Как вывести формулу понижения степени

Формулы понижения степени тригонометрических функций

Понижение степени в тригонометрии

Формулы понижения степени позволяют выразить тригонометрическую функцию n-ной степени через синус и косинус первой степени кратного значению n угла.

Применяемые формулы, доказательства

Формулы понижения степени выводятся из формул двойных, тройных и т.д. углов, которые в свою очередь являются следствием формул сложения и вычитания аргументов (метод заключается в представлении данных тождеств в виде суммы двух равных углов).

Формула понижения степени синуса и косинуса

Общий вид формул понижения степени для синуса и косинуса отличается для четных и нечетных степеней. Для четных (n = 2, 4, 6, …) они выглядят следующим образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Для нечетных степеней (n = 3, 5, 7, …) в общем виде формулы записываются так:

На практике чаще всего используются формулы для второй степени, немного реже — для третьей и четвертой. Выглядят они так:

Понижение степени тангенса и котангенса

Формулы понижения степени для тангенса и котангенса выводятся исходя из определения этих тригонометрических функций. Тангенс — частное при делении синуса на косинус, котангенс — наоборот. Готовые формулы имеют следующий вид:

Понижать можно любую степень, но с ее увеличением будет расти уровень сложности выражений, получаемых в результате этого действия.

Формулы половинного угла

Несмотря на то, что данные выражения абсолютно самостоятельны и выделяются в отдельный блок, при определенной записи их также можно отнести к формулам понижения степени.

Вывод формул понижения степени

Рассмотрим доказательства тождеств для синуса и косинуса второй степени. Для вывода потребуются формулы двойного угла:

Чтобы получить значение косинуса во второй степени, переносим \(2\cos^2\left(\alpha\right)\) в левую часть, \(\cos\left(2\alpha\right)\) — в правую, и избавляемся от минуса. Получаем:

Делим обе части уравнения на 2. В итоге остается готовая формула понижения степени для косинуса:

Для синуса алгоритм действий точно такой же. \(2\sin^2\left(\alpha\right)\) переносится в левую часть уравнения, \(\cos\left(2\alpha\right)\) — в правую. Делим получившееся тождество \(2\sin^2\left(\alpha\right)=1-\cos\left(2\alpha\right)\) на 2 и в результате остается формула понижения степени для синуса:

Как выполняется, примеры задач с решением

Формулы понижения степени находят свое применение в тригонометрии, при решении дифференциальных уравнений и вычислении интегралов. Рассмотрим несколько примеров их использования:

Пример 1. Вычислить значение \(2\cdot\sin^2\left(\frac\pi4\right)\)

Пример 2. Вычислить значение интеграла \(\int2\cos^2\left(x\right)d2x\)

Для того, чтобы привести к одному виду значения переменных в косинусе и дифференциале, воспользуемся формулой понижения степени:

Так как выражение под знаком интеграла является многочленом, проинтегрируем каждую его часть по очереди:

Источник

Общие сведения

Развитие геометрии привело к появлению отдельного раздела в математике, названного тригонометрией. Она занимается функциями угла. Для описания величин используется шесть основных понятий:

Связь между этими величинами устанавливается на основе различных формул. Существуют таблицы, в которых приводятся правила сложения, вычитания, произведения, нахождения половинного и тройного угла. Наряду с ними всегда указываются и формулы понижения степени тригонометрических функций.

Эти теоремы и правила нужно запомнить. Тогда решение задач любой сложности, связанных с тригонометрией, не доставит проблем.

Преобразование степеней тесно связано с понятием кратности угла. Дело в том, что при понижении степени функции величина угла увеличивается. Если угол был просто альфа, то после преобразования он увеличится в несколько раз. Обычно это не влияет на сложность. При необходимости выражение можно будет разложить или выполнить дальнейшее сокращение.

Определение и доказательство формул понижения даётся на уроках математики в восьмом классе общей школы. Но приступают к их изучению лишь после освоения тригонометрических тождеств и формул приведения. При этом важно знать и про универсальную подстановку. Она позволяет выразить любую функцию рационально без корней, через тангенс.

Так, выражение синуса, косинуса, тангенса и котангенса через тангенс половинного угла будет выглядеть следующим образом:

Следует заметить, что все формулы в тригонометрии справедливы в обе стороны. Это важно, так как в ряде задач, наоборот, нужно будет повышать степень функции.

Формулы понижения

При выполнении преобразования нужно понимать, что выражения, например, sinx или cosx, являются неделимым целым. Воспринимать их нужно как какое-то число.

Кроме этого, зная формулы синуса и косинуса, суммы аргументов, можно перейти к записи функции двойного угла. Так, cos (u + c) = cosu * cosc — sinu * sinc. Если u = c, то выражение примет вид cos 2u = cos 2 u— cos 2 c. Соответственно можно найти синус суммы двух аргументов, равный удвоенному произведению синуса на косинус. Эти формулы часто приходится применять при операциях по понижению степени.

При упрощении уравнений методом понижения степени необходимо использовать следующие формулы:

Это основные формулы, широко использующиеся на практике. При этом в дополнение к ним применяют выражения для половинного угла. Они позволяют перейти от второй степени к первой. Тождества выглядят следующим образом:

Тут следует отметить, что произведение синуса на косинус со степенью в аргументе также позволяет понизить показатель до единицы. Например, для квадратной степени будет справедливой запись sin 2 u* cos 2u = (1 − cos4u) / 8, а для кубической — (3 sin 2 u − sin 6 u) / 32. Также существует запись для биквадратной степени и даже пятой: (3 − 4 cos4u + cos8 u) / 128; (10 sin 2u − 5sin 6u + sin 10u) / 512.

Вывод формул

Для доказательства формулы квадрата используют тождественность двойного угла. Синус двойного угла равняется 1 − 2 sin 2, i косинус — 2 cos 2 i − 1. Выразив из первой формулы синус, а и из второй — косинус, можно получить выражения 1 — cos2i и 1 + cos2 i. После деления левой и правой части на два получится искомый результат.

Для кубического синуса или косинуса формулы выводятся двумя методами. Первый способ заключается в применении тригонометрической функции тройного угла. Для синуса доказательство будет выглядеть следующим образом: sin3i = 3 * sini — 4 sin 3 i. Убрав в левую часть sin 3 i, в правой получится доказываемое выражение: (3 * sini — sin3i) / 4. Аналогичные действия нужно выполнить для косинуса: cos3i = 4 * cos 3 i — 3cosi. Отсюда следует, что cos 3 i = (3 *cosi — sin3i) / 4. Это и следовало доказать.

Второй способ более наглядный. В нём используются формулы произведения тригонометрических функций.

Для доказательства необходимо расписать кубический синус в следующем виде: sini * sin 2 i = sin i * (1 — cos2i) / 2 = (sini — sini * cos2i) / 2. Теперь нужно применить формулу произведения: sini * sinc = (sin (i — c) + sin (i + c)) / 2. Отсюда следует, что sin 3 i = ½ * (sini — (sin (-i)/2) — (sin3i/2) = ½ * ((3 * sini / 2) — (sin3i / 2) = ¼ * (3sini — sin3i). Аналогичным образом доказывается формула для косинусов. Только используют их произведение, а не синусов.

Формулы понижения тангенса и котангенса получаются автоматически из функций синуса и косинуса.

Решение простых примеров

Все тригонометрические формулы запомнить тяжело. Чтобы они остались в памяти, необходимо решать практические задания. Начинать нужно с простых примеров. При их вычислении главная задача состоит в понятии алгоритма расчёта и запоминания формул на интуитивном уровне.

Типовые задачи:

Сложные задания

Такие задания рассчитаны на уже подготовленных учащихся, знающих и умеющих применять формулы понижения степени косинуса, синуса, тангенса и котангенса. Сложность таких примеров — в нахождении правильного пути решения. Для вычисления ответа можно использовать онлайн-калькулятор. Но лучше, конечно, решать примеры самостоятельно, а с помощью этого инструмента проверять ответ.

Вот пример одной из задач. Нужно вычислить интеграл, в подынтегральном значении которого стоит выражение cos 4 (2 x) d x. Для начала нужно выполнить подстановку u = 2 x ⟶ d u d x = 2. Это позволит упростить восприятие уравнения. Теперь нужно вычислить выражение ∫ cos 4 (u) d u. В нём следует понизить значение подынтегральной функции ∫cos n (u) d u = n − 1 n ∫ cos n − 2 (u) d u + cos n − 1 (u) sin (u) / n.

При n = 4 интеграл будет равняться cos 3 (u) * 1sin (u) / 4 + 3 / 4 ∫ cos 2 (u) d u. Используя последнюю формулу, нужно выполнить уменьшение степени ещё раз при n =2. Получим cos (u)sin (u) / 2 + 12 ∫ 1d u. Теперь вычислим ∫ 1d u. Интеграл от константы будет равняться u.

Подставив уже вычисленные интегралы, можно получить следующие цифры: ½ ∫ cos4 (u)du = cos 3 (u) * sin (u) / 8 + 3cos (u) * sin (u) / 16 + 3 u / 16. После обратной замены u =2 x можно вычислить ответ: ∫ cos 4 (2x) d x = (sin (8x) + 8sin (4x) + 24 x / 64) плюс C. Задача решена.

Хотя в некоторых случаях уравнения могут быть настолько сложными, что для их вычислений понадобится затратить много времени. Поэтому в этом случае всё же есть резон воспользоваться услугами математических сервисов. Тем более, что предоставляют свои услуги они бесплатно. Из наиболее популярных можно выделить:

Эти сайты отличаются интуитивно понятным интерфейсом и, кроме быстрого расчёта, предоставляют подробное описание процесса вычисления.

Это, в свою очередь, помогает научиться решать примеры самостоятельно. При этом на своих страницах они содержат краткий перечень свойств и формул тригонометрических функций. Так что вопросов о том, как получился тот или иной ответ, возникнуть не должно.

Источник

Формулы понижения степени в тригонометрии: вывод и примеры

Формулы понижения степени являются одним из видов основных тригонометрических формул. Они выражают степени (2, 3, …) тригонометрических функций синус, косинус, тангенс, котангенс через синус и косинус первой степени, но кратного угла (`\alpha, \ 3\alpha, \ …` или `2\alpha, \ 4\alpha, \ …`).

Список всех тригонометрических формул понижения степени

Запишем данные тождества для тригонометрических функций от 2-й по 4-ю степень угла `\alpha`, а также для угла `\frac \alpha 2` и для произведения синус на косинус. Для удобства разделим их на группы.

Для квадрата

Формулы этой группы, особенно две первые, наиболее нужны. Они применяются при решении тригонометрических уравнений, интегралов и т. д.

Для куба

Тождества этой группы и следующих встречаются гораздо реже, но это не повод их не знать.

Для 4-й степени

Для функций половинного угла

Это формулы половинного угла. Но когда они записаны именно в таком виде, то их можно отнести и к тодествам понижения степени.

Для произведения синус на косинус

`sin^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha=\frac<1-cos \ 4\alpha>8`
`sin^3 \alpha \cdot cos^3 \alpha=\frac<3sin \ 2\alpha-sin 6\alpha>32`

Доказательство

Теперь перейдем непосредственно к выводу формул понижения степени тригонометрических функций.

Чтобы доказать их для квадрата, нам понадобятся фождества двойного угла `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` и `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`.

Формулу понижения степени синуса в квадрате получим, разрешив первое равенство относительно ` sin^2 \alpha`: `sin^2 \alpha=\frac<1-cos \ 2\alpha>2`.

Аналогично и с косинусом в квадрате, получим тождество, разрешив второе равенство относительно ` cos^2 \alpha`: `cos^2 \alpha=\frac<1+cos \ 2\alpha>2`.

Для лучшего усвоения теоретического материала рекомендуем посмотреть видео, где подробно описывается процесс доказательстве первых двух формул:

Если формулы тройного угла `sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha` и
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha` разрешить относительно `sin \ 3\alpha` и `cos \ 3\alpha`, то получим формулы понижения степени для синуса и косинуса в кубе: `sin^3 \alpha=\frac<3sin \ \alpha-sin 3\alpha>4` и `cos^3 \alpha=\frac<3cos \ \alpha+cos 3\alpha>4`.

Доказать данной равности для синуса и косинуса можно, воспользовавшись два раза формулами понижения квадратов:

Общий вид формул понижения степени

Для четных показателей степени (n=1, 2, 3,…):

Для нечетных показателей степени (n=3, 5, 7,…):

Примеры решения задач с применением формул понижения степени

Пример 1. Воспользуйтесь формулой понижения степени для `cos^2 4\alpha`.

Решение. Применив формулу `cos^2 \alpha=\frac<1+cos \ 2\alpha>2`, получим `cos^2 4\alpha=\frac<1+cos 2\cdot\ 4\alpha>2=\frac<1+cos 8\alpha>2`.

Пример 2. Используя выше указанные тождества, вычислить `sin^2 \frac \pi 8`.

Решение. Согласно формуле `sin^2 \alpha=\frac<1-cos \ 2\alpha>2`, понизим степень синуса. Получим `sin^2 \frac \pi 8=\frac<1-cos \ 2\frac \pi 8>2=\frac<1-cos \frac \pi 4>2`. Поскольку `cos \frac \pi 4=\frac <\sqrt 2>2`, то `sin^2 \frac \pi 8=\frac<1-cos \frac \pi 4>2=\frac<1-\frac <\sqrt 2>2>2=\frac<\frac <2-\sqrt 2>2>2=\frac <2-\sqrt 2>4`.

Ответ. `sin^2 \frac \pi 8=\frac <2-\sqrt 2>4`.

Отметим, что формулы понижения степени в тригонометрии чаще всего используются при решении уравнений и преобразовании выражений.

Источник

Понижение степени

Вы будете перенаправлены на Автор24

Тригонометрические формулы понижения степени — это формулы, используемые для того чтобы осуществлять перевод тригонометрического выражения, содержащего степень, в тождественное ему, содержащее меньшую степень.

Формулы понижения степени косинуса и синуса выводятся из формул двойного аргумента, выведем их для практики. Сделаем это сначала для синуса:

К данному выражению можно применить формулу синуса суммы вида

$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \cdot \sin y$, имеем:

$\sin2x = 2\sin x \cdot \cos x$ — данная формула называется формулой двойного аргумента для синуса.

Выразим также формулу двойного аргумента для косинуса:

$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x\left(1\right)$ — формула двойного аргумента для косинуса.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и выразим через него квадрат косинуса половинного угла:

Выразим квадрат синуса:

Полученная формула называется формулой понижения степени синуса.

Готовые работы на аналогичную тему

Теперь выразим квадрат косинуса половинного аргумента:

Данная формула носит название формулы понижения степени косинуса.

В случае тангенса и котангенса стоит помнить о том, что данные записи имеют смысл лишь в том случае, если в знаменателе не получается нуль.

Докажите, что выражение верное:

Применим к левой части равенства формулу понижения степени для синуса:

Используем полученное и подставим в наше равенство:

Равенство выполняется, что и требовалось доказать.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 05 03 2021

Источник

Алгебра

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Основное тригонометрическое тождество

Несложно догадаться, что синус и косинус угла – это величины, связанные друг с другом. Отложим на единичной окружности произвольный угол α и опустим из точки А перпендикуляр на ось Ох, в некоторую точку В:

Изучим треугольник АОВ. Он прямоугольный, а потому для него можно записать теорему Пифагора:

Мы рассматриваем единичную окружность, а потому ОА = 1, ОВ = соsα, AB = sinα. Подставив эти величины в равенство, получим тождество:

sin 2 α + соs 2 α = 1

Его называют основным тригонометрическим тождеством, ведь именно оно связывает значение двух прямых тригонометрических ф-ций – синуса и косинуса.

Задание. В прямоугольном треугольнике есть угол α. Известно, что sin α = 0,8. Чему равен соsα?

Решение. Подставим в основное тригон-кое тождество значение sinα = 0,8 и получим уравнение:

sin 2 α + соs 2 α = 1

соsα = – 0,6 или соsα = 0,6

Нашли два возможных значения косинуса. Но по условию α – это острый угол, ведь в прямоугольном треугольнике угол не может быть больше 90°. То есть угол α относится к первой четверти, а потому его косинус положителен. Значит, соsα = 0,6.

Рассмотренный пример показал, что одному заданному значению синуса соответствует сразу два противоположных друг другу значения косинуса. Верно и обратное. Действительно, отложим по оси Ох некоторую величину соsα и проведем вертикальную линию, чтобы найти соответствующие ему значения синуса. Она пересечет единичную окружность в двух точках с противоположными ординатами:

По этой причине при решении задач на использование основного тригон-кого тождества обычно указывают, к какой четверти относится угол α.

Задание. Вычислите sinα, если соsα = 0,28 и α принадлежит IV четверти.

sin 2 α + соs 2 α = 1

sin α = –0,96 или sin α = 0,96

Так как α принадлежит IV четверти, то sinα должен быть отрицательным, поэтому sinα = – 0,96.Напомним, что в IV четверти значение косинуса положительно, ведь соответствующая ей дуга единичной окружности располагается правее оси Оу, то есть абсциссы точек, принадлежащих ей, положительны.

Задание. Найдите tgα, если sinα = 5/13 и π/2 2 α + соs 2 α = 1

соs 2 α = 1 – sin 2 α = 1 – (5/13) 2 = 169/169 – 25/169 = 144/169

соsα = – 12/13 или соsα = 12/13

Условие π/2 2 α + соs 2 α = 1

Далее поделим его на величину соs 2 α:

Крайнее левое слагаемое – это величина tg 2 α, а следующая дробь равна единице, так как у неё совпадают числитель и знаменатель:

В итоге нам удалось получить ф-лу, которая связывает значение тангенса и косинуса угла. Есть такая формула и для котангенса. Для ее получения необходимо поделить основное тригон-кое тождество на sin 2 α:

Задание. Известно, что tgα = 0,75. Найдите соsα и sinα, если угол α принадлежит III четверти.

Просто подставляем в ф-лу известное значение тангенса и решаем получившееся уравнение. Для простоты вычислении заменим десятичную дробь 0,75 на обычную 3/4:

Так как угол относится к III четверти, где косинус отрицателен, то

Синус угла найдем, используя основное тригон-кое тождество:

sin 2 α + соs 2 α = 1

sin 2 α = 1 – соs 2 α = 1 – (– 0,8) 2 = 1 – 0,64 = 0,36

sinα = – 0,6 или sinα = 0,6

С учетом того, что в III четверти синус становится отрицательным, следует выбрать вариант sinα = – 0,6

Ответ: sinα = – 0,6; соsα = – 0,8.

Иногда ф-лы используют не для вычисления значений тригон-ких выражений, а для упрощения выражений. Из тождества sin 2 α + соs 2 α = 1 несложно получить из выражения

sin 2 α = 1 – соs 2 α

соs 2 α = 1 – sin 2 α

которые помогают в работе с длинными ф-лами.

Задание. Упростите выражение

4sin 2 α + 9соs 2 α – 6

таким образом, чтобы в нем не содержалось синуса.

Решение. Произведем замену sin 2 α = 1 – соs 2 α:

4sin 2 α+ 9соs 2 α – 6 = 4(1 – соs 2 α)+ 9соs 2 α – 6 =

= 4 – 4 соs 2 α + 9соs 2 α – 6 = 5соs 2 α – 2

Видим, что получилось значительно более простое выражение.

Задание. Избавьтесь от синуса в выражении

sin 4 α – соs 4 α

Решение. Воспользуемся ф-лой разности квадратов:

sin 4 α – соs 4 α = (sin 2 α – соs 2 α)(sin 2 α + соs 2 α) = (sin 2 α – соs 2 α)•1 =

= 1 – соs 2 α– соs 2 α = 1 – 2 соs 2 α

Задание. Упростите дробь

Тригонометрические функции суммы и разности

Легко проводить вычисления, когда все тригонометрические действия выполняются над одним углом α. Однако иногда в задачах добавляется ещё один угол, который обычно обозначают как β. Существуют ф-лы, с помощью которых можно вычислять тригон-кие ф-ции от суммы и разности углов α и β.

Вывод этих ф-л достаточно сложен, поэтому сначала мы просто без доказательства приведем две из них, позволяющие вычислять синус суммы и косинус суммы:

Достаточно запомнить их, а далее следующие формулы можно выводить из них. Так, если вместо β подставить угол (–β), то получим формулы для разности. При этом мы используем тот факт, что синус – нечетная ф-ция, то естьsin (– β) = – sinβ, а косинус – четная ф-ция, то есть соs (– β) = соsβ:

Теперь поступим также с ф-лой для косинуса разности:

Итак, нам удалось получить ф-лы для нахождения синуса и косинуса суммы и разности углов.

С помощью этих формул возможно вычислить значение тригон-ких ф-ций для некоторых нестандартных углов. (Стандартными считаются углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°, ведь для них значение тригон-ких ф-ций можно узнать из таблички.)

Задание. Вычислите соs 150°.

Решение. В табличке стандартных углов есть углы, равные 90° и 60°. Их сумма как раз равна 150°. Поэтому запишем:

Задание. Вычислите синус, косинус и тангенс для угла 15°.

Решение. Угол в 15° можно представить как разность 45° – 30°. Тогда синус будет вычисляться так:

Далее вычислим косинус:

Можно выполнить проверку. Полученные значения должны удовлетворять основному тригон-кому тождеству. И действительно:

Проверка пройдена: сумма квадратов синуса и косинуса оказалась равной единице. Теперь посчитаем tg 15°, используя определение тангенса:

Задание. Вычислите значение тригонометрического выражения

sinπ/7 соsπ/42 + sinπ/42 соsπ/7

Решение: Значение тригон-ких ф-ций для углов π/7 и π/42 мы не знаем, однако это не помешает вычислениям. Можно заметить, что исходное выражение представляет собой синус суммы π/7 и π/42:

sinπ/7 соsπ/42 + sinπ/42 соsπ/7 = sin (π/7 + π/42) = sinπ/6 = 1/2

Задание. Упростите выражение

Вынесем за скобки множитель 2:

Теперь произведем замену:

C учетом этого можно переписать выражение и использовать ф-лу суммы косинусов:

Формулы двойного угла

Что будет, если формулу синуса суммы подставить не два различных угла α и β, а два одинаковых угла α и α? Получится ф-ла для синуса двойного угла:

Аналогично можно составить ф-лу и для косинуса двойного угла:

Итак, справедливы следующие ф-лы:

Задание. Вычислите sin 120° и соs 120°.

Задание. Упростите выражение

соs 2 t – соs 2t = соs 2 t – (соs 2 t – sin 2 t) = соs 2 t – соs 2 t + sin 2 t = sin 2 t

Задание. Докажите, что функция

является периодической и имеет период, равный π.

Решение. Используем ф-лу квадрата суммы:

Таким образом, исходную ф-цию можно переписать в виде

По определению, ф-ция является периодической с периодом Т, если выполняется условие у(х + Т) = у(х). Поэтому подставим в нашу ф-цию величину х + π:

Получили, что у(х + π) = y(x), то есть ф-ция имеет период, равный π.

Задание. Выведите формулы синуса и косинуса тройного угла.

Решение. Для их получения следует использовать ф-лу синуса суммы углов, в которую подставляют вместо β величину 2α:

Аналогично можно получить и ф-лу для косинуса тройного угла:

Формулы понижения степени

Если нам необходимо узнать косинус угла, который вдвое больше табличного, мы используем ф-лу:

соs 2α = соs 2 α – sin 2 α

А что делать, если нам надо вычислить косинус угла, который вдвое меньше известного? Попробуем преобразовать ф-лу косинуса двойного угла:

В результате нам удалось получить тождество, позволяющее по косинусу удвоенного угла найти косинус самого угла! Однако значительно чаще в тригонометрии это равенство записывают в обратном порядке:

и называют ф-лой понижения степени. Действительно, в левой части стоит косинус в квадрате, а справа – косинус без квадрата, но вычисляется он от угла 2α, а не α.

Попробуем получить аналогичную ф-лу и для синуса. Для этого используем основное тригон-кое тождество:

С помощью этих ф-л можно вычислять тригон-кие ф-ции для некоторых малых углов. Так, ранее мы с использованием ф-лу разности синусов определили, что

При этом мы представляли угол 15° как разность 45° – 30°. Но как посчитать соs 7,5°? Этот угол невозможно представить как разницу или сумму известных нам табличных углов (0°, 30°; 45°; 60° и 90°). Однако поможет ф-ла понижения степени. Действительно, ведь 2•7,5° = 15°. Тогда можно записать:

Мы нашли соs 2 7,5°. Чтобы узнать соs 7,5°, необходимо извлечь квадратный корень:

Так как угол 7,5° принадлежит I четверти, то его косинус должен быть положительным, поэтому можно записать:

Видно, что получается довольно громоздкое выражение. Используя ф-лу понижения степени, можно найти косинус и угла, который ещё вдвое меньше, то есть равен 3,75°, но в результате получится ещё более громоздкое выражение.

Задание. Вычислите sinπ/8.

Решение. Угол π/4 является табличным (его градусная мера составляет 45°). Поэтому можно записать:

Эти примеры показывают, что тригон-кие ф-ции многих нестандартных углов можно выразить, используя квадратные корни. Возникает вопрос – а любую ли тригонометрическую ф-цию можно выразить таким способом? Оказывается, что нет. Например, sin 10° невозможно найти ни в одной, даже самой подробной тригонометрической таблице. Мы не будем это доказывать, но эту величину невозможно представить в виде выражения, используя арифметические операции и корни. Однако существуют приближенные методы, позволяющие с любой наперед заданной точностью вычислять значение тригонометрических ф-ций.

Формулы приведения

Возможно, вы уже заметили, что синусы и косинусы принимают одинаковые значения в углах, чья сумма равна 90°. Например, sin30° = соs60° = 1/2, и при этом 30° + 60° = 90°. Также мы знаем, что sin 45° = соs 45° (45° + 45° = 90°) и sin60° = соs30° (60° + 30°). В чем причина такой закономерности и справедлива ли она для нестандартных углов?

Используя ф-лу синуса разности, мы можем записать, что

Полученная ф-ла sin (90° – α) = соsα называется формулой приведения. При ее выводе мы использовали тот факт, что sin 90° = 1, а соs 90° = 0, поэтому формула получилась очень простой. Однако синусы и косинусы других углов, кратных 90° (или кратных π/2, если измерять углы в радианах), также равны 0, 1 или – 1, поэтому для них тоже можно получить подобные простые ф-лы, например:

Похожих ф-л можно написать несколько десятков! Все их запоминать не надо, так как существует особое мнемоническое правило, позволяющее записать необходимую ф-лу.

Пусть есть некоторое тригон-кое выражение вида

где f – тригонометрическая ф-ция (sin; соs; tg; ctg)

k– угол, кратный π/2 (π/2, π, 3π/2, 2π)

Мы хотим заменить ее другой ф-цией, только от угла α. На первом шаге мы смотрим на слагаемое k. Если оно кратно π (– π, π, 2π), то ф-ция f остается неизменной. Если же слагаемое k – это число π/2 или 3π/2, то ф-цию f надо поменять на так называемую кофункцию (синус меняем на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).

Далее надо определить знак, стоящий перед новой ф-цией. Для этого мы предполагаем, что α – это острый угол, то есть он принадлежит I четверти. Далее с учетом этого предположения смотрим, в какую четверть попадает угол k ± α, и какое значение принимает там исходная тригонометрическая ф-ция. Если она отрицательна, то перед новой тригонометрической ф-цией надо поставить минус. В противном случае ничего ставить не надо.

Лучше всего изучить это алгоритм на примерах.

Задание. Упростите выражение соs (π/2 + α).

Решение. Первый шаг – смотрим на слагаемое под знаком косинуса. Это число π/2. Оно НЕ кратно π, а потому мы должны поменять косинус на синус:

Второй шаг – надо определить, надо ли ставить минус перед синусом. Если α – это острый угол, то угол (π/2 + α) попадет во II четверть:

Во второй четверти косинус отрицателен, а потому перед синусом следует поставить минус:

Важное примечание. В этом примере для составления формулы приведения мы «предположили», что угол α является острым. В результате нам удалось получить формулу соs (π/2 + α) = – sinα. Однако отметим, что полученная нами формула выполняется для абсолютно любых значений угла α, а не только для 0° 1 2 + 3 соs2x

Источник