Как выполняется проверка в математике
Математика. 2 класс
Конспект урока
Математика, 2 класс. Урок №27
Проверка сложения. Проверка вычитания.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— Что такое обратные математические действия?
— Как проверить сложение?
— Как проверить вычитание?
Сложение – это объединение объектов в одно целое. Результатом сложения чисел является число, называемое суммой чисел (слагаемых).
Вычитание – это такое действие, в котором отнимают меньшее число от большего. Большее число называется уменьшаемым, меньшее – вычитаемым, результат вычитания – разностью.
Обратные действия – действия, приводящие к прежнему, исходному состоянию.
Основная и дополнительная литература по теме урока (точные библиографические данные с указанием страниц):
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Используя числа 7, 5, 12 составим все возможные равенства.
Назовём компоненты и результат действия сложения.
Слагаемое + слагаемое = сумма
Назовём компоненты и результат действия вычитания.
Уменьшаемое – вычитаемое = разность
Действия сложение и вычитание связаны друг с другом, являются взаимно обратными действиями.
Как проверить, верно ли выполнено сложение. Воспользуемся знанием того, как связаны слагаемые и сумма. Если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится другое слагаемое. Это позволяет сложение проверить вычитанием.
Например, надо проверить, верно ли вычислили сумму чисел 28 и 5. Для этого из суммы 33 вычтем одно из слагаемых. Например, 5. Должно получиться другое слагаемое. Получилось 28. Значит, сумма чисел 28 и 5 найдена правильно. Можно вычесть из суммы другое слагаемое.
Сумма чисел 36 и 9 найдена неверно, т.к. после вычитания из суммы 47 слагаемого 9, другое слагаемое, 36 не получается.
Вычислим ещё раз сумму чисел 36 и 9 и проверим результат.
36 – первое слагаемое
Сформулируем правило проверки сложения: «Для проверки сложения надо из значения суммы вычесть одно из слагаемых. Если в результате вычитания получается другое слагаемое, значит, сложение выполнено верно».
Как проверить вычитание? Воспользуемся знанием того, как связаны между собой уменьшаемое, вычитаемое, разность. Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое. Значит, вычитание можно проверить сложением.
Вычислим разность чисел 48 и 30. Она равна 18. Проверим вычитание сложением. К разности 18 прибавим вычитаемое 30, получим 48. Это уменьшаемое.
Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое.
Значит, вычитание можно проверить и вычитанием. Рассмотрим это на примере.
Из уменьшаемого 48 вычтем разность 18, получим 30, т.е. вычитаемое. Значит, разность чисел 48 и 30 вычислена верно.
Сформулируем правила проверки вычитания: «Для проверки вычитания, надо к значению разности прибавить вычитаемое. Если в результате сложения получается уменьшаемое, значит, вычитание выполнено верно», или «Для проверки вычитания, надо из уменьшаемого вычесть разность. Если в результате получается вычитаемое, значит, вычитание выполнено верно».
Вывод: Сложение и вычитание – это обратные действия. Для проверки сложения надо из значения суммы вычесть одно из слагаемых. Если в результате вычитания получается другое слагаемое, значит, сложение выполнено верно. Для того, чтобы выполнить проверку вычитания, надо к значению разности прибавить вычитаемое. Если в результате сложения получается уменьшаемое, значит, вычитание выполнено верно.
1. Найдите значение первого выражения в каждой рамке, а затем выполни проверку полученного результата двумя способами.
Математика. 2 класс
Конспект урока
Математика, 2 класс
Урок №28. Решение задач. Проверка решения задачи
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— Как проверить решение задачи?
— Как моделировать текст задачи табличным способом?
Задача – это упражнение, которое выполняется посредством умозаключения, вычисления.
Выражение – формула, выражающая какие–либо математические отношения.
Обратные задачи – это задачи, в которых число и результат меняются местами (известное становится неизвестным, а неизвестное известным).
Основная и дополнительная литература по теме урока:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Действия сложение и вычитание связаны друг с другом, являются взаимно обратными действиями.
Вы помните, что в математике существуют обратные задачи. Они нам помогут при проверке решения. Обратные задачи должны обладать следующими признаками: сходный сюжет задач, число и результат меняются местами (известное становится неизвестным, а неизвестное известным).
Вы уже умеете выполнять проверку сложения и вычитания двумя способами. Вспомним эти правила.
Для проверки сложения надо из значения суммы вычесть одно из слагаемых. Если в результате вычитания получается другое слагаемое, значит, сложение выполнено верно
Для проверки вычитания, надо к значению разности прибавить вычитаемое. Если в результате сложения получается уменьшаемое, значит, вычитание выполнено верно.
Для проверки вычитания, надо из уменьшаемого вычесть разность. Если в результате получается вычитаемое, значит, вычитание выполнено верно.
Решим задачу и на её примере выполним проверку решения.
Папа поймал на рыбалке 6 окуней и 8 лещей. Сколько всего рыб поймал папа?
Чтобы узнать, сколько всего рыбы поймал папа, сложим количество окуней и лещей.
8 + 6 = 14 (р.) всего поймал папа.
Выполним проверку обратным действием.
Проверка: 14 – 6 = 8 (р.)
8 – это количество лещей, которых поймал папа. Значит, задачу решили верно.
Это действие является решением обратной задачи:
Папа поймал на рыбалке 14 окуней и лещей. Окуней было 6. Сколько лещей поймал папа?
Значит, чтобы проверить решение задачи, можно решить обратную задачу.
Теперь рассмотрим, как представить текст задачи в таблице. Прочитайте задачу.
Выделим главные слова в этой задаче, которые показывают действия, совершаемые с карандашами. Это слова: было, взяли, положили, стало.
Начертим таблицу из четырёх столбиков и двух строк. Запишем главные слова и вставим данные и вопрос.
Способы проверки правильности решения задачи в начальных классах
3. Решение другим методом или способом (результаты должны совпасть)- правильность хода решения не устанавливается.
6. Повторное решение тем же методом и способом (возможно установление правильности как хода, так и результата решения).
7. Решение задач «с малыми числами» с последующей проверкой вычислений (возможно установление правильности как хода, так и результат решения).
8. Решение задач с упрощенными отношениями и зависимостями с последующим восстановлением отношений и зависимостей, данных в задаче (возможно установление правильности как хода, так и результат решения).
9. Обоснование каждого шага решения через соотнесение с более общими теоретическими положениями (возможно установление правильности как хода, так и результат решения).
Этапы обучения проверке (для всех способов):
I. Подготовительная работа к введению приема:
Цель: сформировать умения, необходимые для осуществления приема проверки.
II. Проверка решения под руководством учителя. Учитель после неверно решенной задачи проговаривает способ проверки (в неявном виде).
III. Усвоение способа проверки и самостоятельное его использование. Цель: запоминание детьми последовательности действий для проверки и формирование умения использовать самостоятельно способ проверки.
Овладение данными способами проверки решения задачи способствует в первую очередь развитию одного из важнейших компонентов учебной деятельности – действия самоконтроля. В ходе проверки развиваются три его вида – прогнозирующий, процессуальный (пошаговый) и итоговый.
Поскольку проверка задачи осуществляется после решения задачи, то приемы проверки правильности решения задачи можно отнести и кэтапу работы над задачей после её решения.
3. Какой из приемов проверки не всегда можно применить в начальных классах?
Математика
Чтобы убедиться, что какое-нибудь арифметическое действие сделано без ошибки, его проверяют.
Проверкой называют совокупность арифметических приемов с целью убедиться, что данное арифметическое действие исполнено верно. Проверка также состоит из арифметических действий, выполненных в другом порядке.
Самый простой способ убедиться, что действие выполнено верно, состоит, конечно, в том, чтобы повторить его снова. Однако, замечено, что уверенность наша увеличивается, если мы убедимся другим путем в верности какого-нибудь результата, поэтому проверяют арифметические действия иначе.
Проверка основана на главных свойствах самих арифметических действий и на зависимости, существующей между данными и искомыми числами.
Основываясь на главных свойствах самих действий, мы можем каждое действие проверять тем же действием, только выполненным в другом порядке. Таким образом, сложение проверяется сложением, вычитание — вычитанием и т. д.
Проверка арифметических действий теми же действиями
Проверка сложения
Сумма не изменяется от перемены порядка слагаемых, следовательно, чтобы проверить сложение, нужно сложить слагаемые в другом порядке; если получится та же самая сумма, сложение сделано верно.
Обычно при проверке складываются слагаемые в обратном порядке, то есть снизу вверх.
Проверка вычитания
Вычитаемое равно уменьшаемому без разности, следовательно, чтобы проверить вычитание, нужно из уменьшаемого вычесть разность; если в остатке получится вычитаемое, вычитание сделано верно.
Проверка умножения
Произведение не изменяется от перемены порядка множителей, следовательно, чтобы проверить умножение, нужно переменить порядок множителей и снова выполнить умножение; если получим то же произведение, умножение выполнено верно.
Проверка деления
При делении нацело делитель равен делимому, разделенному на частное, следовательно, чтобы проверить деление, в случае деления нацело, нужно делимое разделить на частное; если в частном получится делитель, деление сделано верно.
Проверка решения задачи
Формирование умения решать задачи с пропорциональными величинами в начальных классах
Проверка решения задачи
В начальной школе рекомендуется использовать описанные ниже виды проверок.
Прикидка — установление границ искомого числа — самый элементарный способ проверки решения задачи. Суть этого способа состоит в том, что до решения или после него устанавливается, больше или меньше получающееся в результате решения число, чем какое-либо число, данное в задаче. Другими словами, прогнозируется некоторая степень точности результата решения.
Покажем использование этого приема на примере решения задачи: «В одной коробке было 7 карандашей, это на 2 карандаша больше, чем во второй. Сколько карандашей было во второй коробке?»
При решении задачи учащиеся нередко допускают ошибку в выборе действия, поэтому целесообразно проверить полученный результат. Выполнено решение: 7 + 2 = 9. Делаем прикидку: устанавливаем, больше или меньше получившееся число, чем 7.
В задаче сказано, что в первой коробке 7 карандашей и их больше, чем во второй. Значит, во второй коробке карандашей получится меньше, т. е. в ответе должно быть число, меньше, чем 7. Сопоставив с результатом, приходим к выводу, что задача решена неверно.
На основе анализа задачи находим верное решение: 7 – 2 = 5. Сопоставляем его результат с прогнозируемым числом — 7, приходим к выводу: полученное число меньше прогнозируемого, значит, задача решена верно. Этот способ может быть применен и к решению составных задач. Однако он лишь помогает заметить нелогичность в рассуждениях, но ошибка, допущенная в вычислении, может остаться незамеченной.
Проверка путем составления и решения обратной задачи заключается в том, что вначале решается исходная (предложенная) задача. Затем составляют задачу, обратную данной, и решают ее. Если в результате решения обратной задачи получают число, которое было известным в исходной задаче, то считается, что задача решена верно.
Поясним сказанное на примере задачи: «За 3 кг яблок заплатили 45 руб. Сколько денег потребуется для покупки 5 кг таких же яблок?»
В процессе работы над задачей учащиеся приходят к такому решению:
1) 45:3=15 (руб.); 2) 15-5 = 75 (руб.).
Чтобы проверить, правильно ли решена задача, учитель предлагает составить задачу, обратную данной. Для этого в условие исходной задачи вводится результат решения (75), которое становится известным, а одно из данных (45, 3, 5) — неизвестным. Затем учащиеся формулируют новую задачу, например, «На 75 руб. купили 5 кг яблок. Сколько килограммов таких же яблок можно купить на 45 руб.?».
В процессе анализа задачи получаем следующее решение:
В результате решения обратной задачи получено число, которое есть в исходной, значит, можно утверждать, что задача решена верно.
Следует отметить, что для многих задач проверка решения таким способом вызывает затруднения, поскольку нужно составить, сформулировать и решить обратную задачу, которая к тому же может оказаться сложнее и труднее для учащихся. Поэтому такой способ проверки чаще всего применяется при решении простых задач.
Установление соответствия между числами, полученными в результате, и данными в условии задачи заключается в том, что с помощью рассуждений и арифметических действий проверяется выполнение всех отношений между данными значениями величин и найденным результатом.
Поясним сказанное на примере задачи: «Для посадки привезли 600 лип и 400 дубков. Их рассадили в ряды поровну. При этом лип получилось на 5 рядов больше, чем дубков. Сколько получилось рядов лип и сколько рядов дубков?»
В процессе анализа составляется план, а затем решение задачи:
Чтобы проверить, верно ли выполнено решение, установим, выполняется ли отношение: «лип на 5 рядов больше, чем дубков». Для этого сравниваем число рядов лип (15) с числом рядов дубков (10). Получаем (15-10 = 5), что рядов лип на 5 больше, чем рядов дубков. Далее, в задаче сказано, что деревьев в рядах поровну. Проверим, выполняется ли это отношение. Для этого найдем число лип в одном ряду, а затем и число дубков в одном ряду: 600:15=40; 400:10=40. Как видим, и это отношение выполняется.
Таким образом, числа, полученные в ответе и данные в условии задачи, находятся в отношениях, указанных в условии задачи. Следовательно, задача решена верно. Этот способ проверки удобен при решении задач на пропорциональное деление и нахождение чисел по двум разностям.
Решение задачи различными способами, дающее один и тот же результат, позволяет сделать вывод, что задача решена верно.
Поясним сказанное на примере задачи: «От пристани в противоположных направлениях отошли два теплохода. Через 4 ч они находились на расстоянии 224 км друг от друга. Один из них шел со скоростью 30 км/ч. С какой скоростью шел второй теплоход?».
Решение задачи было выполнено следующим образом:
В данном случае задача решена двумя арифметическими способами.
Сравнив результаты решения, делаем вывод: так как при решении задачи разными способами получены одинаковые результаты, то задача решена верно.
Решив уравнение, получаем: х = 26. Результат оказывается таким же, что и при арифметическом решении. Так как при решении задачи различными способами (методами) получен один и тот же ответ, то задача решена верно.
Заметим, что осознание полезности и необходимости проверки решения задачи возникает тогда, когда создается ситуация, в которой правильность решения вызывает сомнение у учащихся или в результате решения получен неверный ответ. Поясним сказанное на примере решения задачи: «Из пачки взяли 18 тетрадей. После этого в ней осталось тетрадей в два раза меньше, чем было. Сколько тетрадей было в пачке сначала?».
При самостоятельном решении задачи многие учащиеся выполняют ошибочное решение: 18:2+ 18=27 (т.).
Другие учащиеся решают эту задачу следующим образом:
В этом случае, пользуясь ситуацией, учитель может предложить учащимся проверить решение задачи. Под руководством учителя они составляют обратную задачу: «В пачке было 27 тетрадей, взяли 18. Во сколько раз меньше осталось тетрадей, чем было?». Затем учащиеся решают ее: 27-18=9 (т.); 27:9=3 (раза). Получен ответ: тетрадей осталось в 3 раза меньше, чем было. Это противоречит условию исходной задачи, так как в нем сказано, что тетрадей осталось в 2 раза меньше. Следовательно, задача решена неверно.
Затем проводится проверка решения, в котором был получен ответ 36. Учащиеся составляют обратную задачу и в результате ее решения получают ответ: оставшихся тетрадей в 2 раза меньше, чем было сначала. Это соответствует условию исходной задачи. Учащиеся убеждаются, что данное решение верное.
В процессе обучения решению текстовых задач у учащихся начальных классов должно быть не только сформировано умение решать задачи, но и выработана привычка выполнять проверку решения.
Выбор способа проверки решения задачи во многом зависит от структуры задачи и от цели, которую ставит на уроке учитель. Для некоторых задач приемлем любой из способов проверки.