Как вывести основное уравнение мкт

Основное уравнение МКТ

Определение и формула уравнения МКТ

Здесь – масса газовой молекулы, – концентрация таких частичек в единице объема, – усреднённый квадрат скорости молекул.

Зная, что соударение со стенкой было упругим, мы можем предсказать, как изменится скорость молекулы после столкновения. Модуль скорости останется таким же, как и до соударения, а направление движения изменится на противоположное относительно оси Ох (считаем, что Ох – это та ось, которая перпендикулярна стенке).

Молекул газа очень много, движутся они хаотично и о стенку ударяются часто. Найдя геометрическую сумму сил, с которой каждая молекула воздействует на стенку, мы узнаём силу давления газа. Чтобы усреднить скорости молекул, необходимо использовать статистические методы. Именно поэтому в основном уравнении МКТ используют усредненный квадрат скорости молекул , а не квадрат усредненной скорости : усредненная скорость хаотично движущихся молекул равна нулю, и в этом случае никакого давления мы бы не получили.

Теперь ясен физический смысл уравнения: чем больше молекул содержится в объеме, чем они тяжелее и чем быстрее движутся – тем большее давление они создают на стенки сосуда.

Основное уравнение МКТ для модели идеального газа

Следует заметить, что основное уравнение МКТ выводилось для модели идеального газа с соответствующими допущениями:

Однако для разреженных газов это уравнение дает очень точные результаты. Кроме того, многие реальные газы в условиях комнатной температуры и при давлении, близком к атмосферному, весьма напоминают по свойствам идеальный газ.

Как известно из законов динамики, кинетическая энергия любого тела или частицы . Заменив произведение массы каждой из частичек и квадрата их скорости в записанном нами уравнении, мы можем представить его в виде:

Основное уравнение МКТ лежит в основе термодинамики. Также оно используется на практике в космонавтике, криогенике и нейтронной физике.

Примеры решения задач

Задание	Определить скорость движения частиц воздуха в нормальных условиях.
Решение	Используем основное уравнение МКТ, считая воздух однородным газом. Так как воздух на самом деле – это смесь газов, то и решение задачи не будет абсолютно точным.

Можем заметить, что произведение – это плотность газа, так как n – концентрация молекул воздуха (величина, обратная объему), а m – масса молекулы.

Тогда предыдущее уравнение примет вид:

В нормальных условиях давление равно 10 5 Па, плотность воздуха 1,29кг/м 3 – эти данные можно взять из справочной литературы.

Из предыдущего выражения получим скорость молекул воздуха:

Ответ м/с

Задание	Определить концентрацию молекул однородного газа при температуре 300 К и давлении 1 МПа. Газ считать идеальным.
Решение	Решение задачи начнём с основного уравнения МКТ: Кинетическая энергия молекул, как и любых материальных частичек: . Тогда наша расчетная формула примет несколько другой вид:

Однако кинетическая энергия молекул в термодинамике определяется и с помощью другого выражения, и напрямую связана с температурой газа:

Подставив эту формулу в предыдущее выражение, получим еще одну форму записи основного уравнения МКТ:

Выразим и рассчитаем концентрацию молекул газа:

Источник

Основное уравнение МКТ идеального газа

теория по физике 🧲 молекулярная физика, МКТ, газовые законы

Идеальный газ — газ, удовлетворяющий трем условиям:

Реальный газ с малой плотностью можно считать идеальным газом.

Измерение температуры

Температуру можно измерять по шкале Цельсия и шкале Кельвина. По шкале Цельсия за нуль принимается температура, при которой происходит плавление льда. По шкале Кельвина за нуль принимается абсолютный нуль — температура, при котором давление идеального газа равно нулю, и его объем тоже равен нулю.

Цена деления обеих шкал составляет 1 градус. Поэтому изменение температуры в градусах Цельсия равно изменению температуры в Кельвинах:

При решении задач в МКТ используют значения температуры по шкале Кельвина. Если в условиях задачи температура задается в градусах Цельсия, нужно их перевести в Кельвины. Это можно сделать по формуле:

Если особо важна точность, следует использовать более точную формулу:

Пример №1. Температура воды равна o C. Определить температуру воды в Кельвинах.

T = t + 273 = 2 + 273 = 275 (К)

Основное уравнение МКТ идеального газа

Давление идеального газа обусловлено беспорядочным движением молекул, которые сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. Основное уравнение МКТ идеального газа связывает давление и другие макропараметры (объем, температуру и массу) с микропараметрами (массой молекул, скоростью молекул и кинетической энергией).

Основное уравнение МКТ

Давление идеального газа пропорционально произведению концентрации молекул на среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы.

p — давление идеального газа, n — концентрация молекул газа, − E k — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.

Выражая физические величины друг через друга, можно получить следующие способы записи основного уравнения МКТ идеального газа:

m 0 — масса одной молекулы газа;

n — концентрация молекул газа;

− v 2 — среднее значение квадрата скорости молекул газа.

Среднее значение квадрата скорости не следует путать со среднеквадратичной скоростью v, которая равна корню из среднего значения квадрата скорости:

k — постоянная Больцмана (k = 1,38∙10 –3 Дж/кг)

T — температура газа по шкале Кельвина

Пример №2. Во сколько раз уменьшится давление идеального одноатомного газа, если среднюю кинетическую энергию теплового движения молекул и концентрацию уменьшить в 2 раза?

Согласно основному уравнению МКТ идеального газа, давление прямо пропорционально произведению средней кинетической энергии теплового движения молекул и концентрации его молекул. Следовательно, если каждая из этих величин уменьшится в 2 раза, то давление уменьшится в 4 раза:

Следствия из основного уравнения МКТ идеального газа

Через основное уравнение МКТ идеального газа можно выразить скорость движения молекул (частиц газа):

R — универсальная газовая постоянная, равная произведения постоянной Авогадро на постоянную Больцмана:

Температура — мера кинетической энергии молекул идеального газа:

Полная энергия поступательного движения молекул газа определяется формулой:

Пример №3. При уменьшении абсолютной температуры на 600 К средняя кинетическая энергия теплового движения молекул неона уменьшилась в 4 раза. Какова начальная температура газа?

Запишем формулу, связывающую температуру со средней кинетической энергией теплового движения молекул, для обоих случаев, с учетом что:

Составим систему уравнений:

На графике представлена зависимость объёма постоянного количества молей одноатомного идеального газа от средней кинетической энергии теплового движения молекул газа. Опишите, как изменяются температура и давление газа в процессах 1−2 и 2−3. Укажите, какие закономерности Вы использовали для объяснения.

Алгоритм решения

Решение

График построен в координатах (V;E_k). Процесс 1–2 представляет собой прямую линию, исходящую из начала координат. Это значит, что при увеличении объема растет средняя кинетическая энергия молекул. Но из основного уравнения МКТ идеального газа следует, что мерой кинетической энергии молекул является температура:

Следовательно, когда кинетическая энергия молекул растет, температура тоже растет.

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:

Так как количество вещества одинаковое для обоих состояния 1 и 2, запишем:

Мы уже выяснили, что объем и температура увеличиваются пропорционально. Следовательно, давление в состояниях 1 и 2 равны. Поэтому процесс 1–2 является изобарным, давление во время него не меняется.

Процесс 2–3 имеет график в виде прямой линии, перпендикулярной кинетической энергии. Так как температуры прямо пропорциональна кинетической энергии, она остается постоянной вместе с этой энергией. Следовательно, процесс 2–3 является изотермическим, температура во время него не меняется. Мы видим, что объем при этом процессе уменьшается. Но так как объем и давление — обратно пропорциональные величины, то давление на участке 2–3 увеличивается.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Первоначальное давление газа в сосуде равнялось р₁. Увеличив объём сосуда, концентрацию молекул газа уменьшили в 3 раза, и одновременно в 2 раза увеличили среднюю энергию хаотичного движения молекул газа. В результате этого давление р₂ газа в сосуде стало равным

Источник

Как вывести основное уравнение мкт

211 дн. с момента
до конца учебного года

Основное уравнение МКТ

Законы, которые определяют свойства и поведение такого вещества, легче всего формулировать и рассматривать на примере состояния, в котором относительная плотность молекул и атомов низкая. Оно получило название «идеальный газ». В нем расстояние между частицами больше, чем радиус взаимодействия межмолекулярных сил.

Как показывает опыт, молекулы газа распределяются по всему предоставленному для него объему. Следовательно, главную роль в поведении газа играет хаотическое движение молекул, а силы взаимодействия малы, и ими можно пренебречь. Это означает, что молекула газа движется равномерно и прямолинейно, пока не столкнется с другой молекулой. При столкновении изменяется величина и направление скорости движения молекулы, и она снова движется равномерно и прямолинейно до следующего столкновения. Дли на свободного пробега (расстояние между двумя последовательными столкновениями молекулы) λ

Идеальный газ — это газ с достаточно простыми свойствами:

При небольших давлениях и не очень низких температурах реальные газы близки к идеальному газу. При высоких давлениях молекулы газа находятся так близко, что между ними возникают заметные силы взаимодействия. Пренебречь их собственным объемом нельзя, и газ уже не является идеальным.

Реальные газы при комнатной температуре и нормальном давлении ведут себя как идеальные газы. Идеальными газами можно считать такие газы как гелий, водород, свойства которых уже при обычных условиях отвечают закономерностям идеального газа.

Для описания свойств газов можно пользоваться:

Давление газа p — это средняя сила ударов его молекул о тело (например, о стенки сосуда), отнесенная к единице поверхности тела.

Абсолютная температура T — мера средней кинетической энергии теплового движения молекулы (см. Температура и тепловое равновесие системы).

Под объемом газа V понимают внутренний объем сосуда, в котором находится газ.

Источник

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) с выводом

В статье рассмотрена модель идеального газа, приведено основное уравнение молекулярно-кинетической теории и его вывод.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

p – давление молекул газа на границы емкости,

m₀ – масса одной молекулы,

Вывод основного уравнения МКТ

Частицы идеального газа при соударениях с границами емкости ведут себя как упругие тела. Такое взаимодействие описывается согласно законам механики. При соприкосновении частицы с границей емкости проекция v_x скоростного вектора на ось ОХ, проходящую под прямым углом к границе сосуда, меняет свой знак на противоположный, но сохраняется неизменной по модулю:

Поэтому после соударения частицы с границей емкости проекция импульса молекулы на ось ОХ меняется с mv_1x = –mv_x на mv_2x = mv_x.

Изменение импульса молекулы ΔP равняется удвоенному произведению массы молекулы на ее скорость:

Поскольку в каждом из шести основных направлений декартовой системы координат (вверх, вниз, вперед, назад, вправо, влево) движется одна шестая часть частиц N/6. Тогда число частиц, которые сталкиваются с каждой стенкой за время Δt равно:

S – площадь этой стенки

Давление p равно отношению силы F к площади S, на которую действует эта сила:

Суммарная сила, с которой частицы давят на стенку равна отношению произведения числа этих частиц N и изменения импульса ΔP ко времени, в течение которого происходит давление:

Исходя из вышенаписанного получаем:

и подставить эту формулу в основное уравнение МКТ, получим давление идеального газа:

Давление идеального газа равняется двум третям средней кинетической энергии поступательного движения молекул на единицу объема. При решении задач реальный газ можно считать идеальным газом, если он одноатомный и можно пренебречь взаимодействием между частицами.

Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:

Источник

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ)

Наша задача – получить уравнение, которое описывало бы связь между перечисленными величинами. Давайте попробуем вспомнить, что такое газ, помещённый в некоторый сосуд.

Как можно условно представить, что такое газ?

Газ можно представить как бильярдные шарики, которые лежат на дне коробки.

Газ можно представить как множество мелких упругих шариков, которые «летают» по сосуду, в котором они заключены, сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда.

Газ – это объёмная структура из шариков, которые жёстко связаны друг с другом и не двигаются друг относительно друга.

Газ – это шарики, которые прилипают к стенкам и находятся в месте прилипания к стенкам очень долго.

Мы предлагаем попробовать выразить давление газа через другие величины из нашего списка. Ниже будет видно, что на самом деле это можно сделать вполне даже несложно.

Давление. Отчего возникает давление газа не стенки сосуда?

. результат ударов беспорядочно двигающихся молекул газа о стенки сосуда.

. некоторая постоянная величина, которая никак напрямую не связана с молекулярной природой газа.

. результат действия силы притяжения Земли.

. результат действия сил трения между молекулами и стенками, а также между молекулами – друг с другом.

Далее – мы постараемся вывести связь давления газа с другими характеристиками газа. Возможно, схема, которую мы приводим ниже, поможет вам лучше понять, как выводится основное уравнение МКТ:

1. Давление газа – да и давление вообще – связано с силой. Кстати…

Какой формулой давление связано с силой (подсказка – такая формула была у нас в механике)?

p = F h p = \frac p = h F ​

2а. От чего зависит сила удара отдельной молекулы? Наш богатый жизненный опыт подсказывает нам, что чем больше будет скорость v v v и масса «шарика» (молекулы) m 0 m_0 m 0 ​ – тем сильнее будет «удар» молекулы о стенку.

Оказывается, что сила «удара» зависит от величины импульса тела.

2б. Общая сила «ударов» молекул будет тем больше, чем больше молекул находится в газе. Общее число молекул считать бессмысленно: не все молекулы будут «ударять» стенку. Имеет смысл считать, как много молекул содержится в единице объёма.

А что это за величина – число частиц в единице объёма?

В итоге у нас получился следующий набор фактов:

Мы получили почти правильную формулу. Основное уравнение МКТ выглядит следующим образом:

Это основная формула. Из неё можно получить ещё несколько, если использовать формулы из разделов #механика и #молекулярная физика и термодинамика

Ещё разок приведём диаграмму, которая поясняет, каким образом можно связать давление газа с другими его характеристиками:

Выведем из основного уравнения МКТ еще две формулы.

А. Начнем с формулы, связывающей давление газа и энергию.

Видно выражение для потенциальной энергии поднятого тела.

Видно выражение для кинетической энергии движения тела.

Видно выражение для потенциальной энергии растянутой пружины.

Источник