Как выразить экспоненту через логарифм

Логарифм и экспонента

Электронная версия книги является свободно распространяемой и доступна по адресу ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/logarithms.zip

6. Площадь под гиперболой

Вернемся к нашему закону движения. Мы теперь умеем вычислять T(1; 2) (время движения от точки 1 до точки 2) с любой заданной точностью при помощи неравенства

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Сейчас мы выясним геометрический смысл величины T(1; 2). Оказывается, что она равна площади под графиком гиперболы между вертикалями x = 1 и x = 2 (серая область на рис.).

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм
Площадь серой области равна T(1;2)

Так что можно даже найти T(1; 2) с помощью взвешивания: надо нарисовать на однородной фанерке график гиперболы Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифмзатем выпилить участок между x = 1 и x = 2, как на рисунке, а потом взвесить (и поделить на вес квадрата 1×1 в том же масштабе).

Будем обозначать площадь под гиперболой между вертикалями x = a и x = b через S(a; b). Оказывается, что

при любых a и b. Как и раньше, для начала мы рассмотрим случай a = 1, b = 2.

Вспомним, что мы начинали с неравенства

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Как доказать для S аналогичное неравенство

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

глядя на наш рисунок? Совсем просто: надо заметить, что интересующая нас область (как говорят, «криволинейная трапеция») целиком помещается в квадрате 1 x 1 и содержит внутри себя прямоугольник ширины 1 и высоты Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм.

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Как мы получали более точные оценки для времени? Делили отрезок на части. Здесь можно поступить точно так же и сравнить криволинейную трапецию с двумя ступенчатыми фигурами.

Надо только найти площади этих фигур.

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Ширина каждого из прямоугольников, их составляющих, равна Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм. Высоты прямоугольников равны Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм(поскольку при Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифмзначение Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифмравно Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм). В итоге получаем нижнюю оценку:

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Ровно такие же оценки были для T(1; 2), и это не случайно.

Вспомним, как мы оценивали время движения от точки u до точки v, большей u. Длина отрезка равна vu. Скорость растет от u до v. Поэтому

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Аналогичная оценка для S(u; v) заключает криволинейную трапецию между двумя прямоугольниками:

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Ширины этих прямоугольников одинаковы и равны vu, а высоты равны Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм(для большего) и Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм(для меньшего). Поэтому для S(u; v) получаем оценку:

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Поэтому все наши оценки для T годятся и для S. В частности, для S(1; 2) получаем оценку:

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

заключающую число S(1; 2) в тот же промежуток длины Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм, что и T(1; 2). Поэтому разница между S(1; 2) и T(1; 2) меньше Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифмпри всех n. Вспоминая наши рассуждения про аксиому Архимеда, заключаем, что S(1; 2) = T(1; 2). Аналогичное рассуждение показывает, что S(a; b) = T(a; b) при любых a и b, как мы и обещали.

7. Свойства площади под гиперболой

Докажем два важных свойства площади под гиперболой.

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Отступление о логарифмах

Вообще-то в школе определяют логарифм по какому-то основанию. Логарифм по основанию c обозначается logc и определяется по формуле

Мнемоническое правило: сначала два и семь, потом дважды год рождения Льва Толстого (1828), а затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

Но если вы про логарифмы ничего не знаете, тоже не страшно — считайте сказанное нами определение натурального логарифма и спите спокойно. (Конец отступления.)

Как выразить S(a; b) через логарифмы? Это можно сделать двумя способами.
Пусть 1 2 = ln (a Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифмa) = ln a + ln a = 2ln a,

ln a 3 = ln (a 2 Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифмa) = ln a 2 + ln a = 2ln a + ln a = 3ln a

Отступление: логарифмы чисел, меньших единицы

Естественно положить S(a; a) равным нулю (криволинейная трапеция вырождается в отрезок). Но как определить S(a; b) при bbc, acb, bac,
bca, cab и cba,

и все их надо разобрать.)

В частности, при таком определении S(a; b) получаем, что ln 1 = S(1; 1) = 0. А при 0 n = nln e = n, так что наше определение натурального логарифма согласуется со школьным определением логарифма по основанию e.

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Докажем сформулированную теорему. Для этого рассмотрим значение Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм, то есть площадь криволинейной трапеции ширины Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм(от x = 1 до Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм), показанной на рисунке.

Эта трапеция заключена между прямоугольниками, ширина которых Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм, а высота равна 1 для большего иКак выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм для меньшего.

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Их площади равны Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм (больший) и Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм (меньший), так что

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Умножим первое неравенство на n и получим:

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Но по свойству логарифма степени левую часть можно записать как

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

И это меньше единицы, значит, число

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

не доходит до e (раз площадь до него меньше единицы). Аналогичным образом второе неравенство после умножения на n + 1 дает

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

не меньше e, что и требовалось доказать.

В заключение приведем еще несколько формул, которые доказываются в курсах математического анализа:

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

где n! = 1 Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм2 Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм3 Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм. Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифмn, а бесконечная сумма понимается так: с ростом количества слагаемых в правой части погрешность формулы становится сколь угодно малой:

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

для логарифма есть формула

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

справедливая при | x | < 1; при x = 1 эта формула тоже верна:

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Последнюю формулу несложно доказать, исходя из равенства

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

и принятого нами определения логарифма как площади.

Источник

Натуральный логарифм, функция ln x

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Определение

Исходя из определения, основанием натурального логарифма является число е:
е ≅ 2,718281828459045. ;
.

График натурального логарифма ln x

При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( – ∞ ).

При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.

Свойства натурального логарифма

Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.

Область определения0
Область значений– ∞
Монотонностьмонотонно возрастает
Нули, y = 0x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0нет
+ ∞
– ∞

Значения ln x

Основные формулы натуральных логарифмов

Формулы, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:

Доказательства этих формул представлены в разделе «Логарифм».

Обратная функция

Обратной для натурального логарифма является экспонента.

Производная ln x

Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Выражения через комплексные числа

Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Источник

Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции

Содержание:

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

математическом анализе и в прикладных задачах число е играет заметную роль. В частности, оно служит основанием показательной функции ех (иногда пишут expo:), называемой экспоненциальной (или просто экспонентов), и обратной к ней логарифмической функции lnx = logcx, графики которых приведены на рис. 7.13. Там же дан график функции е

Логарифмы с основанием е называют натуральными

Для них основное логарифмическое тождество имеет вид Функция Ins обладает всеми свойствами логарифмической функции с основанием, большим единицы. Справедливы известные формулы перехода от одного основания к другому, в частности Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции Таким образом, ex и Ins являются частными случаями (при основании а = е) основных элементарных функций: показательной ах и логарифмической logas. Пример 7.14.

Пусть перед началом работы ракетного двигателя ракета имеет массу то и скорость vo. Процесс работы двигателя условно разделим на большое число п € N этапов (рис. 7.14). На первом этапе со скоростью w относительно ракеты отбрасывается некоторая масса Ami продуктов сгорания топлива. В результате, согласно закону сохранения количества движения (без учета влияния атмосферы и поля тяготения) Рис. 7.13 возникает приращение скорости ракеты где mi = mo — Ami — масса ракеты после первого этапа работы двигателя.

Это означает, что х = nw/(vK — vo) оо. Переходя в (7.45) к пределу при х оо, с учетом (7.38) получим После логарифмирования по основанию е придем к известной формуле Циолковского Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции для идеальной скорости ракеты, движущейся в пустоте вне поля тяготения.

Отношение то/тк — число Циолковского — характеризует совершенство конструкции ракеты.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

С ее увеличением также растет конечная скорость ракеты, причем прямо пропорционально. Рассмотренный путь вывода (7.46), опирающийся на второй замечательный предел, принадлежит одному из пионеров теоретической космонавтики Ю.В. Кондратюку (1897-1941). В работах К.Э. Циолковского (1857-1935) соотношение (7.46) получено с использованием мощного аппарата дифференциального и интегрального исчисления.

С экспоненциальной функцией тесно связаны гиперболические синус, косинус, тангенс и котангенс: Они являются элементарными функциями, поскольку получены из основной элементарной функции ех путем суперпозиции (е»х) и алгебраических операций. Отметим, что chx — четная, a shх, thz, cthx — нечетные функции (рис. 7.15). Аналогом известной формулы cos2 х + sin2 х = 1 для гиперболических функций является формула Как и тригонометрические функции, каждая из гиперболических имеет обратную функцию. Рис. 7.15

Вопросы и задачи 7.1.

Записать в символической форме определения для случаев

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции

Функция с большой базой Unit. так себе Знаменитая формула перехода Другая основа частности х В * Рисунок 7.13 LGE \ nx = lnl0 Так что ex и lnx — это особые случаи Основные основные функции (на основе a = e): Экспоненциальный ну и логарифмический логаз. Пример 7.14. Давайте сделаем это прежде, чем мы начнем рабочую ракету Ракета Ракета Масса и Скорость f Двигатели ботов традиционно делятся на большие весы Количество n 6 N ступеней (рисунок 7.14).

В первом Ступень со скоростью w против ракеты Многие продукты Ами были выброшены Сгорание топлива. Людмила Фирмаль

х) и алгебраические операции.

Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть фото Как выразить экспоненту через логарифм. Смотреть картинку Как выразить экспоненту через логарифм. Картинка про Как выразить экспоненту через логарифм. Фото Как выразить экспоненту через логарифм

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Натуральный логарифм и число е

Вы будете перенаправлены на Автор24

Трансцендентным называется число, которое не является корнем полинома с целыми коэффициентами.

Последней формулой описывается второй замечательный предел.

Число е также носит название числа Эйлера, а иногда и числа Непера.

Натуральный логарифм

Готовые работы на аналогичную тему

Свойства натурального логарифма

Натуральный логарифм произведения двух чисел равен сумме натуральных логарифмов от этих чисел:

Натуральный логарифм частного двух чисел равен разнице натуральных логарифмов этих чисел:

Натуральный логарифм степени числа может быть представлен в виде произведения показателя степени на натуральный логарифм подлогарифмического числа:

Применим к первому логарифму в числителе и в знаменателе свойство логарифма произведения, а ко второму логарифму числителя и знаменателя – свойство логарифма степени:

Применим формулу суммы логарифмов:

$\ln 2e^2+\ln \frac<1><2e>=\ln 2e^2 \cdot \frac<1><2e>=\ln ⁡e=1$.

Применим свойство логарифма степени:

$2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^<-1>+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+15=13$.

Применим свойство логарифма степени:

$\ln \frac<1><8>-3 \ln ⁡4=\ln 2^<-3>-3 \ln 2^2=-3 \ln⁡2-3 \cdot 2 \ln ⁡2=-9 \ln ⁡2$.

Применим свойство логарифма частного:

во втором логарифме подлогарифмическое выражение запишем как число в степени:

применим свойство логарифма степени к первому и второму логарифму:

Применим к обоим логарифмам свойство логарифма степени:

$3 \ln \frac<9>-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac<3>)^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \frac<3>-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac<3>-6 \ln ⁡3=$

применим к первому логарифму свойство логарифма частного:

откроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 21 07 2021

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *