Как выразить экспоненту через логарифм
Логарифм и экспонента
Электронная версия книги является свободно распространяемой и доступна по адресу ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/logarithms.zip
6. Площадь под гиперболой
Вернемся к нашему закону движения. Мы теперь умеем вычислять T(1; 2) (время движения от точки 1 до точки 2) с любой заданной точностью при помощи неравенства
Сейчас мы выясним геометрический смысл величины T(1; 2). Оказывается, что она равна площади под графиком гиперболы между вертикалями x = 1 и x = 2 (серая область на рис.).
Площадь серой области равна T(1;2)
Так что можно даже найти T(1; 2) с помощью взвешивания: надо нарисовать на однородной фанерке график гиперболы затем выпилить участок между x = 1 и x = 2, как на рисунке, а потом взвесить (и поделить на вес квадрата 1×1 в том же масштабе).
Будем обозначать площадь под гиперболой между вертикалями x = a и x = b через S(a; b). Оказывается, что
при любых a и b. Как и раньше, для начала мы рассмотрим случай a = 1, b = 2.
Вспомним, что мы начинали с неравенства
Как доказать для S аналогичное неравенство
глядя на наш рисунок? Совсем просто: надо заметить, что интересующая нас область (как говорят, «криволинейная трапеция») целиком помещается в квадрате 1 x 1 и содержит внутри себя прямоугольник ширины 1 и высоты .
Как мы получали более точные оценки для времени? Делили отрезок на части. Здесь можно поступить точно так же и сравнить криволинейную трапецию с двумя ступенчатыми фигурами.
Надо только найти площади этих фигур.
Ширина каждого из прямоугольников, их составляющих, равна . Высоты прямоугольников равны
(поскольку при
значение
равно
). В итоге получаем нижнюю оценку:
Ровно такие же оценки были для T(1; 2), и это не случайно.
Вспомним, как мы оценивали время движения от точки u до точки v, большей u. Длина отрезка равна v – u. Скорость растет от u до v. Поэтому
Аналогичная оценка для S(u; v) заключает криволинейную трапецию между двумя прямоугольниками:
Ширины этих прямоугольников одинаковы и равны v – u, а высоты равны (для большего) и
(для меньшего). Поэтому для S(u; v) получаем оценку:
Поэтому все наши оценки для T годятся и для S. В частности, для S(1; 2) получаем оценку:
заключающую число S(1; 2) в тот же промежуток длины , что и T(1; 2). Поэтому разница между S(1; 2) и T(1; 2) меньше
при всех n. Вспоминая наши рассуждения про аксиому Архимеда, заключаем, что S(1; 2) = T(1; 2). Аналогичное рассуждение показывает, что S(a; b) = T(a; b) при любых a и b, как мы и обещали.
7. Свойства площади под гиперболой
Докажем два важных свойства площади под гиперболой.
Отступление о логарифмах
Вообще-то в школе определяют логарифм по какому-то основанию. Логарифм по основанию c обозначается logc и определяется по формуле
Мнемоническое правило: сначала два и семь, потом дважды год рождения Льва Толстого (1828), а затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника.
Но если вы про логарифмы ничего не знаете, тоже не страшно — считайте сказанное нами определение натурального логарифма и спите спокойно. (Конец отступления.)
Как выразить S(a; b) через логарифмы? Это можно сделать двумя способами.
Пусть 1 2 = ln (a a) = ln a + ln a = 2ln a,
ln a 3 = ln (a 2 a) = ln a 2 + ln a = 2ln a + ln a = 3ln a
Отступление: логарифмы чисел, меньших единицы
Естественно положить S(a; a) равным нулю (криволинейная трапеция вырождается в отрезок). Но как определить S(a; b) при b ≤ b ≤ c, a ≤ c ≤ b, b ≤ a ≤ c,
b ≤ c ≤ a, c ≤ a ≤ b и c ≤ b ≤ a,
и все их надо разобрать.)
В частности, при таком определении S(a; b) получаем, что ln 1 = S(1; 1) = 0. А при 0 n = nln e = n, так что наше определение натурального логарифма согласуется со школьным определением логарифма по основанию e.
Докажем сформулированную теорему. Для этого рассмотрим значение , то есть площадь криволинейной трапеции ширины
(от x = 1 до
), показанной на рисунке.
Эта трапеция заключена между прямоугольниками, ширина которых , а высота равна 1 для большего и
для меньшего.
Их площади равны (больший) и
(меньший), так что
Умножим первое неравенство на n и получим:
Но по свойству логарифма степени левую часть можно записать как
И это меньше единицы, значит, число
не доходит до e (раз площадь до него меньше единицы). Аналогичным образом второе неравенство после умножения на n + 1 дает
не меньше e, что и требовалось доказать.
В заключение приведем еще несколько формул, которые доказываются в курсах математического анализа:
где n! = 1 2
3
.
n, а бесконечная сумма понимается так: с ростом количества слагаемых в правой части погрешность формулы становится сколь угодно малой:
для логарифма есть формула
справедливая при | x | < 1; при x = 1 эта формула тоже верна:
Последнюю формулу несложно доказать, исходя из равенства
и принятого нами определения логарифма как площади.
Натуральный логарифм, функция ln x
Определение
Исходя из определения, основанием натурального логарифма является число е:
е ≅ 2,718281828459045. ;
.
График натурального логарифма ln x
При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( – ∞ ).
При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.
Свойства натурального логарифма
Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание
Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.
Область определения | 0 |
Область значений | – ∞ |
Монотонность | монотонно возрастает |
Нули, y = 0 | x = 1 |
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | нет |
+ ∞ | |
– ∞ |
Значения ln x
Основные формулы натуральных логарифмов
Формулы, вытекающие из определения обратной функции:
Основное свойство логарифмов и его следствия
Формула замены основания
Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:
Доказательства этих формул представлены в разделе «Логарифм».
Обратная функция
Обратной для натурального логарифма является экспонента.
Производная ln x
Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
Выражения через комплексные числа
Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.
Разложение в степенной ряд
При имеет место разложение:
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции
Содержание:
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:
математическом анализе и в прикладных задачах число е играет заметную роль. В частности, оно служит основанием показательной функции ех (иногда пишут expo:), называемой экспоненциальной (или просто экспонентов), и обратной к ней логарифмической функции lnx = logcx, графики которых приведены на рис. 7.13. Там же дан график функции е
Логарифмы с основанием е называют натуральными
Для них основное логарифмическое тождество имеет вид Функция Ins обладает всеми свойствами логарифмической функции с основанием, большим единицы. Справедливы известные формулы перехода от одного основания к другому, в частности Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции Таким образом, ex и Ins являются частными случаями (при основании а = е) основных элементарных функций: показательной ах и логарифмической logas. Пример 7.14.
Пусть перед началом работы ракетного двигателя ракета имеет массу то и скорость vo. Процесс работы двигателя условно разделим на большое число п € N этапов (рис. 7.14). На первом этапе со скоростью w относительно ракеты отбрасывается некоторая масса Ami продуктов сгорания топлива. В результате, согласно закону сохранения количества движения (без учета влияния атмосферы и поля тяготения) Рис. 7.13 возникает приращение скорости ракеты где mi = mo — Ami — масса ракеты после первого этапа работы двигателя.
Это означает, что х = nw/(vK — vo) оо. Переходя в (7.45) к пределу при х оо, с учетом (7.38) получим После логарифмирования по основанию е придем к известной формуле Циолковского Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции для идеальной скорости ракеты, движущейся в пустоте вне поля тяготения.
Отношение то/тк — число Циолковского — характеризует совершенство конструкции ракеты.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
С ее увеличением также растет конечная скорость ракеты, причем прямо пропорционально. Рассмотренный путь вывода (7.46), опирающийся на второй замечательный предел, принадлежит одному из пионеров теоретической космонавтики Ю.В. Кондратюку (1897-1941). В работах К.Э. Циолковского (1857-1935) соотношение (7.46) получено с использованием мощного аппарата дифференциального и интегрального исчисления.
С экспоненциальной функцией тесно связаны гиперболические синус, косинус, тангенс и котангенс: Они являются элементарными функциями, поскольку получены из основной элементарной функции ех путем суперпозиции (е»х) и алгебраических операций. Отметим, что chx — четная, a shх, thz, cthx — нечетные функции (рис. 7.15). Аналогом известной формулы cos2 х + sin2 х = 1 для гиперболических функций является формула Как и тригонометрические функции, каждая из гиперболических имеет обратную функцию. Рис. 7.15
Вопросы и задачи 7.1. |
Записать в символической форме определения для случаев
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции
Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции
Функция с большой базой Unit. так себе Знаменитая формула перехода Другая основа частности х В * Рисунок 7.13 LGE \ nx = lnl0 Так что ex и lnx — это особые случаи Основные основные функции (на основе a = e): Экспоненциальный ну и логарифмический логаз. Пример 7.14. Давайте сделаем это прежде, чем мы начнем рабочую ракету Ракета Ракета Масса и Скорость f Двигатели ботов традиционно делятся на большие весы Количество n 6 N ступеней (рисунок 7.14).
В первом Ступень со скоростью w против ракеты Многие продукты Ами были выброшены Сгорание топлива. Людмила Фирмаль
х) и алгебраические операции.
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Натуральный логарифм и число е
Вы будете перенаправлены на Автор24
Трансцендентным называется число, которое не является корнем полинома с целыми коэффициентами.
Последней формулой описывается второй замечательный предел.
Число е также носит название числа Эйлера, а иногда и числа Непера.
Натуральный логарифм
Готовые работы на аналогичную тему
Свойства натурального логарифма
Натуральный логарифм произведения двух чисел равен сумме натуральных логарифмов от этих чисел:
Натуральный логарифм частного двух чисел равен разнице натуральных логарифмов этих чисел:
Натуральный логарифм степени числа может быть представлен в виде произведения показателя степени на натуральный логарифм подлогарифмического числа:
Применим к первому логарифму в числителе и в знаменателе свойство логарифма произведения, а ко второму логарифму числителя и знаменателя – свойство логарифма степени:
Применим формулу суммы логарифмов:
$\ln 2e^2+\ln \frac<1><2e>=\ln 2e^2 \cdot \frac<1><2e>=\ln e=1$.
Применим свойство логарифма степени:
$2 \lg 0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^<-1>+3 \cdot 5 \ln e=-2 \lg 10+15 \ln e=-2+15=13$.
Применим свойство логарифма степени:
$\ln \frac<1><8>-3 \ln 4=\ln 2^<-3>-3 \ln 2^2=-3 \ln2-3 \cdot 2 \ln 2=-9 \ln 2$.
Применим свойство логарифма частного:
во втором логарифме подлогарифмическое выражение запишем как число в степени:
применим свойство логарифма степени к первому и второму логарифму:
Применим к обоим логарифмам свойство логарифма степени:
$3 \ln \frac<9>
применим к первому логарифму свойство логарифма частного:
откроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$=6 \ln 3-6 \ln e-6 \ln 3=-6$.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 21 07 2021