c 2 – 3ab – 7с 2 = 0
Следуя 1 пункту правила, приведём все члены многочлена к стандартному виду, в задании один член записан не в стандартном виде.
Следуя 2 пункту правила, приведём подобные члены. В многочлене они есть, выделим их.
В результате преобразования получается многочлен, записанный в стандартном виде, равный нулю. Такие многочлены называются нулевыми.
Введём ещё одно понятие, связанное с многочленами в стандартном виде – это степень многочлена.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, входящих в этот многочлен.
12a 2 bc 3 + 7кх – многочлен 6 степени,
у данных многочленов степень соответственно шесть и семь. Т. к. у первого многочлена степени одночленов 6 и 2. А у второго многочлена степени одночленов 7, 1, 0. Выбираем большую степень и получаем степень многочлена.
Про первый многочлен говорят, что это многочлен шестой степени.
А про второй многочлен можно сказать – многочлен седьмой степени.
Если при выполнении заданий встретится многочлен с одинаковыми степенями слагаемых, например:
а + с
говорят, «это многочлен первой степени относительно а и с».
Стоит отметить, что, если все члены многочлена стандартного вида содержат одну и ту же букву, их принято располагать в многочлене от большей степени к меньшей, при этом свободный член ставится на последнее место.
Например, так будет выглядеть запись многочлена в стандартном виде:
2а 3 + 3а 2 – 6а + 12.
Итак, сегодня мы получили представление о том, как приводить многочлен в стандартный вид.
Это интересно!
Мы уже знаем, что многочлен – это сумма одночленов, которые, в свою очередь, представляют собой произведение числовых и буквенных множителей.
Самое интересное заключается в том, что многочлены иногда имеют специфические названия. Например, многочлен, состоящий из одного одночлена, можно назвать моном. Мономом можно назвать такие многочлены: 7 или а.
Если многочлен состоит из двух слагаемых, т.е. двух одночленов, то мы знаем, что это двучлен, но его ещё можно назвать бином, например, 12а + 5 – есть бином.
Если многочлен состоит из трёх слагаемых, т.е. трёх одночленов, то мы знаем, что это трёхчлен, но его ещё можно назвать трином, например, 12а 2 + а + 5.
Если слагаемых в многочлене больше трёх, то говорят просто – многочлен.
Кстати, при записи многочлен обозначают буквой «Р», от греческого слова «poly» – «многий», «многочисленный», поэтому многочлены в математике называют также полиномами.
Разбор заданий тренировочного модуля.
1. Найдите степень многочлена 5ах + 2а
Решение: сначала нужно посмотреть степень каждого члена многочлена.
У одночлена 5ах степень 2
У одночлена 2а степень 1. Так как наибольшая степень 2, то она и будет являться степенью данного многочлена.
2) Выберите и подставьте вместо * такой одночлен, чтобы многочлен получился 5 степени
7x 4 + 12x 3 – 3x 2 + 1 + *
Для начала нужно определить исходные степени всех членов многочлена.
У одночлена 7x 4 степень 4.
У одночлена 12x 3 степень 3.
У одночлена – 3x 2 степень 2.
У одночлена 1 степень 0. Следовательно, в данном случае нет одночлена со степенью 5. Посмотрим варианты ответа и выберем ответ с нужной нам степенью 5.
У одночлена 5х степень 1
У одночлена 2асх степень 3
У одночлена а 2 ск 2 степень 5. Это и есть верный ответ.
Многочлен, его стандартный вид, степень и коэффициенты членов
После изучения одночленов переходим к многочленам. Данная статья расскажет о всех необходимых сведениях, необходимых для выполнения действий над ними. Мы определим многочлен с сопутствующими определениями члена многочлена, то есть свободный и подобный, рассмотрим многочлен стандартного вида, введем степень и научимся ее находить, поработаем с его коэффициентами.
Многочлен и его члены – определения и примеры
Определение многочлена было дано еще в 7 классе после изучения одночленов. Рассмотрим его полное определение.
Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена.
Рассмотрим еще определения.
Членами многочлена называются его составляющие одночлены.
Отсюда следует, что выражение вида x + y – является двучленом, а выражение 2 · x 3 · q − q · x · x + 7 · b – трехчленом.
Подобные члены многочлена – это подобные слагаемые, находящиеся в многочлене.
Многочлен стандартного вида
У всех одночленов и многочленов имеются свои определенные названия.
Многочленом стандартного вида называют многочлен, у которого каждый входящий в него член имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.
Если того требуют обстоятельства, иногда многочлен приводится к стандартному виду. Многочленом стандартного вида считается и понятие свободного члена многочлена.
Свободным членом многочлена является многочлен стандартного вида, не имеющий буквенной части.
Степень многочлена – как ее найти?
Определение самой степени многочлена базируется на определении многочлена стандартного вида и на степенях одночленов, которые являются его составляющими.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в его запись.
Следует выяснить, каким образом находится сама степень.
Когда многочлен записан не в стандартном виде, но нужно найти его степень, необходимо приведение к стандартному, после чего находить искомую степень.
Для начала представим многочлен в стандартном виде. Получим выражение вида:
3 · a 12 − 2 · a · b · c · a · c · b + y 2 · z 2 − 2 · a 12 − a 12 = = ( 3 · a 12 − 2 · a 12 − a 12 ) − 2 · ( a · a ) · ( b · b ) · ( c · c ) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2
Коэффициенты членов многочлена
Когда все члены многочлена являются одночленами стандартного вида, то в таком случаем они имеют название коэффициентов членов многочлена. Иначе говоря, их можно называть коэффициентами многочлена.
Многочлены. Действия с многочленами.
теория по математике 📈 алгебраические выражения
Многочлен – это сумма одночленов. Одночлены, которые составляют многочлен, называют членами данного многочлена. Если многочлены состоят из двух или трех слагаемых, то их можно называть двучленами или трехчленами соответственно.
Стандартный вид многочлена
Многочлен называется приведенным к стандартному виду, если он не имеет подобных слагаемых, и каждый его член имеет также стандартный вид.
Вспомним, что слагаемые, содержащие одинаковую буквенную часть или не имеющие буквенной части называют подобными. Если такие слагаемые есть, то их нужно сложить или вычесть, это действие называют приведением подобных слагаемых.
13х 2 –6х+ 11х 2
13х 2 –6х+11х 2 =24х 2 –6х
6а 3 с 4 + 32х –9а 3 с 4 + 45х –16
Данный многочлен имеет две группы подобных слагаемых, одна выделена красным цветом, вторая синим цветом, слагаемое –16 не имеет подобных, поэтому его просто перепишем. Приводим подобные слагаемые и получаем многочлен стандартного вида:
6а 3 с 4 + 32х –9а 3 с 4 + 45х –16= –3а 3 с 4 +77х–16
Степень многочлена
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. При этом многочлен должен быть записан в стандартном виде. Рассмотрим на примерах, как определить степени многочленов.
4с 6 +7а 9 –18х
Степень многочлена, записанного в стандартном виде, равна 9, так как одночлен 7а 9 имеет степень равную 9 и она наибольшая по сравнению со степенями одночленов 4с 6 и –18х. Пример №5.
13х 4 у 7 +12х 3 у 6 –13
степень данного многочлена стандартного вида находим по наибольшей степени каждого одночлена: одночлен 13х 4 у 7 имеет 11 степень, так как складываем показатели 4 и 7; одночлен 12х 3 у 6 имеет соответственно 9 степень, а –13 имеет степень равную нулю (не содержит переменных). Таким образом, получается, что наибольшая степень равна 11, значит и степень всего многочлена равна 11.
6а 5 +8ас+2а 5 –11ас
Данный многочлен не является многочленом стандартного вида, поэтому сначала приведем подобные слагаемые, получим 6а 5 +8ас+2а 5 –11ас=8а 5 –3ас. Теперь найдем степень у каждого одночлена: у 8а 5 пятая степень, у 3ас – вторая (каждая переменная имеет первую степень). Значит, у многочлена 6а 5 +8ас+2а 5 –11ас степень равна 5.
Сложение и вычитание многочленов
Многочлены можно как складывать, так и вычитать. То есть сумму или разность многочленов можно представить в виде многочлена стандартного вида. Рассмотрим на примерах сложение и вычитание многочленов.
Пример №7. Выполним сложение многочленов:
6х 2 +8х–11 и –9х 2 +3х+19
Сначала составим их сумму (6х 2 +8х–11) + (–9х 2 +3х+19), теперь раскроем скобки, помня о том, что, если перед скобками стоит знак «плюс», то знаки у слагаемых в скобках не изменяются:
6х 2 +8х–11–9х 2 +3х+19
Теперь приведем подобные слагаемые и получим многочлен стандартного вида:
Пример №8. Выполним вычитание многочленов:
7х 5 +12х 3 –24 и 2х 5 +36х 3 –11
Составим разность многочленов (7х 5 +12х 3 – 24) – (2х 5 +36х 3 –11), раскроем скобки, помня о том, что, если перед скобками стоит «минус», то надо изменить знаки у слагаемых в скобках на противоположные:
7х 5 +12х 3 – 24 – 2х 5 –36х 3 +11
Приведем подобные слагаемые и получим многочлен:
Умножение одночлена на многочлен
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена.
Пример №9. Умножим одночлен 7х на многочлен 6х 2 +3х–5. Запишем в виде произведения:
выполним умножение 7х на каждое слагаемое в скобках: 7х•6х 2 +7х•3х–7х•(–5) и получим:
Запись данного выражения можно делать короче, выполняя промежуточные действия устно:
7х•(6х 2 +3х–5)= 42х 3 +21х 2 +35х
92с(–2с+10а 6 )= –184с 2 +920са 6
Здесь выполнение умножения одночлена на многочлен выполнено без записи промежуточных действий умножения.
Умножение многочлена на многочлен
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.
Пример №11. Умножим многочлен (а+с) на многочлен (х+с).
Составим произведение (а+с)(х+с); умножим сначала а на (х+с), затем с на (х+с); получим:
Получили многочлен в стандартном виде. Здесь были даны простые многочлены, не содержащие степеней. Запись выражения выглядит так:
Пример №12. Умножим многочлен 8х 3 –12х на многочлен 3х 5 –10х. Имеем:
(8х 3 –12х)(3х 5 –10х)=8х 3 •3х 5 +8х 3 •(–10х)–12х•3х 5 –12х•(–10х)=24х 8 –80х 4 –36х 6 +120х 2
Здесь были даны многочлены, содержащие степень, поэтому промежуточное решение лучше расписывать, чтобы не допустить ошибок.
Разложение многочлена на множители
Существуют такие способы для разложения многочлена на множители, как вынесение общего множителя за скобки и разложение на множители способом группировки.
Способ №1. Вынесение общего множителя за скобки.
Вынесение общего множителя за скобки – это представление многочлена в виде произведения одночлена и многочлена.
6х 4 – 20х 2 =2х 2 (3х 2 –10)
При вынесении за скобки степеней помним правило, что при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаем, а основание оставляем прежним.
Пример №14. Разложим на множители многочлен:
12с 5 х 7 –36с 6 х 2 +72асх 3
12с 5 х 7 –36с 6 х 2 +72асх 3 =12сх 2 (с 4 х 5 –3с 5 +6ах)
Сделаем вывод, что вынесение общего множителя за скобки – это выполнение действия деления каждого члена многочлена на его общий делитель.
Способ №2. Способ группировки.
Чтобы выполнить разложение на множители способом группировки необходимо следовать определенному алгоритму (ключевое слово в данном способе – группировка). Группировка слагаемых выполняется таким образом, чтобы в каждой группе можно было выполнить вынесение общего множителя за скобки, а в скобках оставались одинаковые выражения, это обычно определяется устно.
Пример №15. Разложим на множители многочлен:
Сгруппируем, например, слагаемые первое с последним, а второе с третьим (можно было первое с третьим, а второе с последним):
Теперь видим, что в каждой группе есть множитель, который можно вынести за скобки:
В полученном выражении видно, что в обеих скобках есть сумма х и d, вынесем эту сумму снова за скобки:
Таким образом, мы получили произведение двух выражений, то есть разложили данный многочлен на множители.
Пример №16. Разложим на множители многочлен:
Сгруппируем по порядку, чтобы знаки у слагаемых в скобках были одинаковые:
Вынесем общий множитель в каждой группе:
Вынесем за скобки одинаковые выражения:
Пример №17. Разложим на множители многочлен:
Сгруппируем по порядку, обращая внимание на знак перед х 2 :
х 5 –х 3 –х 2 +1 =(х 5 –х 3 )–(х 2 –1)
Если перед первым слагаемым, которое мы заключаем в скобки, стоит знак «минус», то мы ставим его перед скобкой, а знаки у слагаемых в скобках изменяем на противоположные. Тогда у нас в обеих скобках получатся одинаковые знаки.
Выносим за скобки общий множитель. В данном случае он есть только в первых скобках:
х 5 –х 3 –х 2 +1 =(х 5 –х 3 )–(х 2 –1)= х 3 (х 2 –1)–(х 2 –1)
Выносим за скобки одинаковые выражения, обращая внимание на то, что перед второй скобкой не записан общий множитель, значит, он равен 1:
х 5 –х 3 –х 2 +1 =(х 5 –х 3 )–(х 2 –1)= х 3 (х 2 –1)–(х 2 –1)=(х 2 –1)(х 3 –1)