Как вынести знаменатель за скобки
Вынесение общего множителя за скобки
Разложить многочлен на множители можно несколькими способами. Один из них называется вынесение общего множителя за скобки.
Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения двух и более многочленов.
Как вынести общий множитель за скобки
Чтобы вынести общий множитель за скобки нужно выполнить следующие действия.
Рассмотрим пример вынесения общего множителя за скобки.
Сначала определим число, на которое без остатка делятся все числовые коэффициенты одночленов. Для этого выпишем все числовые коэффициенты в таблицу ниже.
| Одночлен | Числовой коэффициент | Вывод |
|---|---|---|
| 6a 2 | 6 | Все числовые коэффициенты делятся без остатка на число « 3 ». |
| −3a | −3 | |
| 12ab | 12 |
Определим буквенные множители, которые повторяются во всех одночленах.
В многочлене « 6a 2 − 3a + 12ab » — только буквенный множитель « a » присутствует во всех одночленах. Наименьшая степень буквенного множителя « a » среди всех одночленов — первая.
Теперь перемножим выбранный числовой коэффициент и буквенный множитель.
Получим « 3a » и вынесем его за скобки.
Теперь вычислим оставшийся многочлен в скобках. Для этого составим таблицу ниже, где будем к каждому одночлену задавать вопрос:
«На что нужно умножить « 3а », чтобы получить данный одночлен?»
| Вопрос | Полученный одночлен |
|---|---|
| На что нужно умножить « 3а », чтобы получить « 6а 2 »? | На « 2а ». |
| На что нужно умножить « 3а », чтобы получить « −3a »? | На « −1 ». |
| На что нужно умножить « 3а », чтобы получить « 12ab »? | На « 4b ». |
Запишем полученный ответ.
Всегда проверяйте полученный результат вынесения общего множителя.
Для этого раскройте скобки в полученном результате по правилу умножения многочлена на одночлен.
Если вы вынесли общий множитель правильно, то вы должны получить исходный многочлен.
Проверим, правильно ли мы вынесли общий множитель за скобки.
При раскрытии скобок мы получили исходный многочлен, значит мы правильно вынесли общий множитель за скобки.
Действие обратное вынесению общего множителя за скобки называется раскрытием скобок.
Примеры вынесения общего множителя за скобки
Вынесение общего многочлена за скобки
Иногда есть возможность вынести многочлен за скобки целиком.
В таком случае оставшиеся одночлены просто записываются в скобки друг за другом вместе со знаком, который стоял слева от них.
Вынесение за скобки общего множителя: правило, примеры
В рамках изучений тождественных преобразований очень важна тема вынесения общего множителя за скобки. В данной статье мы поясним, в чем именно заключается такое преобразование, выведем основное правило и разберем характерные примеры задач.
Понятие вынесения множителя за скобки
Чтобы успешно применять данное преобразование, нужно знать, для каких выражений оно используется и какой результат надо получить в итоге. Поясним эти моменты.
В чем состоит данное преобразование? В ходе него мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.
Правило вынесения общего множителя за скобки
Используя все сказанное выше, выведем основное правило такого преобразования:
Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.
Определить сразу, какой множитель является общим, возможно не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.
В выводах отметим, что преобразование путем вынесения общего множителя за скобки очень часто применяется на практике, например, для вычисления значения рациональных выражений. Также этот способ полезен, когда нужно представить выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные множители.
Вынесение общего множителя за скобки
Рассмотрим, как проводить вынесение общего множителя за скобки, на конкретных примерах.
1) 12a — 16b
Начинаем с поиска общего множителя. Сначала ищем общий множитель среди чисел. Наибольшее число, на которое делится и 12, и 16 — 4. Переменные a и b разные, общего множителя у них нет.
Таким образом, общий множитель — 4. Вынести за скобки общий множитель — значит, поделить на этот множитель каждое слагаемое, стоящее в скобках. Делим на 4 сначала 12, затем 16:
12a — 16b=4(3a — 4b).
2) 5x² + 10x
И 5, и 10 делятся на 5, следовательно, общий множитель для чисел — пять. Из степеней x² и x выносим за скобки степень с меньшим показателем, то есть x (показатель 1 не пишем).
Таким образом, в этом примере общий множитель равен 5x. Выносим его за скобки. Вынести за скобки общий множитель — значит, каждое слагаемое, стоящее в скобках, разделить на этот множитель. Отдельно делим числа 5 и 10 на 5, отдельно — степени x² и x на x. Получаем
5x² + 10x=5x(x + 2).
Начинаем с коэффициентов. Наибольшее число, на которое делятся 12, 18 и 30 — это 6. Поскольку первое слагаемое со знаком «-«, выносим минус за скобки. При этом все знаки в скобках меняются на противоположные.
Среди степеней a наименьшая a³.
Среди степеней b — b².
Среди степеней c — с в первой степени (пишем просто c).
Таким образом, общий множитель — это — 6a³b²c. Выносим его за скобки.
Каждое слагаемое, стоящее в скобках, делим на этот множитель. При этом отдельно делим число на число, отдельно — степени с одинаковыми основаниями:
Поскольку знак «минус» вынесли за скобки, все знаки в скобках меняем на противоположные. Делим каждое слагаемое, стоящее в скобках, на общий множитель:
Не забываем: сколько слагаемых было до вынесения общего множителя за скобки, ровно столько же должно остаться в скобках после вынесения. Первое слагаемое совпало с общим множителем, поэтому после вынесения общего множителя за скобки от первого слагаемого осталась единица.
Вынесение общего множителя за скобку
Вынесение общего множителя – один из основных способов разложения на множители. По сути является действием обратным раскрытию скобок.
Главное правило вынесения за скобку:
Выносить за скобку можно только те множители, которые есть во всех слагаемых (одночленах).
К примеру, в выражении \(3ab+5bc-abc\) за скобку можно вынести только \(b\), потому что лишь оно есть во всех трех слагаемых. Процесс вынесения общих множителей за скобку представлен на схеме ниже:
Правила вынесения за скобки
В математике принято выносить сразу все общие множители.
Пример: \(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Обратите внимание, здесь мы могли бы разложить и вот так: \(3(xy-xz)\) или так: \(x(3y-3z)\). Однако это были бы неполные разложения. Выносить надо и тройку, и икс.
Иногда общие члены сразу не видны.
Пример: \(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
В этом случае общий член (пятерка) была скрыта. Однако разложив \(10\) как \(2\) умножить на \(5\), а \(15\) как \(3\) умножить на \(5\) – мы «вытащили пятерку на свет Божий», после чего легко смогли вынести ее за скобку.
Если одночлен выносится полностью – от него остается единица.
Пример: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Мы за скобку выносим \(x\), а третий одночлен и состоит только из икса. Почему же от него остается единица? Потому что если любое выражение умножить на единицу – оно не изменится. То есть этот самый \(x\) можно представить как \(1\cdot x\). Тогда имеем следующую цепочку преобразований:
Более того – это единственно правильный способ вынесения, потому что если мы единицу не оставим, то при раскрытии скобок мы не вернемся к исходному выражению. Действительно, если сделать вынесение вот так \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), то при раскрытии мы получим \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Третий член – пропал. Значит, такое вынесение некорректно.
За скобку можно выносить знак «минус», при этом знаки членов с скобке меняются на противоположные.
Пример: \(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
По сути здесь мы выносим за скобку «минус единицу», которая может быть «выделена» перед любым одночленом, даже если минуса перед ним не было. Мы здесь используем тот факт, что единицу можно записать как \((-1) \cdot (-1)\). Вот тот же пример, расписанный подробно:
Скобка тоже может быть общим множителем.
Таким образом, получаем:
Как правильно выносить общий множитель за скобки в алгебре
Понятие вынесения общего множителя за скобки
Разложить многочлен на множители — значит, преобразовать многочлен в произведение, которое равно этому многочлену.
Существует несколько методов в алгебре, позволяющих разложить многочлен на отдельные множители. Одним из наиболее распространенных способов является вынесение общего множителя за скобки. Такая методика часто встречается на уроках в средних классах.
Вынесение общего множителя за скобки представляет собой применение распределительного правила умножения с целью преобразования многочлена и получения в результате произведения.
В процессе вынесения множителя за скобки двучлен (ab + ac) примет вид произведения: a*(b + c)
Как происходит вынесение общего множителя за скобки
Определить общий множитель для каждого из членов, которые входят в состав многочлена, достаточно просто. Нужно следовать следующему алгоритму действий:
В качестве показательного примера можно разобрать порядок разложения многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки:
В первую очередь обратим внимание на коэффициенты 20, 10 и 15 для определения наибольшего общего делителя. Таковым является число 5. Значит, 5 является общим множителем для каждого из коэффициентов.
Далее можно приступить к вычислению многочлена, который остался в скобках. При группировке требуется разделить каждый из членов начального многочлена на определенный ранее общий множитель с учетом его знака:
20 a 2 b c 2 5 a 2 c = 4 b c
10 a 3 c 5 a 2 c = 2 a
15 a 2 b 2 c 5 a 2 c = 3 b 2
В результате проделанной работы получим:
При вынесении общего множителя за скобки совершается действие, которое является обратным умножению одночлена на многочлен:
Основное правило
Основное правило, которое применимо при вынесении общего множителя за скобки: вынесение общего множителя за скобки заключается в записи начального выражения, как произведения общего множителя и скобок, содержащих начальную сумму за исключением общего множителя.
В результате вынесения общего множителя за скобки в них остается такое же количество одночленов, которое содержалось в исходном многочлене.
Например, имеется некое выражение:
Заметим, что это сумма из трех слагаемых и общего множителя в виде числа 4. Руководствуясь правилом вынесения общего множителя за скобки, преобразуем выражение:
Преобразование выполнено, запишем итоговый результат:
Не во всех случаях получается определить общий множитель. Например, перед вынесением общего множителя может потребоваться замена чисел и выражений на произведения, которые тождественно им равны.
Попробуем разложить на множители многочлен:
Пояснение на примерах
В числовом выражении требуется вынести общий множитель за скобки:
В первую очередь следует определить максимально возможный общий множитель для двух слагаемых 15 и 20. Таковым будет являться число 5. Исключим его из скобок:
15 + 20 = 5 ( 15 5 + 20 5 ) = 5 * ( 3 + 4 )
Выполним проверку. В процессе необходимо выполнить умножение общего множителя в виде числа 5 на каждое из слагаемых. В том случае, когда ответ верный, выражение примет вид 15 + 20:
5 * ( 3 + 4 ) = 5 × 3 + 5 × 4 = 15 + 20
Вынести за скобки общий множитель в выражении:
Заметим, что в условии задания записана сумма простых чисел 13 и 5. В связи с этим, такие числа можно разложить на единицу и самих себя:
Такие слагаемые не имеют общих множителей, за исключением единицы. С другой стороны, число 1 бессмысленно выносить за скобки. Выполним преобразования:
13 + 5 = 1 ( 13 1 + 5 1 ) = 1 ( 13 + 5 )
Дано выражение, в котором требуется вынести общий множитель за скобки:
Выполним замену вычитания на сложение:
−20 − 16 − 2 = −20 + (−16) + (−2)
Ответ можно записать в сокращенном виде:
Заметим, что если бы мы вынесли за скобки общий множитель в виде числа 2 без минуса, то получили бы ответ правильный, но не аккуратный:
Дано выражение, в котором требуется вынести за скобки общий множитель:
Выполним замену вычитания на сложение:
Выполним преобразования согласно правилу вынесения общего множителя за скобки: