Как выполняется сложение двоичных чисел
Системы счисления. Арифметические действия в двоичной системе счисления
Цель: научить учащихся выполнять арифметические действиями в двоичной системе счисления.
Задачи:
образовательные:
— повторение и закрепление знаний учащихся о системах счисления;
— формировать у школьников умение выполнять правильно арифметические действия в двоичной системе счисления;
развивающие:
— развивать логическое мышление учащихся;
— развивать познавательный интерес учеников.
Содержание нового материала: правила сложения, умножения, вычитания и деления в двоичной системе счисления.
Ход урока.
Изучение нового материала.
Правила сложения:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
Обратить внимание учащихся на то, что при сложении двух единиц в двоичной системе счисления в записи получается 0, а единица переносится в следующий разряд. При сложении трех единиц получается в записи 1, и единица переносится в следующий разряд. (1+1+1=11).
Пример 1.
101+10=111
Пример 2.
10011+11=1110
Учащиеся самостоятельно решают следующие примеры:
1001+11=1100
110+110=1100
Правила умножения:
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
Пример 1.
101*11=1111
Пример 2.
1011*101=110111
Учащиеся самостоятельно решают следующие примеры:
1001*101=101101
1001*11=11011
Правила вычитания:
0-0=0
1-0=1
1-1=0
0-1=-1
Обратить внимание учащихся на то, что «минус» в последнем правиле обозначает – «занять разряд (1)».
Пример 1.
10110-111=1111
Объяснение:
Вычитание выполняется так же, как в математике. Если цифра в уменьшаемом меньше цифры вычитаемого, то для данного вычитания необходимо занять разряд (1), т.к. 10-1=1. Если слева от такого вычитания стоит 0, то мы не можем занять разряд. В этом случае разряд занимаем в уменьшаемом у близстоящей слева от данного вычитания единицы. При этом все нули, у которых мы не могли занять разряд, необходимо поменять на единицу, т.к. 0-1=-1. Желательно все изменения в цифрах записывать сверху данного вычитания. Дальнейшее вычитание выполнять с получившимися сверху цифрами.
Пример 2.
100000-11=11101
Учащиеся самостоятельно решают следующие примеры:
100010-100=
101011-10111=
Правило деления:
Деление выполняется по правилам математики, не забывая, что мы выполняем действия в двоичной системе счисления.
Пример 1.
101101:1001=101
Двоичная арифметика
Арифметические действия в двоичной системе производятся по обычным для позиционных систем правилам, которые нам известны из десятичной арифметики, но при этом используются таблицы сложения и умножения двоичной системы:
Таблица сложения в двоичной системе очень проста. Надо только помнить, что прибавление нуля не меняет число, а один плюс один, будет два.
Таблица умножения ещё проще. Здесь нужно твёрдо знать, что любое число, умноженное на нуль, есть нуль и что умножение на единицу не меняет числа.
Сложение многозначных чисел производится точно так же, как и в десятичной системе, то есть поразрядно, начиная с младшего. Например:
Вычитание в двоичной системе выполняется по таким правилам:
Точки, поставленные над некоторыми разрядами уменьшаемого, показывают, что в двоичной системе единица помеченного разряда раздробляется на две единицы низшего разряда.
Умножение и деление двоичных чисел практически не отличается от умножения и деления чисел, записанных в десятичной системе счисления. Единственным отличием является то, что при умножении в столбик не приходится находить произведение первого множителя на значения последовательных разрядов второго множителя, так как значение этих разрядов 1 или 0. А при делении в столбик не нужно подбирать неполное делимое, так как учитывая специфику двоичных чисел, неполное делимое можно определить просто посмотрев на делимое.
Примеры. Выполнить умножение и деление:
Двоичная арифметика
Всего получено оценок: 190.
Всего получено оценок: 190.
Операции сложения, вычитания, умножения и деления в двоичной системе – это двоичная арифметика. Некоторые примеры двоичной арифметики рассмотрены в данной статье.
Двоичная арифметика
Все арифметические действия, которые применимы к двоичным числам, выполняются аналогично как в десятичной системе. Удобнее всего двоичные числа складывать, вычитать, умножать и делить столбиком.
Числа записываются друг под другом с учетом разрядов. При необходимости производится перенос в старший разряд или заем из старшего разряда.
При сложении двоичных чисел следует помнить, что в числовом двоичном ряду после 1 идет 10. Это означает, что 1 + 1 = 10, а 11 + 1= 100.
Изучению двоичной системы много времени посвятил В. Лейбниц. По его просьбе была отчеканена медаль в честь двоичной системы, на которой отображались простейшие арифметические действия с двоичными числами.
Сложение
Вычисление суммы двоичных чисел производится следующим образом: числа записываются в столбик. Затем производится поразрядное суммирование цифр, начиная с младшего разряда, как в десятичной системе. Если сумма цифр текущего разряда превышает его размер, то происходит перенос единицы в старший разряд.
Правила сложения двоичных чисел:
Например, сумма двоичных чисел 1000111 + 110011 = 1111010
Как выполняется сложение двоичных чисел
2. Арифметические действия в двоичной системе
Основываясь на правилах логического умножения и сложения, можно при помощи рассмотренных выше логических электронных элементов создать устройства, выполняющие операции сложения, вычитания, умножения и деления.
а) Сложение двоичных чисел
Сложение двоичных чисел осуществляется по правилам логического сложения (ур. 2.3). Однако при этом необходимо иметь в виду, что единица, получающаяся при сложении двух единиц, переносится (прибавляется) в более высокий разряд. Поэтому для сложения двух одноразрядных чисел получаем следующие правила:
Эти правила могут быть реализованы в схеме, показанной на рис. 2.9, которая составляется следующим образом.
Рис. 2.9. Схема сложения двух чисел
Прежде всего, сигнал переноса (С), как это следует из четвертого равенства (ур. 2.7), имеет место тогда, когда оба слагаемых (А и В) равны единице. Это логическое высказывание можно записать в виде
Поэтому сигнал переноса является выходом логического элемента «И2«, на входы которого поданы сигналы А и В (рис. 2.9).
Единица в том же разряде получается (ур. 2.7) в двух случаях, когда
Используя терминологию алгебры логики, эти условия можно записать в следующем виде:
Введение условных обозначений логических операций упрощает данную запись:
Это сложное логическое выражение в конечном виде можно записать следующим образом:
Рассматриваемое логическое преобразование может быть выполнено (рис. 2.9) при помощи пяти логических элементов: «HE1«, «HE2«, «И1«, «И3» и «ИЛИ».
Однако для нахождения результата сложения (D) уравнение (2.8) не является оптимальным (в отношении количества используемых логических элементов). Это происходит потому, что в нем не используется уже имеющийся сигнал переноса С = АВ. Проведенные в этом отношении исследования показывают следующее.
Учитывая, что АА‾ = 0 и ВВ‾ = 0 (ур. 2.6), запишем уравнение (2.8) в следующем виде:
После несложных преобразований получаем:
Как следует из второго уравнения (2.4),
Таким образом, в окончательном виде
Данное логическое высказывание проще, чем высказывание (ур. 2.8). Поэтому сложение выполняется (рис. 2.10) при помощи четырех (а не шести, как в предыдущем случае) логических элементов.
Схемы рис. 2.9 или 2.10 используются лишь при сложении одноразрядных чисел. Для того чтобы сложить два R-разрядных числа, необходимо иметь сумматор, состоящий из одноразрядных сумматоров (ОС). Схема такого сумматора на три разряда показана на рис. 2.11.
Рис. 2.10. Упрощенная схема сложения
Рис. 2.11. Сумматор на три разряда
На вход этого устройства подаются два трехразрядных числа (A2A1A0 и B2B1B0). На выходе получается четырехразрядное число (D3D2D1D0).
Как следует из этой схемы, каждый одноразрядный сумматор (ОС) должен быть выполнен таким образом, чтобы он мог складывать три одноразрядных числа: А, В и перенос с низшего разряда (С). Одна из схем такого сумматора, выполненная на логических элементах типа «НЕ», «ИЛИ», «И», показана на рис. 2.12.
Рис. 2.12. Сумматор на три одноразрядных числа
б) Вычитание двоичных чисел
Вычитание двоичных чисел может быть выполнено двумя методами.
Прежде всего можно сконструировать устройство, которое, вычитая меньшее число из большего, в каждом разряде выполняет непосредственно вычитание по правилам:
где единица в скобках обозначает перенос (добавление) в высший разряд вычитаемого числа.
Пользуясь этими правилами, легко построить логическую схему, выполняющую вычитание двух одноразрядных чисел.
Это логическое высказывание выполняется (рис. 2.13) при помощи двух логических элементов (НЕ2 и И2).
Рис. 2.13. Логическая схема вычитания двух одноразрядных чисел
В результате вычитания единица в том же разряде получается в случае, когда А = 1 и В = 0 или А = 0 и В = 1. Это логическое высказывание, как было показано при рассмотрении операций логического сложения, записывается в следующем виде:
Данное высказывание (рис. 2.13) выполняется пятью логическими элементами, два из которых одновременно используются для получения сигнала переноса (С).
Сравнивая схемы сложения (рис. 2.9) и вычитания (рис. 2.13) одноразрядных чисел, легко увидеть, что они отличаются друг от друга только логикой определения сигнала переноса.
Часто бывает очень удобным на одной и той же схеме выполнять как сложение, так и вычитание. В этом случае операция вычитания специальным приемом сводится к сложению. Делается это следующим образом.
Рассмотрим вычитание двух R-разрядных чисел:
Нормализуем большее из этих двух чисел, т. е. запишем его в следующем виде:
Пример нормализации двоичного числа:
Записывая это число в таком виде, чтобы целая часть отсутствовала и после запятой была единица, получаем:
Запишем теперь меньшее из рассматриваемых чисел (В) в следующем виде:
где n равно показателю нормализованного числа А.
Тогда получим следующее равенство:
Введем далее новое число (δ), которое равно
Из этого равенства следует, что
т. е. δ дополняет β до единицы. Поэтому δ называется дополнительным числом числа β.
Подставив значение β (ур. 2.11) в уравнение (2.10), получаем
Сравнивая уравнения (2.10) и (2.12), можно записать:
Таким образом, для того чтобы вычесть два числа, необходимо к уменьшаемому прибавить число, дополнительное к вычитаемому, и от полученного результата вычесть единицу. Благодаря этому вычитание двух чисел сводится к операции сложения.
Рассмотрим примеры вычитания двух чисел при помощи логических операций сложения (ур. 2.7).
Пример 1. А = 1000 (восемь), В = 101 (пять).
1. Нормализуем большее число:
2. Выравнивая порядок чисел А и В (n = 100), получаем:
3. Находим число, дополнительное к β:
Пример 2. А = 110 (шесть), В = 1011 (одиннадцать).
1. Нормализуем большее число:
2. Выравнивая порядок (n = 100) чисел А и В, получаем:
3. Находим число, дополнительное к β:
5. Вычитаем единицу:
Поскольку в результате вычитания получается отрицательное число, запишем его в следующем виде:
Как было показано выше, вычитание двух чисел, расположенных в круглой скобке, можно свести к операции сложения. Для этого необходимо к уменьшаемому (единице) прибавить число, дополнительное к вычитаемому (0,1011), и из полученного результата вычесть единицу.
6. Определяем число, дополнительное к 0,1011:
в) Умножение двоичных чисел
Умножение одноразрядных чисел выполняется в соответствии с правилами логического умножения (ур. 2.2). Как следует из этих правил, умножение одноразрядных чисел выполняется при помощи логического элемента «И».
Умножение R-разрядных чисел производится так же, как и в элементарной алгебре, и сводится к операциям сложения и сдвига.
Пример. Перемножить числа 101 (пять) и 1011 (одиннадцать).
Умножение выполняется следующим образом:
г) Деление двоичных чисел
Поскольку двоичные одноразрядные числа имеют только два значения (0 и 1), то правила их деления чрезвычайно просты:
Деление R-разрядных чисел выполняется так же, как и в элементарной алгебре, и сводится к операциям вычитания.
Пример. Разделить 110111 (пятьдесят пять) на 101 (пять).
Двоичная арифметика – примеры чисел
Операции сложения, вычитания, умножения и деления в двоичной системе – это двоичная арифметика. Некоторые примеры двоичной арифметики рассмотрены в данной статье.
Двоичная арифметика
Все арифметические действия, которые применимы к двоичным числам, выполняются аналогично как в десятичной системе. Удобнее всего двоичные числа складывать, вычитать, умножать и делить столбиком.
Числа записываются друг под другом с учетом разрядов. При необходимости производится перенос в старший разряд или заем из старшего разряда.
При сложении двоичных чисел следует помнить, что в числовом двоичном ряду после 1 идет 10. Это означает, что 1 + 1 = 10, а 11 + 1= 100.
Изучению двоичной системы много времени посвятил В. Лейбниц. По его просьбе была отчеканена медаль в честь двоичной системы, на которой отображались простейшие арифметические действия с двоичными числами.
Рис. 1. Медаль в честь двоичной системы счисления
Сложение
Вычисление суммы двоичных чисел производится следующим образом: числа записываются в столбик. Затем производится поразрядное суммирование цифр, начиная с младшего разряда, как в десятичной системе. Если сумма цифр текущего разряда превышает его размер, то происходит перенос единицы в старший разряд.
Правила сложения двоичных чисел:
Например, сумма двоичных чисел 1000111 + 110011 = 1111010