Как выполнить сложение и вычитание дробей

Сложение и вычитание дробей

Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

Чтобы с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Чтобы с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

Задача. Найдите значение выражения:

Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

Разберем все это на конкретных примерах:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

Что делать, если знаменатели разные

Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю», поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Что делать, если у дроби есть целая часть

Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.

Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

Задача. Найдите значение выражения:

Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:

Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.

Резюме: общая схема вычислений

В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:

Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.

Источник

Сложение дробей: теория и практика

Понятие дроби

Дробь — одна из форм записи частного чисел a и b, представленная в виде a/b. Существует два формата записи:

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между ними означает деление.

Дроби бывают двух видов:

Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 − 0,2)/15.

Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x − y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 3/7 и 31/45.

Неправильной называют такую дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 1/4.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Онлайн-школа Skysmart приглашает детей и подростков на курсы по математике — за интересными задачами, новыми прикладными знаниями и хорошими оценками!

Как плюсовать дроби

Сложение — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число. Оно содержит в себе сумму заданных чисел.

Свойства сложения

Давайте рассмотрим несколько вариантов сложения обыкновенных дробей.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы получить сумму двух дробей с равными знаменателями, нужно сложить числители исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.

Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь.

Сложение дробей с разными знаменателями

Как складывать дроби с разными знаменателями — для этого нужно найти наименьший общий знаменатель (далее — НОЗ), а затем воспользоваться предыдущим правилом. Вот, что делать:

1. Найдем наименьшее общее кратное знаменателей (далее — НОК) для определения единого делителя.

Для этого записываем в столбик числа, которые в произведении дают значения знаменателей складываемых дробей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (15, 18) = 3 × 2 × 3 × 5 = 90

2. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:

Полученные числа записываем справа сверху над числителем.

3. Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению.

4. Проверим полученный результат:

Еще раз ход решения одной строкой:

Сложение смешанных чисел

Сложение смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

1. Сложить целые части.

2. Сложить дробные части.

Если знаменатели разные, воспользуемся знаниями из предыдущего примера и приведем к общему.

3. Суммируем полученные результаты.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.

Прибавление и вычитание дробей — смежные темы: принципы и закономерности очень похожи. Чтобы закрепить знания, тренируйтесь решать примеры на сложение дробей как можно чаще.

Источник

Обыкновенные дроби

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Доля целого

Доля — это каждая равная часть, из суммы которых состоит целый предмет.

Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные.

У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарите шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого.

Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ее ширина треть метра.

Чтобы быстрее запомнить соотношения частей и целого, можно использовать наглядную табличку:

Понятие дроби

Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:

Виды дробей:

Какие еще бывают дроби:

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3\5.

Выделение целой части из неправильной дроби — это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби. Например, 11/5 = 2 + 1/5.

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Как устроена обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.

Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.

Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.

Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.

Черта между числителем и знаменателем — символ деления.

Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.

Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.

Как устроена десятичная дробь

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.

Свойства дробей

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной. Формула выглядит так:

где a, b, k — натуральные числа.

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайтесь!

Действия с дробями

С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем.

Сравнение дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем:

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример. Сравнить 2/7 и 1/14.

Важно запомнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.

Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

Сокращение дробей

Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число. Сократить дробь значит сделать ее короче и проще для восприятия. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и красивее, чем 27/81.

Сокращение дроби выглядит так: зачеркивают числитель и знаменатель, а рядом записывают результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

В этом примере делим обе части дроби на двойку.

Можно никуда не спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.

Сложение и вычитание дробей

При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.

Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.

При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).

Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90

Полученные числа запишем справа сверху над числителем.

Ход решения одной строкой:

Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.

Умножение и деление дробей

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:

Не забываем про сокращение. Это может облегчить вычисления.

Чтобы умножить два смешанных числа, надо:

Чтобы разделить дробь на дробь нужно выполнить следующую последовательность действий:

Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.

Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей — неважно, потому что все дроби делятся по правилу, описанному выше.

Для деления смешанных чисел необходимо:

Источник

Сложение и вычитание алгебраических дробей: правила, примеры

Данная статья начинает изучение действий с алгебраическими дробями: рассмотрим подробно такие действия как сложение и вычитание алгебраических дробей. Разберем схему сложения и вычитания алгебраических дробей как с одинаковыми знаменателями, так и с разными. Изучим, как сложить алгебраическую дробь с многочленом и как произвести их вычитание. На конкретных примерах поясним каждый шаг поиска решения задач.

Действия сложения и вычитания при одинаковых знаменателях

Схема сложения обыкновенных дробей применима и для алгебраических. Мы знаем, что при сложении или вычитании обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить или вычесть их числители, а знаменатель остается исходным.

Соответственно аналогичным образом записывается правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, нужно соответственно сложить или вычесть числители исходных дробей, а знаменатель записать без изменений.

Укажем пример применения сформулированного правила.

Решение

Исходные дроби содержат одинаковые знаменатели. Согласно правилу, выполним сложение числителей заданных дробей, а знаменатель оставим неизменным.

В практике, как во многих случаях, решение приводится цепочкой равенств, наглядно показывающей все этапы решения:

Результатом сложения или вычитания может стать сократимая дробь, в этом случае оптимально ее сократить.

Решение

Знаменатели исходных дробей равны. Произведем действия с числителями, а именно: вычтем из числителя первой дроби числитель второй, после чего запишем результат, оставляя знаменатель неизменным:

Мы видим, что полученная дробь – сократимая. Осуществим ее сокращение, преобразовав знаменатель при помощи формулы разности квадратов:

По такому же принципу складываются или вычитаются три и более алгебраических дробей при одинаковых знаменателях. К примеру:

Действия сложения и вычитания при разных знаменателях

Вновь обратимся к схеме действий с обыкновенными дробями: чтобы выполнить сложение или вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю, а затем сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Так же по аналогии сформулируем правило сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями:

Чтобы осуществить сложение или вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями, необходимо:

Очевидно, что ключевым здесь будет навык приведения алгебраических дробей к общему знаменателю. Разберем подробнее.

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, необходимо осуществить тождественное преобразование заданных дробей, в результате которого знаменатели исходных дробей становятся одинаковыми. Здесь оптимально действовать по следующему алгоритму приведения алгебраических дробей к общему знаменателю:

Решение

Теперь нам предстоит найти дополнительные множители. Разделим, согласно алгоритму, найденный общий знаменатель на знаменатели исходных дробей:

Так, мы привели исходные дроби к общему знаменателю. В случае необходимости далее можно преобразовать полученный результат в вид алгебраических дробей, осуществив умножение многочленов и одночленов в числителях и знаменателях.

Уточним также такой момент: найденный общий знаменатель оптимально оставлять в виде произведения на случай необходимости сократить конечную дробь.

Мы рассмотрели подробно схему приведения исходных алгебраических дробей к общему знаменателю, теперь можем приступить к разбору примеров на сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Решение

Теперь сложим дроби, которые мы привели к общему знаменателю:

Полученную дробь возможно сократить на общий множитель x + 1 :

2 + 2 · x x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 · ( x + 1 ) x · ( x + 1 ) · ( x + 2 ) = 2 x · ( x + 2 )

И, напоследок, полученный результат запишем в виде алгебраической дроби, заменив произведение в знаменателе многочленом:

2 x · ( x + 2 ) = 2 x 2 + 2 · x

Запишем ход решения кратко в виде цепочки равенств:

Обратите внимание еще на такую деталь: перед тем, как алгебраические дроби сложить или вычесть, при наличии возможности их желательно преобразовать с целью упрощения.

Решение

Преобразуем исходные алгебраические дроби для упрощения дальнейшего решения. Вынесем за скобки числовые коэффициенты переменных в знаменателе:

Данное преобразование однозначно дало нам пользу: мы явно видим наличие общего множителя.

Совершим действие, которое нам позволит избавиться от дробных коэффициентов: умножим полученные дроби на 14 :

Наконец, выполним требуемое в условии задачи действие – вычитание:

Сложение и вычитание алгебраической дроби и многочлена

Решение

Теперь можем выполнить сложение по правилу сложения дробей с разными знаменателями:

Источник

Сложение и вычитание дробей

Рассмотрим непростую, но очень важную тему 5 класса по математике «сложение и вычитание дробей». Мы научимся складывать дроби как с общим, так и с разными знаменателями, разберёмся со смешанными дробями, научимся выполнять арифметические действия и с десятичными дробями.

Сложение и вычитание дробей с общим знаменателем

Допустим, по условию задания нам нужно найти сумму:

Так как в этом примере знаменатель у чисел одинаковый, это число 5, мы можем записать их под общую черту

Выполняем сложение числителей 2 и 1, 2 + 1 = 3

Тем самым получили

Знаменатель у дробей общий, записываем их под одну черту и выполняем вычитание числителей 11 – 3 = 8

Тем самым вы выполнили вычитание двух дробей с общим знаменателем.

Задание для самопроверки:

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Для выполнения сложения или вычитания дробей с разными знаменателями, необходимо в первую очередь найти наименьшее общее кратное (НОК) имеющихся знаменателей. НОК и есть общий знаменатель для дробей. Для этого вспомним, данную тему:

Найдем НОК (15,12). Для этого разложим каждое число на простые множители так, чтобы в конце получилась 1.

Подчеркнём одинаковые цифры во вторых столбцах у каждого числа.

Теперь возьмем первое число, то есть 15, и умножим его на неподчеркнутые цифры у второго числа. То есть 15 * 2 * 2, получим 60.

В первую очередь, найдем НОК знаменателей, 12 и 15.

Мы уже нашли его в предыдущем действии, НОК(12, 15) = 60

Теперь смотрим, на что нужно домножить первую дробь, чтобы ее знаменатель из 12 превратился в 60. Для этого вернемся к нахождению НОК и найдем неподчёркнутые цифры из другого столбца( смотрим на разложение числа 15), это число всего одно, 5. Мы поняли, что дополнительный множитель у первой дроби – это число 5.

Аналогично найдём дополнительный множитель для второй дроби, у второго числа 12 2 и 2 не подчёркнуты. 2*2 = 4 Следовательно дополнительный множитель для неё — это число 4.

Получившиеся доп. множители записываем соответственно в правом верхнем углу у каждой дроби. А затем умножаем числитель дробей на этот множитель, записываем получившееся выражение уже сверху дробной функции со знаменателем 60.

Выполним необходимые действия.

В итоге мы получили дробь, которая равна сумме двух первоначальных.

Также первоначально найдем НОК, разложим знаменатели дробей 20 и 30 на простые множители.

Подчеркнём одинаковые цифры в двух столбцах

Домножим 20 на неподчёркнутые цифры у 30, это лишь 3.

Значит общий знаменатель искомых дробей – 60.

Посмотрим, какой недостающий множитель у числа 20, это цифра 3 из второго столбца.

А доп. множитель у 30 – цифра 2 из первого столбика.

Записываем дроби под общий знаменатель, при этом не забываем умножать числители на соответственный доп. множитель.

Это окончательный ответ.

Задание для самопроверки:

Сложение и вычитание десятичных дробей

Для того, чтобы научиться складывать и вычитать десятичные дроби, мы должны в первую очередь правильно их записать, запятая у второго числа должна находиться строго под запятой у первого.

Cложение десятичных дробей

Для этого суммируем цифры, находящиеся друг под другом, начиная с крайней левой. Записываем получившиеся значения под вертикальную черту. Если под одной из цифр нижняя отсутствует, как у числа 2, просто списываем эту двойку вниз.

Пишем ответ, оставляя запятую на прежней позиции.

Вычитание десятичных дробей

Это делается абсолютно аналогично сложению. Запишем числа друг под другом, запятая под запятой.

Источник