сколько существует трехзначных цифровых кодов

Сколько существует трехзначных цифровых кодов, в которых нет одинаковых цифр?

Пусть скорость течения реки х км/ч, тогда расстояние которое проплыл плот равно 6х км, а это и есть расстояние между А и В.
6х:2= 3х км/ч это скорость моторной лодки против течения
3х+х= 4х км/ч это собственная скорость лодки, т.е. в стоячей воде
6х:4х=6/4=3/2=1,5 ч потребуется лодке чтобы проплыть это же расстояние в стоячей воде

Через х решить не удалось, решил через у

подставляем во второе уравнение
0+y=4
y=4
Ответ(0,4)

Рисунок во вложении.

Сведём данный интеграл к повторному.

Сначала нам нужно узнать в какие пределах изменяется х, для этого найдём точки пересечения графиков(на рисунке это точки х1 и х2):

2sinx=1
sinx=1/2
x=(-1)^n * arcsin(1/2) + π*n, n∈Z
Из этого уравнения выбираем точки которые входят в промежуток от [0;pi]:
n=0 => x=arcsin(1/2)=π/6 (x1 на рисунке)
n=1=> x=-arcsin(1/2)+π=-π/6+π=5π/6 (х2 на рисунке)
Это и буду наши пределы интегрирования по х.

Теперь нам нужно узнать в какие пределах у нас изменяется y, для этого на рисунке проведём прямую проходящую через нашу фигуру и параллельную оси y. Теперь смотрим через какую линию она входит, и через какую выходит. Входит наша прямая через линию х=1, а выходит через линию y=2sinx, значит у изменяется от 1 до 2sinx. Ну вот и всё, нашли пределы интегрирования, подставляем и считаем:

Источник

Сколько существует трехзначных кодов с разными цифрами?

Решая №1, мы нашли, что двузначных коды с разными цифрами 90 штук. Приписывая впереди к каждому такому двузначному коду по одной из 8 цифр, не содержащихся в этом коде, мы, очевидно, получим все различные трехзначные коды с разными цифрами.

Таким образом, всего кодов с тремя разными цифрами будет равно 90·8=10·9·8 штук.

Мы нашли, что N =720; разделив N на 6, мы получим ответ 120 кодов.

Ответ к №2. 120 трехзначных числовых кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке.

№3. Сколько существует 4-значных числовых кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке?

Аналогичные рассуждения применяем для нахождения числа кодов с четырьмя разными цифрами. Число таких кодов равно 720·7=5040. Как и в предыдущем случае разобьем эти коды на классы, в каждый из которых войдут коды, состоящие из одних и тех же трех цифр и отличающиеся только порядком расположения цифр. Пусть d, a, b, c – какие-то цифры, причем d >a > b > c. Будем составлять из них коды. Если фиксировать цифру d на первом месте, то получится 6 вариантов расстановок dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, dcba. Если фиксировать любую из оставшихся цифр на первом месте, то для каждой получится 6 вариантов расстановок. Тогда из цифр d, a, b, c можно составить только 4·6=24 различных кода. Из них только у одного кода, cbad цифры идут в возрастающем порядке. Поэтому 5040:24=210 четырехзначных числовых кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке.

№4. Сколько существует восьмизначных кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке?

Решение №3. Ответ: столько же, сколько двузначных, то есть 45 кодов.

Докажем это. Выпишем в строку все десять цифр в порядке возрастания: 0123456789. Возьмем двузначный код, цифры которого идут в возрастающем порядке, и вычеркнем его цифры из этой строки. Мы получим в результате восьмизначный код, цифры которого идут в возрастающем порядке, например:

Таким образом, каждому двузначному коду с возрастающим порядком цифр мы сопоставили один восьмизначный код с возрастающим порядком цифр. Теперь наоборот, возьмем какой-нибудь восьмизначный код, цифры которого идут в возрастающем порядке, и, составив двузначный код из двух цифр, которые не вошли в этот восьмизначный код, поставим эти две цифры в порядке возрастания, например: 12346789® 05.

Таким образом, каждому восьмизначному коду мы сопоставим один двузначный код. Очевидно, что в первом и во втором случаях двум разным кодам соответствуют два разных кода.

Мы установили взаимно однозначное соответствие между двузначными и восьмизначными кодами с возрастающим порядком цифр. Следовательно, и тех, и других одинаковое количество.

Аналогичные рассуждения при к=6 (столько же, сколько четырехзначных кодов), к=7 (столько же, сколько трехзначных кодов).

№5. Сколько существует 10-значных числовых кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке?

Ответ очевиден, только один код.

№6. Сколько существует 11-значных числовых кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке?

Ответ: таких кодов нет. В самом деле, у каждого такого кода все 11 цифр должны быть разными, но всего есть только 10 различных цифр.

Значит, не существует к-значных числовых кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке при к>10.

При рассмотрении такого блока у учащихся развивается способность к целесообразному варьированию способов действий, они учатся перестраивать систему знаний, умений и навыков при изменении условий действий, переходить от одного способа действия к другому, учатся выходить за границы привычного способа действий. У учащихся появляется желание обязательно решить эту проблему, изучить разные подходы к ее решению, исследовать различные варианты постановки этой проблемы в зависимости от изменяющихся условий. Они стремятся осуществить выбор действий, постоянно ориентируясь на поставленную этой проблемой цель. Так же у учащихся формируются обобщенные способы действий.

Источник

Пракикум «Решение задач по комбинаторике»

Разделы: Математика

Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами….

К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.

Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов 20 века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.

Основные правила комбинаторики – это правило суммы и правило произведения.

Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами.

Например, Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами.

Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то пару А и В можно выбрать n • m способами.

Например, если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и марку можно 6 способами (2 • 3 = 6).

Правило произведения верно и в том случае, когда рассматривают элементы нескольких множеств.

Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2 • 3 • 4 = 24).

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n – факториалом и обозначается символом n!

Например, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.

Принято считать 0! равным 1.
Число перестановок из n равна n!

Например, если есть 3 шарика – красный, синий и зелёный, то выложить их в ряд можно 6 способами (3 • 2 • 1 = 3! = 6).

Иногда комбинаторная задача решается с помощью построения дерева возможных вариантов.

Например, решим предыдущую задачу о 3-х шарах построением дерева.

Практикум по решению задач по комбинаторике.

1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?

2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 алые и 4 жёлтые розы?

3. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С ведут три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

4. Сколькими способами можно составить пару из одной гласной и одной согласной букв слова «платок»?

гласные: а, о – 2 шт.
согласные: п, л, т, к – 4 шт.

5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек?

6. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать?

Ответ: 28 вариантов.

7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 3 способа
3 цифра – 3 способа

Ответ: 9 различных двузначных чисел.

8. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 2 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 2 способа

Ответ: 8 различных чисел.

9. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 4 способа

Ответ: 12 различных чисел.

10. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых все цифры чётные?

1 цифра – 4 способа
2 цифра – 5 способов
3 цифра – 5 способов

Ответ: существует 100 чисел.

11. Сколько существует четных трёхзначных чисел?

1 цифра – 9 способов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2 цифра – 10 способов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

Ответ: существует 450 чисел.

12.Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из трёх различных цифр 4, 5, 6?

1 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 1 способ

Ответ: 6 различных чисел.

13. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А, В, С, D?

1 вершина – 4 способа
2 вершина – 3 способа
3 вершина – 2 способа

14. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,при условии, что ни одна цифра не повторяется?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

Ответ: 60 различных чисел.

15. Сколько различных трёхзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая из этих цифр может быть использована только один раз?

1 цифра – 2 способа
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа

Ответ: 24 различных числа.

16. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трёх горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал шести цветов?

1 полоса – 6 способов
2 полоса – 5 способов
3 полоса – 4 способа

17. Из класса выбирают 8 человек, имеющих лучшие результаты по бегу. Сколькими способами можно составить из них команду из трёх человек для участия в эстафете?

1 человек – 8 способов
2 человек – 7 способов
3 человек – 6 способов

18. В четверг в первом классе должно быть четыре урока: письмо, чтение, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

1 урок – 4 способа
2 урок – 3 способа
3 урок – 2 способа
4 урок – 1 способ

19. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки разные?

1 урок – 8 вариантов
2 урок – 7 вариантов
3 урок – 6 вариантов
4 урок – 5 вариантов
5 урок – 4 варианта

8 • 7 • 6 • 5 • 4 = 6720

20. Шифр для сейфа составляется из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра?

1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
4 цифра – 2 способа
5 цифра – 1 способ

5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120

21. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?

22. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с нуля и 9?

1 цифра – 8 способов
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 10 способов
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 10 способов
6 цифра – 10 способов
7 цифра – 10 способов

8 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 8.000.000

23. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов состоят из 7 цифр и начинаются с 394. На сколько абонентов рассчитана эта станция?

№ телефона 394

10 • 10 • 10 • 10 = 10.000

24. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?

Левые перчатки – 6 способов
Правые перчатки – 5 способов (6 перчатка того же размера, что и левая)

5 цифра – 2 способа (две чётные цифры)
4 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
1 цифра – 1 способ

26. Сколько существует четырёхзначных чисел, составленных из нечётных цифр и делящихся на 5?

Нечётные цифр – 1, 3, 5, 7, 9.
Из них делятся на 5 – 5.

4 цифра – 1 способ (цифра 5)
3 цифра – 4 способа
2 цифра – 3 способа
1 цифра – 2 способа

27. Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра – 7, последняя цифра – чётная?

1 цифра – 9 способов (все, кроме 0)
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 1 способ (цифра 7)
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)

9 • 10 • 1 • 10 • 5 = 4500

28. Сколько существует шестизначных чисел, у которых вторая цифра – 2, четвёртая – 4, шестая – 6, а все остальные – нечётные?

1 цифра – 5 вариантов (из 1, 3, 5, 7, 9)
2 цифра – 1 вариант (цифра 2)
3 цифра – 5 вариантов
4 цифра – 1 вариант (цифра 4)
5 цифра – 5 вариантов
6 цифра – 1 вариант (цифра 6)

5 • 1 • 5 • 1 • 5 • 1 = 125

29.Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9?

Однозначных – 2
Двузначных – 2 • 2 = 4
Трёхзначных – 2 • 2 • 2 = 8
Четырёхзначных – 2 • 2 • 2 • 2 =16
Пятизначных – 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32
Шестизначных – 2 • 2 • 2 • 2 2 • 2 = 64

Всего: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

30. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Капитан – 11 способов
Заместитель – 10 способов

31.В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и ответственного за проездные билеты?

Староста – 30 способов
Ответ. за билеты – 29 способов

32. В походе участвуют 12 мальчиков, 10 девочек и 2 учителя. Сколько вариантов групп дежурных из трёх человек (1 мальчик, 1 девочка, 1 учитель) можно составить?

33. Сколько комбинаций из четырёх букв русского алфавита (в алфавите всего 33 буквы) можно составить при условии, что 2 соседние буквы будут разными?

1 буква – 33 способа
2 буква – 32 способа
3 буква – 32 способа
4 буква – 32 способа

Источник

Сколько вариантов комбинаций из 3 цифр?

Бывают ситуации, когда может возникнуть вопрос по поводу сопоставления различных комбинаций, способных в дальнейшем помочь при решении задач любой сложно. Вопрос, на первый взгляд, может показаться достаточно легким, но на самом деле может возникнуть подвох. Важно пользоваться логическим мышлением и пытаться начать постепенно рассуждать.

В данной статье можно узнать ответ и способы нахождения вариантов комбинаций из 3 цифр, возможность использовать различные методы. Главное — стараться воспользоваться каждой парой цифр по порядку, чтобы не возникло путаницы, а можно записывать по очереди, таким образом, достичь решения задачи будет проще.

Может произойти случай, когда дома находится старый чемодан или сейф, на котором стоит кодовый замок, давно забытый всеми членами семьи, но необходимо взять, что-то нужное и для этого использовать логические возможности.

Чтобы вычислить правильно количество комбинаций из 3 цифр и не ошибиться нужно применить произвольный набор способов по правилам произведения, который поможет разобраться. Например, n1*n2…*nN используя данную формулу для вычислений. К каждой позиции выбирается символ от 0 до 9, то есть 10 вариантов и так берем каждую и выбираем цифру, записываем.

10*10*10 в результате получив 1000 комбинаций и методов.

Продолжаем подставлять числа, пока не дойдем до нужного варианта и сможем решить данную задачу, при этом не прилагая особых усилий.

Источник