Как выполнять задачи на проценты

Задачи на проценты: 3 способа решения с примерами

Как решать задачи на проценты? Есть 3 способа, выбирай тот, который для тебя проще и понятнее.

Умение быстро и правильно решать задачи на проценты важно, как для успешной сдачи ЕГЭ, так и для повседневной жизни. И если в ЕГЭ вы можете встретить такую задачу в задании 11, то в повседневной жизни такие задачи повсюду.

Зарплату повысили на 15%, а потом оштрафовали на 10%, после этого из зарплаты удержали налог 13% — сколько же мы получим в конце месяца? Коммунальные услуги повысили на 15%, сколько они теперь будут стоить? При возврате ж/д билета вернут только 20% стоимости, какую сумму мы получим? Все это задачи на проценты, которые нам приходится решать каждый день.

Поэтому умение быстро и правильно решать задачи на проценты – это полезно.

Задачи на проценты: вся суть

Задачи на проценты, как правило, описывают жизненную ситуацию. В ней присутствует какая-то величина, которая увеличивается или уменьшается на сколько-то процентов. Таким образом, в задаче на проценты упоминается такие данные, как первоначальная величина, конечная величина и процент, на который эта величина изменилась. Чаще всего в задаче требуется найти либо первоначальную величину, либо конечную величину, реже – процент, на который эта величина изменилась.

Решение задач на проценты с помощью формулы простого процента

Формула, которой мы пользуемся при решении задач на проценты, называется формула простого процента:

Х_{конечное} – конечная величина

Х_{первоначальное} – первоначальная величина

k – процент, на который первоначальная величина изменилась

Из этой формулы всегда можно найти первоначальную величину или процент, на который происходит изменение.

Знак стоящий перед k зависит от того, увеличивается первоначальная величина или уменьшается. Так, если величина увеличивается на сколько-то процентов, то ставим знак плюс. Если уменьшается – минус.

Для наглядности приведем несколько простых примеров.

Задача 1

В городе проживало 30 000 человек. В результате строительства нового микрорайона количество жителей увеличилось на 6%. Сколько человек стало проживать в городе?

Решение: Очевидно, что в этой задаче нам известна первоначальная величина – 30 000 человек и процент, на который она увеличилась +6% Нужно найти конечную величину.

30 000 * ((100 + 6)/100) = х

Ответ: 31 800 человек

Задача 2

Сколько килограмм яблок нужно собрать, чтобы получить из них 5 килограмм сушеных яблок, если известно, что в свежих яблоках содержится 90% воды?

5 = х * ((100 – 90) / 100)

Задача 3

Холодильник стоимостью 20 000 рублей был продан спустя месяц за 22 000 рублей. На сколько процентов увеличилась стоимость холодильника?

Решение: В данной задаче нам известна первоначальная (20 000 рублей) и конечная величина (22 000 рублей), а найти нужно процент, на который данная величина изменилась.

22 000 = 20 000 * ((100 + х) / 100)

22 000 / 20 000 = 1 + х/100

Решение задач на проценты: метод пропорции

Еще один способ решения задач на проценты – это метод пропорции. Это наиболее простой способ решения таких задач.

Напомним, что пропорция – это равенство двух отношений:

Для нас важно основное свойство пропорции, которое заключается в том, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов. Проще запомнить, что мы можем перемножить члены пропорции крест-накрест:

При решении задач на проценты с помощью метода пропорции необходимо руководствоваться следующим правилом:

Далее записываем пропорцию:

Давайте решим приведенные выше примеры задач на проценты с помощью метода пропорции.

Задача 4

В городе проживало 30 000 человек. В результате строительства нового микрорайона количество жителей увеличилось на 6%. Сколько человек стало проживать в городе?

Решение: Итак, в городе проживало 30 000 человек и это всё его население, т.е. 100%. Так и запишем:

Далее население выросло на 6%, т.е. всё его население стало составлять 100% + 6% = 106% и нам неизвестно, сколько это человек, т.е. Х человек. Запишем:

Таким образом, получаем:

Составим пропорцию: Правую дробь пропорции можно сократить на 2, получим: Теперь воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим ее члены крест-накрест:

Далее обе части полученного уравнения мы можем разделить на 50, получим:

Ответ: 31 800 человек

Задача 5

Сколько килограмм яблок нужно собрать, чтобы получить из них 5 килограмм сушеных яблок, если известно, что в свежих яблоках содержится 90% воды?

Решение: Нам неизвестно первоначальное количество всех яблок (всё количество), т.е. это Х, которое составляет 100%. Количество сушеных яблок (часть от первоначального количества яблок) составляет 5 кг. Причем известно, что количество сушеных яблок на 90% меньше от первоначального количества яблок (т.к. 90% — это вода, которая из них испарилась). Следовательно, количество сушеных яблок составит 100% — 90% = 10%. Запишем наши рассуждения:

Запишем наши рассуждения: Сократим правую дробь на 10, получим:Воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим ее члены крест-накрест:

Задача 6

Холодильник стоимостью 20 000 рублей был продан спустя месяц за 22 000 рублей. На сколько процентов увеличилась стоимость холодильника?

Решение: Нам известно, что исходная цена – 20 000 рублей, следовательно, 20 000 рублей – это 100%. Тогда конечная цена 22 000 рублей – это неизвестное количество процентов, т.е. Х%. Так и запишем:

Теперь запишем пропорцию: Сократим левую дробь на 2 000, получим: Воспользуемся основным свойством пропорции, то есть перемножим ее члены крест-накрест:

В результате решения мы получили результат 110%, но он не является ответом! Ведь нам нужно найти, на сколько процентов изменилась стоимость холодильника. Чтобы это узнать, нужно из полученного числа процентов отнять 100%:

Решение задач на проценты методом коэффициентов

Можно назвать еще один метод решения задач на проценты, который является следствием из формулы простого процента. Так, формулу простого процента можно переписать следующим образом:

Таким образом, мы получили формулу для решения задач на проценты методом коэффициентов. Полученная формула удобна тем, что при достаточной практике простые задачи на проценты можно решать в уме, даже не задумываясь.

Например, яблоки стоили 150 рублей, затем они подорожали на 20%. Найдите новую стоимость яблок.

Применим полученную формулу и получим:

150 * 1,2 = 180 рублей

То есть мы интуитивно 20% превращаем в 0,2 прибавляем единицу, так как происходит увеличение на данное количество процентов, и умножаем на первоначальную стоимость.

Или другой пример. Зарплата работника составляла 25 000 рублей в месяц, в результате применения штрафа за опоздания зарплата сократилась на 10%. Найти сумму зарплаты, которую получит оштрафованный работник.

25 000 * 0,9 = 22 500 рублей

Опять же мы сразу понимаем, что 10% — это 0,1. Т.к. происходит уменьшение первоначальной величины на это количество процентов, то мы вычитаем из единицы этот процент и получаем 0,9. Затем умножаем полученное значение на первоначальную величину. Готово!

Давайте решим этим методом задачу про зарплату и налоги.

Задача 7

В России налог на доходы физических лиц составляет 13%. Зарплата Марии Ивановны после удержания налога на доходы составила 60 900 рублей. Найти сумму зарплаты Марии Ивановны до удержания налога.

Решение: Итак, 13% — это 0,13. Первоначальная зарплата уменьшилась на этот процент, значит, вычитаем из единицы и получаем 1 – 0,13 = 0,87. Подставляем в формулу:

Ответ: 70 000 рублей

Задача 8

В школе 1000 учеников, из них 20% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 30% изучают французский язык. Сколько учеников в школе изучают французский язык, если в начальной школе французский язык не изучают?

Решение: Для начала из общего количества учеников исключим тех, кто французский язык точно не изучает, т.е. учеников начальной школы. Ученики начальной школы – это 20%, т.е. 0,2, мы уменьшаем на этот процент, следовательно, вычитаем из единицы и получаем 1 – 0,2 = 0,8.

Из 800 полученных учеников французский язык изучают только 30%.

Обратите внимание, что здесь идет речь о проценте от числа. Т.е. мы не уменьшаем на 30% (в этом случае мы вычитаем значение процента в долях из единицы) и не увеличиваем на 30% (в этом случае мы прибавляем к значению процента в долях к единице), а берем 30% от заданного числа (в этом случае мы умножаем заданное число на значение процента в долях). Всегда внимательно читайте условия задачи!

В нашем случае нам нужно найти 30% от 800:

Это и есть ответ. 240 учеников изучают французский язык в школе.

Ответ: 240 учеников.

Задача 9

Разберем еще одну задачу на проценты, которая часто встречается на ЕГЭ и в которой легко можно допустить ошибку.

Задача: Зарплата рабочего составляла 30 000 рублей, затем зарплату повысили на 30%, а потом понизили на 30%. Какую зарплату стал получать рабочий?

Решение: быстро прочитав условие задачи, сходу хочется дать ответ – зарплата останется прежней, ее размер не изменился. Но это не так! Давайте разбираться.

Будем решать по формуле простого процента.

Первое событие – зарплату повысили на 30%. Следовательно, первоначальную сумму мы увеличиваем на 30%:Второе событие – зарплату понизили на 30%. Следовательно, нашу увеличенную зарплату мы теперь уменьшаем на 30%:Таким образом, рабочий теперь будет получать зарплату 27 300 рублей.

Данную задачу мы могли бы решить в одно действие, применяя формулу для вычисления сложного процента. Напомним ее:

S – это конечная сумма;

P – это первоначальная сумма;

n – количество периодов.

Т.к. 30% — это 0,3, то, применяя формулу для вычисления сложного процента к нашей задаче, мы получим:

30 000 * (1 + 0,3) 1 (1 – 0,3) 1 = 27 300 рублей

Результат получился тот же.

Ответ: 27 300 рублей

В этой статье были разобраны достаточно простые примеры задач на проценты, чтобы максимально доступно продемонстрировать методы решения задач на проценты. В профильном ЕГЭ с процентами вы можете столкнуться в задаче с экономическим содержанием по вкладам и кредитам. Такие задачи гораздо сложнее и подробное их решение вы можете посмотреть на нашем сайте.

Итак, надеюсь, что данная статья помогла вам понять, как решать задачи на проценты. Мы увидели, что задачи на проценты можно решать тремя способами – с помощью формулы простого процента, методом пропорции и методом коэффициентов. Выбирайте тот, который вам наиболее понятен, и которым вам решать такие задачи проще.

Источник

Задачи на проценты

Что такое процент? Откуда взялось это слово?

Как решать задачи на проценты?

Как решать экономическую задачу, связанную с расчетом процентов?

Чтобы с этим разобраться, давай сначала ответим на первый вопрос: «Что такое процент?»

Задачи на проценты — коротко о главном

Один процент любого числа – это одна сотая этого числа.

Допустим, нужно увеличить число \( \displaystyle x\) на \( \displaystyle p\%\).

\( \displaystyle p\%\) от числа \( \displaystyle x\) – это \( \displaystyle \frac

<100>\cdot x\).

Тогда, новое число будет равно: \( \displaystyle x+\frac

<100>\cdot x=x\left( 1+\frac

<100>\right)\).

Чтобы увеличить число на \( \displaystyle \mathbf

\%\), нужно умножить его на \( \displaystyle \left( 1+\frac

<100>\right)\).

Если число \( \displaystyle x\) надо уменьшить на \( \displaystyle p\%\), то:

\( \displaystyle p\%\) от \( \displaystyle x

Уменьшить число на какую-то величину – значит вычесть из него эту величину:

\( \displaystyle x-\frac

<100>\cdot x=x\left( 1-\frac

<100>\right)\).

Чтобы уменьшить число на \( \displaystyle p\%\), нужно умножить его на \( \displaystyle \left( 1-\frac

<100>\right)\).

Задачи на проценты — подробнее

Что такое процент? Откуда взялось это слово?

Все очень просто. Слово процент произошло от латинского per cent– на сотню, и означает оно «сотая доля» или «сотая часть».

То есть один процент любого числа – это одна сотая этого числа.

И все. Этого достаточно, чтобы решать задачи, в которых присутствует это противное слово «процент».

Например: чему равны \( \displaystyle 34\%\) от числа \( \displaystyle 120\)?

Прочтем это задание по-другому: чему равны \( \displaystyle 34\) сотых доли числа \( \displaystyle 120\)?

Элементарно, правда? Нужно разделить число \( \displaystyle 120\) на \( \displaystyle 100\) частей (чтобы узнать, чему равна одна сотая доля – один процент) и взять \( \displaystyle 34\) таких части:

\( \displaystyle \frac<120><100>\cdot 34=1,2\cdot 34=40,8\).

Сколько процентов содержится в числе?

Снова перефразируем вопрос, заменив слово «процент» на «сотую часть»: Сколько сотых частей находится в числе?

Ответ сразу становится очевидным: в любом числе или предмете находится ровно сто сотых частей (то есть, если разделить число или предмет на \( \displaystyle 100\) частей, сколько будет этих частей?

Очевидно же, что \( \displaystyle 100\)).

Разберем еще несколько примеров

Решения:

1. И снова избавимся от слова «процент». Получим такой вопрос:

Чему равны \( \displaystyle 125\) сотых числа \( \displaystyle 350\)?

\( \displaystyle \frac<125><100>\cdot 350=\text<1>\text<,25>\cdot 350=437,5\).

Может показаться странным, что у нас целых \( \displaystyle 125\%\) – ведь мы уже выяснили, что в числе всего \( \displaystyle 100\%\). Но с математической точки зрения ничего странного, ведь процент – это всего лишь одна сотая от числа.

Почему нельзя одну сотую числа взять \( \displaystyle 125\) раз? Можно, ведь по сути это – просто число.

2. Итак, \( \displaystyle \frac<30><100>\) от числа равны \( \displaystyle 90\). Можем составить простенькое уравнение:

\( \displaystyle \frac<30><100>\cdot x=90\text< >\Rightarrow \text< >x=300\).

Ты заметил, что я сразу же вместо \( \displaystyle 30\%\) написал \( \displaystyle \frac<30><100>\)? И правда, один процент – это одна сотая, а значит, \( \displaystyle 30\) процентов – это \( \displaystyle 30\) сотых. Ты можешь тоже так делать.

3. Обозначим искомое количество процентов буквой \( \displaystyle x\). Тогда \( \displaystyle x\%\) от числа \( \displaystyle 75\) равно \( \displaystyle 45\). Или, что то же самое, \( \displaystyle x\) сотых от числа \( \displaystyle 75\) равно \( \displaystyle 45\):

\( \displaystyle \frac<100>\cdot 75=45\text< >\Rightarrow \text< >x=\frac<45\cdot 100><75>=60\).

Ответ: \( \displaystyle 60\%\).

Проценты и десятичные дроби

В разобранных выше примерах мы убедились, что вместо знака процента % можно писать \( \displaystyle \frac<1><100>\), или просто разделить на \( \displaystyle 100\). То есть, \( \displaystyle 25\%\) – это то же самое, что \( \displaystyle \frac<25><100>\); \( \displaystyle 247\%\) – это \( \displaystyle \frac<247><100>\) и так далее. Но ведь любую из этих дробей можно записать компактнее: в виде десятичной дроби.

Например:

Значит, проценты можно записать в виде десятичной дроби.

Правило перевода такое: сколько бы ни было процентов, смещаем десятичную запятую на два знака влево и убираем значок % – и таким образом получаем обычное число. Данное правило будем теперь всегда применять сразу.

Например:

1. Чему равны \( \displaystyle 35\%\) от числа \( \displaystyle 60\)?

Вместо \( \displaystyle 35\%\) напишем что? \( \displaystyle 0,35\). Итак, \( \displaystyle 0,35\cdot 60=21\).

2. \( \displaystyle 48\%\) от какого числа равны \( \displaystyle 456\)?

\( \displaystyle 0,48x=456\text< >\Rightarrow \text< >x=\frac<456><0,48>=950\).

Изменение числа на сколько-то процентов

Когда говорят, что число увеличилось на \( \displaystyle x\), это значит, что к числу надо прибавить \( \displaystyle x\).

Если же число уменьшилось на \( \displaystyle x\), это значит, что из числа надо вычесть \( \displaystyle x\).

Рассмотрим пример:

Цена холодильника в магазине за год увеличилась на \( \displaystyle 5\%\). Какой стала цена, если изначально холодильник стоил \( \displaystyle 12500\)р?

Решение:

Для начала определим, на сколько рублей изменилась (в данном случае – увеличилась) стоимость холодильника. По условию – на \( \displaystyle 5\%\). Но \( \displaystyle 5\%\) от чего? Конечно же, от самой начальной стоимости холодильника (\( \displaystyle 12500\) р). Получается, что нам нужно найти \( \displaystyle 5\%\) от \( \displaystyle 12500\)р:

\( \displaystyle 0,05\cdot 12500=625\).

Теперь мы знаем, что цена увеличилась на \( \displaystyle 625\)р. Остается только, согласно правилу, прибавить к начальной стоимости величину изменения:

Новая цена \( \displaystyle=12500+625=13125\) рублей.

Ответ: \( \displaystyle 13125.\)

Еще пример (постарайся решить самостоятельно):

Книга «Математика для чайников» в магазине стоит \( \displaystyle 360\)р. Во время акции все книги продаются со скидкой \( \displaystyle 15\%.\). Сколько теперь придется заплатить за эту книгу?

Решение:

Что такое скидка, ты наверняка знаешь? Скидка в \( \displaystyle 15\%.\) означает, что стоимость товара уменьшили на \( \displaystyle 15\%.\).

На сколько уменьшилась стоимость книги (в рублях)? Нужно найти \( \displaystyle 15\%.\) от начальной ее стоимости в \( \displaystyle 360\)р:

\( \displaystyle 0,15\cdot 360=54\).

Цена уменьшилась, значит нужно из начальной стоимости вычесть то, на сколько она уменьшилась:

Новая цена \( \displaystyle=360-54=306\) рублей.

Ответ: \( \displaystyle 306\).

Правда ведь просто?

Но есть способ сделать это решение еще проще и короче!

Рассмотрим пример:

Увеличьте число \( \displaystyle x\) на \( \displaystyle 23\%\).

Чему равны \( \displaystyle 23\%\) от \( \displaystyle x\)? Как мы уже выяснили раньше, это будет \( \displaystyle 0,23x\).

Теперь увеличим само число x на эту величину:

Получается, что в результате мы к десятичной записи \( \displaystyle 23\%\) прибавили \( \displaystyle 1\) и умножили на число \( \displaystyle x\). Обобщим это правило:

Пусть нам нужно увеличить число \( \displaystyle x\) на \( \displaystyle p\%\).

\( \displaystyle p\%\) от числа \( \displaystyle x\) – это \( \displaystyle \frac

<100>\cdot x\).

Тогда новое число будет равно: \( \displaystyle x+\frac

<100>\cdot x=x\left( 1+\frac

<100>\right)\).

Чтобы увеличить число на \( \displaystyle p\%\), нужно умножить его на \( \displaystyle \left( 1+\frac

<100>\right)\).

Например, увеличим число \( \displaystyle 136\) на \( \displaystyle 28\%\):

\( \displaystyle 136\cdot \left( 1+0,28 \right)=136\cdot 1,28=\text<174>\text<,08>\).

А теперь попробуй сам

Решения:

1. \( \displaystyle 340\cdot \left( 1+0,2 \right)=340\cdot 1,2=408\)

2. \( \displaystyle 140\cdot \left( 1+2,1 \right)=140\cdot 3,1=434\)

3. Пусть искомое количество процентов равно \( \displaystyle x\). Это значит, что если число \( \displaystyle 450\) увеличить на \( \displaystyle x\%\), получится \( \displaystyle 540\):

\( \displaystyle 450\left( 1+\frac <100>\right)=540\text< >\Rightarrow \text< >1+\frac<100>=\frac<540><450>\text< >\Rightarrow \text< >\frac<100>=\frac<6><5>-1=0,2\text< >\Rightarrow \text< >x=20\)

Ответ: на \( \displaystyle 20\%\).

Если число x надо уменьшить на \( \displaystyle p\%\), все аналогично:

\( \displaystyle p\%\) от \( \displaystyle x

Уменьшить число на какую-то величину – значит вычесть из него эту величину:

\( \displaystyle x-\frac

<100>\cdot x=x\left( 1-\frac

<100>\right)\).

Чтобы уменьшить число на \( \displaystyle p\%\), нужно умножить его на \( \displaystyle \left( 1-\frac

<100>\right)\).

Примеры:

Решения:

1. \( \displaystyle 230\cdot \left( 1-0,18 \right)=230\cdot 0,82=188,6\).

2. Число \( \displaystyle 150\) уменьшили на x процентов и получили \( \displaystyle 135\):

\( \displaystyle 150\left( 1-\frac <100>\right)=135\text< >\Rightarrow \text< >1-\frac<100>=\frac<135><150>\text< >\Rightarrow \text< >\frac<100>=1-\frac<135><150>=0,1\text< >\Rightarrow \text< >x=10\).

Ответ: на \( \displaystyle 10\%\).

3. Пусть цена без скидки равна \( \displaystyle x\). Получается, что x уменьшили на \( \displaystyle 20\%\) и получили \( \displaystyle 1000\):

\( \displaystyle x\left( 1-0,2 \right)=1000\text< >\Rightarrow \text< >x\cdot 0,8=1000\text< >\Rightarrow \text< >x=\frac<1000><0,8>=1250\) (рублей).

Ответ: \( \displaystyle 1250\).

Напоследок рассмотрим еще один тип задач, частенько вызывающих недоумение:

Число \( \displaystyle a\) больше числа \( \displaystyle b\) на \( \displaystyle 25\%\). На сколько процентов число \( \displaystyle b\) меньше числа \( \displaystyle a\)?

Что за странный вопрос: конечно же на \( \displaystyle 25\%\)! Правильно?

А вот и нет. Если, например, масса одного шкафа на 25 кг больше массы другого, то, без сомнения, масса второго шкафа на 25 кг меньше массы первого.

Но с процентами так не прокатит!

Ведь в первом случае, когда говорим, что число \( \displaystyle a\) на \( \displaystyle 25\%\) больше числа \( \displaystyle b\), мы считаем \( \displaystyle 25\%\) от числа \( \displaystyle b\); а во втором случае, когда говорим, что число \( \displaystyle b\) на \( \displaystyle 25\%\) меньше числа \( \displaystyle a\), мы считаем \( \displaystyle 25\%\) от числа \( \displaystyle a\). А поскольку числа \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) разные, то и \( \displaystyle 25\%\) от этих чисел будут разными!

Чтобы решить эту задачу верно, давай запишем условие в виде уравнения:

Число \( \displaystyle a\) больше числа \( \displaystyle b\) на \( \displaystyle 25\%\). Это значит, что если число \( \displaystyle b\) увеличить на \( \displaystyle 25\%\), получим число \( \displaystyle a\):

\( \displaystyle b\left( 1+0,25 \right)=a\text< >\Rightarrow \text< >1,25b=a\). (1)

Теперь в таком ж виде запишем вопрос: если число a уменьшить на \( \displaystyle x\) процентов, получим число \( \displaystyle b\):

\( \displaystyle a\left( 1-\frac <100>\right)=b\). (2)

Выразим число \( \displaystyle b\) из равенства (1):

\( \displaystyle 1,25b=a\text< >\Rightarrow \text< >b=\frac<1,25>=0,8a\)

\( \displaystyle a\left( 1-\frac <100>\right)=0,8a\).

Отсюда следует, что:

\( \displaystyle \left( 1-\frac <100>\right)=0,8\text< >\Rightarrow \text< >\frac<100>=0,2\text< >\Rightarrow \text< >x=20\) (%).

Итак, получаем, что число \( \displaystyle b\) на \( \displaystyle \mathbf<20>\%\) меньше числа \( \displaystyle a\)!

Подобные задачи часто попадаются в ЕГЭ. Давай разберем одну из них

В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на \( \displaystyle \mathbf<25>\%\) дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение:

Пусть цена акции в понедельник была равна \( \displaystyle P\), а искомое количество процентов, записанное в виде десятичной дроби (то есть, уже поделенное на \( \displaystyle 100\)), равно \( \displaystyle x\).

Запишем формулой, чему равна стоимость акции после подорожания:

\( \displaystyle <

_<1>>=P\left( 1+x \right)\).

Далее, эту новую стоимость \( \displaystyle <

_<1>>\) уменьшили на \( \displaystyle x\) процентов:

\( \displaystyle <

_<2>>=<

_<1>>\left( 1-x \right)=P\left( 1+x \right)\left( 1-x \right)=P\left( 1-<^<2>> \right)\).

При этом известно, что эта конечная цена \( \displaystyle <

_<2>>\) на \( \displaystyle \mathbf<25>\%\) меньше начальной цены \( \displaystyle

\). То есть, если уменьшить \( \displaystyle

\) на \( \displaystyle \mathbf<25>\%\), получим \( \displaystyle <

_<2>>\):

\( \displaystyle P\left( 1-0,25 \right)=<

_<2>>\text< >\Rightarrow \text< >0,75P=<

_<2>>\)

Подставим \( \displaystyle <

_<2>>\), выраженное ранее:

\( \displaystyle 0,75P=P\left( 1-<^<2>> \right)\text< >\Rightarrow \text< >0,75=1-<^<2>>\text< >\Rightarrow \text< ><^<2>>=0,25\text< >\Rightarrow \text< >x=\pm 0,5\).

Согласно здравому смыслу подходит только положительное решение:

Вспомним теперь, что это пока только десятичная запись искомого количества процентов, то есть это количество процентов, деленное на \( \displaystyle 100\). Чтобы перевести в проценты, нужно домножить на 100%:

Где мы используем проценты в жизни?

Чаще всего мы их видим в банковских продуктах: вкладах, кредитах и т.д.

Если ты хорошо понимаешь, что такое проценты, и умеешь решать уравнения, то ты без труда расчитаешь, например, размер ежемесячного платежа по кредиту или сколько придётся переплатить, взяв ипотеку.

Подведем итоги:

Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №11. Задачи на проценты, растворы, смеси и сплавы

В этом видео мы научимся решать текстовые задачи на проценты, а так же на растворы, смеси и сплавы – на все, что содержит разные вещества в каком-то соотношении.

Задачи на смеси и сплавы очень часто попадаются на ОГЭ (№23) и профильном ЕГЭ (под номером 12).

Мы научимся очень простому способу сводить эти задачи к обычному линейному уравнению или к системе из двух таких уравнений.

Также мы научимся решать сложные задачи на проценты – в основном они на банковские вклады и кредиты и прочие финансовые штуки.

Это, в том числе, даст нам очень большой задел для “ экономической” задачи №17 (которая стоит аж 3 первичных балла).

ЕГЭ №17 Экономическая задача. Вклады

Экономические задачи в основном довольно простые, но дают аж 3 первичных балла!

Но это не совсем 3 балла нахаляву. Эти задачи требуют очень подробного и чёткого описания решения.

По сути, мы составляем математическую модель какой-то жизненной ситуации (например, связанной с банковскими вкладами или кредитами), и важно научиться ничего не пропускать при описании этой модели: описывать словами все введённые обозначения, обосновывать уравнения, которые мы записываем, и всё в таком духе.

Если не написать эти объяснения, вы гарантированно получите 0 баллов даже за правильно найденный ответ!

На этом уроке мы узнаем, как работают вклады, научимся решать и, главное, правильно оформлять решение таких задач.

Источник