смежные классы линейных кодов

12. Декодирование по синдрому и еще раз о коде Хемминга

Слово «синдром» означает обычно совокупность признаков, характерных для того или иного явления. Такой же примерно смысл имеет понятие «синдром» и в теории кодирования. Синдром вектора, содержащего, быть может, ошибки, дает возможность распознать наиболее вероятный характер этих ошибок. Правда, определение, которое мы приводим ниже, не сразу позволяет это увидеть. Синдромом вектора и называется вектор s(u), определяемый равенством:

Пусть теперь вектор u не является кодовым, тогда этот вектор обязательно содержит ошибочные символы. Вектор и можно представить тогда в виде суммы посланного кодового вектора υ (который пока не известен) и вектора ошибки е:

Важным обстоятельством является то, что синдромы принятого вектора u и вектора ошибки совпадают. Действительно,

На языке теории групп это означает, что U есть смежный класс по подгруппе V (пространство L_n и его кодовое подпространство V можно рассматривать соответственно как группу и ее подгруппу относительно операции сложения векторов).

Сказанное позволяет сделать следующие выводы:

1. Два вектора имеют одинаковый синдром тогда и только тогда, когда они принадлежат одному смежному классу по кодовому подпространству. Таким образом, синдром вектора однозначно определяет тот смежный класс, которому этот вектор принадлежит.

2. Вектор ошибки e для вектора u нужно искать в силу равенства (2) в том же смежном классе, которому принадлежит и сам вектор u.

Разумеется, указание смежного класса, которому принадлежит вектор e, еще не определяет самого этого вектора. Естественно выбрать в качестве в тот вектор смежного класса, для которого вероятность совпадения с е наибольшая. Такой вектор называют лидером смежного класса. Если предположить, что большее число ошибок совершается с меньшей вероятностью, то в качестве лидера следует взять вектор наименьшего веса данного класса и в дальнейшем лидер будет пониматься именно в этом смысле.

При реализации алгоритма декодирования по синдрому составляют таблицу, в которой указываются синдромы s_i и лидеры e_i соответствующих им смежных классов. Алгоритм декодирования заключается тогда в следующем:

1. Вычисляем синдром s(u) принятого вектора u.

2. По синдрому s(u) = s_i определяем из таблицы лидер e_i соответствующего смежного класса.

3. Определяем посланный кодовый вектор υ как разность

Может случиться, что в некоторых смежных классах окажется более одного лидера. Если искаженный вектор u попал в один из таких смежных классов, то разумнее отказаться от исправления ошибки, ограничившись ее обнаружением.

Алгоритм исправления одиночных ошибок в этом случае удивительно прост. Если вектор и содержит ошибочный символ в i-й позиции, то синдром s(u) этого вектора совпадает с i-м столбцом проверочной матрицы. Таким образом, этот синдром, читаемый как двоичное число, и есть номер ошибочного символа.

Например, из приведенной выше проверочной матрицы для (15,11)-кода Хемминга получается следующая проверочная матрица для расширенного (16,11)-кода:

В первом случае считаем, что произошла одиночная ошибка, и ее положение определяется номером столбца, с которым совпадает синдром.

Во втором случае считаем, что допущены две или любое большее четное число ошибок, если s(u) ≠ 0. Если же s(u) = 0, то, как обычно, полагаем, что ошибок при передаче не было.

Источник

Смежные классы линейных кодов

1. Помехоустойчивые коды и их основные параметры

1.1 Принцип построения помехоустойчивых кодов

1.2 Основные параметры помехоустойчивых кодов

1.3 Граничные соотношения между параметрами помехоустойчивых кодов

2. Линейные блоковые коды

2.1 Способы задания линейных кодов

Таблица 1

2.2 Основные свойства линейных кодов

1. Произведение любого кодового слова на транспонированную проверочную матрицу дает нулевой вектор размерности (n-k)

Пример. для кода (5,3)

2. Произведение некоторого кодового слова, т.е. с ошибкой, на транспонированную проверочную матрицу называется синдромом и обозначается S_i(x)

3. Между порождающей и проверочной матрицами в систематическом виде существует однозначное соответствие, а именно:

5. Произведение информационного слова на порождающую матрицу дает кодовое слово кода
Пример. для кода (5,3)

6. Два кода называются эквивалентными, если их порождающие матрицы отличаются перестановкой координат, т.е. порождающие матрицы получаются одна за другой перестановкой столбцов и элементарных операций над строками.

2.3 Стандартное расположение группового кода

Стандартное расположение группового кода представляет разложение множества всех возможных n-элементных слов, представляющих собой группу, на смежные классы по подгруппе из 2 k кодовых слов, составляющих (n,k)-код (см. таблицу 2).

Таблица 2

Образующие или лидеры смежных классов выбираются таким образом, чтобы в их состав вошли наиболее вероятные образцы ошибок в кодовом слове, т.е. образцы ошибок с наименьшим весом.
Пример. Код (5,3) имеет матрицы
и
а стандартное расположение имеет вид,

Этот код имеет d₀=3. Он гарантирует исправление одиночных ошибок, конфигурация которых дана в первом столбце.
Процедура исправления ошибок следующая. Принятое кодовое слово анализируют и определяют, в каком столбце оно находится, а затем в качестве исправленного кодового слова берут слово, находящееся в верхней строке.
Однако, если длина кода большая и таблица стандартного расположения также значительная, пользоваться таким алгоритмом неудобно. Поэтому при декодировании используют таблицу синдромов (декодирования), представляющую собой список образцов ошибок (см. первый столбец стандартного расположения) и список соответствующих синдромов, которые однозначно характеризуют каждый смежный класс (см. раздел 4.1).

Источник

Корректирующие коды. Начало новой теории кодирования

Введение

По основному своему образованию я не математик, но в связи с читаемыми мной дисциплинами в ВУЗе пришлось в ней дотошно разбираться. Долго и упорно читал классические учебники ведущих наших Университетов, пятитомную математическую энциклопедию, множество тонких популярных брошюр по отдельным вопросам, но удовлетворения не возникало. Не возникало и глубокое понимание прочитанного.

Вся математическая классика ориентирована, как правило, на бесконечный теоретический случай, а специальные дисциплины опираются на случай конечных конструкций и математических структур. Отличие подходов колоссальное, отсутствие или недостаток хороших полных примеров — пожалуй главный минус и недостаток вузовских учебников. Очень редко существует задачник с решениями для начинающих (для первокурсников), а те, что имеются, грешат пропусками в объяснениях. В общем я полюбил букинистические магазины технической книги, благодаря чему пополнилась библиотека и в определенной мере багаж знаний. Читать довелось много, очень много, но «не заходило».

Этот путь привел меня к вопросу, а что я уже могу самостоятельно делать без книжных «костылей», имея перед собой только чистый лист бумаги и карандаш с ластиком? Оказалось совсем немного и не совсем то, что было нужно. Пройден был сложный путь бессистемного самообразования. Вопрос был такой. Могу ли я построить и объяснить, прежде всего себе, работу кода, обнаруживающего и исправляющего ошибки, например, код Хемминга, (7, 4)-код?

Известно, что код Хемминга широко используется во многих прикладных программах в области хранения и обмена данными, особенно в RAID; кроме того, в памяти типа ECC и позволяет «на лету» исправлять однократные и обнаруживать двукратные ошибки.

Информационная безопасность. Коды, шифры, стегосообщения

Информационное взаимодействие путем обмена сообщениями его участников должно обеспечиваться защитой на разных уровнях и разнообразными средствами как аппаратными так и программными. Эти средства разрабатываются, проектируются и создаются в рамках определенных теорий (см. рис.А) и технологий, принятых международными договоренностями об OSI/ISO моделях.

Защита информации в информационных телекоммуникационных системах (ИТКС) становится практически основной проблемой при решении задач управления, как в масштабе отдельной личности – пользователя, так и для фирм, объединений, ведомств и государства в целом. Из всех аспектов защиты ИТКС в этой статье будем рассматривать защиту информации при ее добывании, обработке, хранении и передаче в системах связи.

Уточняя далее предметную область, остановимся на двух возможных направлениях, в которых рассматриваются два различных подхода к защите, представлению и использованию информации: синтаксическом и семантическом. На рисунке используются сокращения: кодек–кодер-декодер; шидеш – шифратор-дешифратор; скриз – скрыватель – извлекатель.

Рисунок А – Схема основных направлений и взаимосвязи теорий, направленных на решение задач защиты информационного взаимодействия

Синтаксические особенности представления сообщений позволяют контролировать и обеспечивать правильность и точность (безошибочность, целостность) представления при хранении, обработке и особенно при передаче информации по каналам связи. Здесь главные задачи защиты решаются методами кодологии, ее большой части — теории корректирующих кодов.

Семантическая (смысловая) безопасность сообщений обеспечивается методами криптологии, которая средствами криптографии позволяет защитить от овладения содержанием информации потенциальным нарушителем. Нарушитель при этом может скопировать, похитить, изменить или подменить, или даже уничтожить сообщение и его носитель, но он не сможет получить сведений о содержании и смысле передаваемого сообщения. Содержание информации в сообщении останется для нарушителя недоступным. Таким образом, предметом дальнейшего рассмотрения будет синтаксическая и семантическая защита информации в ИТКС. В этой статье ограничимся рассмотрением только синтаксического подхода в простой, но весьма важной его реализации корректирующим кодом.

Сразу проведу разграничительную линию в решении задач информационной безопасности:
теория кодологии призвана защищать информацию (сообщения) от ошибок (защита и анализ синтаксиса сообщений) канала и среды, обнаруживать и исправлять ошибки;
теория криптологии призвана защищать информацию от несанкционированного доступа к ее семантике нарушителя (защита семантики, смысла сообщений);
теория стеганологии призвана защищать факт информационного обмена сообщениями, а также обеспечивать защиту авторского права, персональных данных (защита врачебной тайны).

В общем «поехали». По определению, а их довольно много, понять что есть код очень даже не просто. Авторы пишут, что код — это алгоритм, отображение и ещё что-то. О классификации кодов я не буду здесь писать, скажу только, что (7, 4)-код блоковый.

В какой-то момент до меня дошло, что код — это кодовые специальные слова, конечное их множество, которыми заменяют специальными алгоритмами исходный текст сообщения на передающей стороне канала связи и которые отправляются по каналу получателю. Замену осуществляет устройство-кодер, а на приемной стороне эти слова распознает устройство-декодер.

Поскольку роль сторон переменчива оба этих устройства объединяют в одно и называют сокращенно кодек (кодер/декодер), и устанавливают на обоих концах канала. Дальше, раз есть слова, есть и алфавит. Алфавит — это два символа <0, 1>, в технике массово используются блоковые двоичные коды. Алфавит естественного языка (ЕЯ) — множество символов — букв, заменяющих при письме звуки устной речи. Здесь не будем углубляться в иероглифическую письменность в слоговое или узелковое письмо.

Алфавит и слова — это уже язык, известно, что естественные человеческие языки избыточны, но что это означает, где обитает избыточность языка трудно сказать, избыточность не очень хорошо организована, хаотична. При кодировании, хранении информации избыточность стремятся уменьшить, пример, архиваторы, код Морзе и др.

Ричард Хемминг, наверное, раньше других понял, что если избыточность не устранять, а разумно организовать, то ее можно использовать в системах связи для обнаружения ошибок и автоматического их исправления в кодовых словах передаваемого текста. Он понял, что все 128 семиразрядных двоичных слов могут использоваться для обнаружения ошибок в кодовых словах, которые образуют код — подмножество из 16 семиразрядных двоичных слов. Это была гениальная догадка.

До изобретения Хемминга ошибки приемной стороной тоже обнаруживались, когда декодированный текст не читался или получалось не совсем то, что нужно. При этом посылался запрос отправителю сообщения повторить блоки определенных слов, что, конечно, было весьма неудобно и тормозило сеансы связи. Это было большой не решаемой десятилетиями проблемой.

Построение (7, 4)-кода Хемминга

Вернемся к Хеммингу. Слова (7, 4)-кода образованы из 7 разрядов С j = , j = 0(1)15, 4-информационные и 3-проверочные символа, т.е. по существу избыточные, так как они не несут информации сообщения. Эти три проверочных разряда удалось представить линейными функциями 4-х информационных символов в каждом слове, что и обеспечило обнаружение факта ошибки и ее места в словах, чтобы внести исправление. А (7, 4)-код получил новое прилагательное и стал линейным блоковым двоичным.

Линейные функциональные зависимости (правила (*)) вычислений значений символов
имеют следующий вид:

Исправление ошибки стало очень простой операцией — в ошибочном разряде определялся символ (ноль или единица) и заменялся другим противоположным 0 на 1 или 1 на 0.
Сколько же различных слов образуют код? Ответ на этот вопрос для (7, 4)-кода получается очень просто. Раз имеется лишь 4 информационных разряда, а их разнообразие при заполнении символами имеет = 16 вариантов, то других возможностей просто нет, т. е. код состоящий всего из 16 слов, обеспечивает представление этими 16-ю словами всю письменность всего языка.

Информационные части этих 16 слов получают нумерованный вид №
():

0=0000; 4= 0100; 8=1000; 12=1100;
1=0001; 5= 0101; 9=1001; 13=1101;
2=0010; 6= 0110; 10=1010; 14=1110;
3=0011; 7= 0111; 11=1011; 15=1111.

Каждому из этих 4-разрядных слов необходимо вычислить и добавить справа по 3 проверочных разряда, которые вычисляются по правилам (*). Например, для информационного слова №6 равного 0110 имеем и вычисления проверочных символов дают для этого слова такой результат:

Шестое кодовое слово при этом приобретает вид: Таким же образом необходимо вычислить проверочные символы для всех 16-и кодовых слов. Подготовим для слов кода 16-строчную таблицу К и последовательно будем заполнять ее клетки (читателю рекомендую проделать это с карандашом в руках).

Таблица К – кодовые слова Сj, j = 0(1)15, (7, 4) – кода Хемминга

Описание таблицы: 16 строк — кодовые слова; 10 колонок: порядковый номер, десятичное представление кодового слова, 4 информационных символа, 3 проверочных символа, W-вес кодового слова равен числу ненулевых разрядов (≠ 0). Заливкой выделены 4 кодовых слова-строки — это базис векторного подпространства. Собственно, на этом все — код построен.

Таким образом, в таблице получены все слова (7, 4) — кода Хемминга. Как видите это было не очень сложно. Далее речь пойдет о том, какие идеи привели Хемминга к такому построению кода. Мы все знакомы с кодом Морзе, с флотским семафорным алфавитом и др. системами построенными на разных эвристических принципах, но здесь в (7, 4)-коде используются впервые строгие математические принципы и методы. Рассказ будет как раз о них.

Математические основы кода. Высшая алгебра

Подошло время рассказать какая Р.Хеммингу пришла идея открытия такого кода. Он не питал особых иллюзий о своем таланте и скромно формулировал перед собой задачу: создать код, который бы обнаруживал и исправлял в каждом слове одну ошибку (на деле обнаруживать удалось даже две ошибки, но исправлялась лишь одна из них). При качественных каналах даже одна ошибка — редкое событие. Поэтому замысел Хемминга все-таки в масштабах системы связи был грандиозным. В теории кодирования после его публикации произошла революция.

Это был 1950 год. Я привожу здесь свое простое (надеюсь доступное для понимания) описание, которого не встречал у других авторов, но как оказалось, все не так просто. Потребовались знания из многочисленных областей математики и время, чтобы все глубоко осознать и самому понять, почему это так сделано. Только после этого я смог оценить ту красивую и достаточно простую идею, которая реализована в этом корректирующем коде. Время я в основном, потратил на разбирательство с техникой вычислений и теоретическим обоснованием всех действий, о которых здесь пишу.

Создатели кодов, долго не могли додуматься до кода, обнаруживающего и исправляющего две ошибки. Идеи, использованные Хеммингом, там не срабатывали. Пришлось искать, и нашлись новые идеи. Очень интересно! Захватывает. Для поиска новых идей потребовалось около 10 лет и только после этого произошел прорыв. Коды, обнаруживающие произвольное число ошибок, были получены сравнительно быстро.

Векторные пространства, поля и группы. Полученный (7, 4)-код (Таблица К) представляет множество кодовых слов, являющихся элементами векторного подпространства (порядка 16, с размерностью 4), т.е. частью векторного пространства размерности 7 с порядком Из 128 слов в код включены лишь 16, но они попали в состав кода не просто так.

Во-первых, они являются подпространством со всеми вытекающими отсюда свойствами и особенностями, во-вторых, кодовые слова являются подгруппой большой группы порядка 128, даже более того, аддитивной подгруппой конечного расширенного поля Галуа GF() степени расширения n = 7 и характеристики 2. Эта большая подгруппа раскладывается в смежные классы по меньшей подгруппе, что хорошо иллюстрируется следующей таблицей Г. Таблица разделена на две части: верхняя и нижняя, но читать следует как одну длинную. Каждый смежный класс (строка таблицы) — элемент факторгруппы по эквивалентности составляющих.

Таблица Г – Разложение аддитивной группы поля Галуа GF () в смежные классы (строки таблицы Г) по подгруппе 16 порядка.

Столбцы таблицы – это сферы радиуса 1. Левый столбец (повторяется) – синдром слова (7, 4)-кода Хемминга, следующий столбец — лидеры смежного класса. Раскроем двоичное представление одного из элементов (25-го выделен заливкой) факторгруппы и его десятичное представление:

Техника получение строк таблицы Г. Элемент из столбца лидеров класса суммируется с каждым элементом из заголовка столбца таблицы Г (суммирование выполняется для строки лидера в двоичном виде по mod2). Поскольку все лидеры классов имеют вес W=1, то все суммы отличаются от слова в заголовке столбца только в одной позиции (одной и той же для всей строки, но разных для столбца). Таблица Г имеет замечательную геометрическую интерпретацию. Все 16 кодовых слов представляются центрами сфер в 7-мерном векторном пространстве. Все слова в столбце от верхнего слова отличаются в одной позиции, т. е. лежат на поверхности сферы с радиусом r =1.

Второе — все множество 7-разрядных двоичных слов из 128 слов равномерно распределено по 16 сферам. Декодер может получить слово лишь из этого множества 128-ми известных слов с ошибкой или без нее. Третье — приемная сторона может получить слово без ошибки или с искажением, но всегда принадлежащее одной из 16-и сфер, которая легко определяется декодером. В последней ситуации принимается решение о том, что послано было кодовое слово — центр определенной декодером сферы, который нашел позицию (пересечение строки и столбца) слова в таблице Г, т. е номера столбца и строки.

Здесь возникает требование к словам кода и к коду в целом: расстояние между любыми двумя кодовыми словами должно быть не менее трех, т. е. разность для пары кодовых слов, например, Сi = 85==1010101; Сj = 25== 0011001 должна быть не менее 3; 85 — 25 = 1010101 — 0011001 =1001100 = 76, вес слова-разности W(76) = 3. (табл. Д заменяет вычисления разностей и сумм). Здесь под расстоянием между двоичными словами-векторами понимается количество не совпадающих позиций в двух словах. Это расстояние Хемминга, которое стало повсеместно использоваться в теории, и на практике, так как удовлетворяет всем аксиомам расстояния.

Замечание. (7, 4)-код не только линейный блоковый двоичный, но он еще и групповой, т. е. слова кода образуют алгебраическую группу по сложению. Это означает, что любые два кодовых слова при суммировании снова дают одно из кодовых слов. Только это не обычная операция суммирования, выполняется сложение по модулю два.

Таблица Д — Сумма элементов группы (кодовых слов), используемой для построения кода Хемминга

Сама операция суммирования слов ассоциативна, и для каждого элемента в множестве кодовых слов имеется противоположный ему, т. е. суммирование исходного слова с противоположным дает нулевое значение. Это нулевое кодовое слово является нейтральным элементом в группе. В таблице Д- это главная диагональ из нулей. Остальные клетки (пересечения строка/столбец) — это номера-десятичные представления кодовых слов, полученные суммированием элементов из строки и столбца.При перестановке слов местами (при суммировании) результат остается прежним, более того, вычитание и сложение слов имеют одинаковый результат. Дальше рассматривается система кодирования/декодирования, реализующая синдромный принцип.

Применение кода. Кодер

Пример 1. Необходимо передать слово «цифра» в ЕЯ. Входим в таблицу ASCII-кодов, буквам соответствуют: ц –11110110, и –11101000, ф – 11110100, р – 11110000, а – 11100000 октеты. Или иначе в ASCII — кодах слово «цифра» = 1111 0110 1110 1000 1111 0100 1111 0000 1110 0000

с разбивкой на тетрады (по 4 разряда). Таким образом, кодирование слова «цифра» ЕЯ требует 10 кодовых слов (7, 4)-кода Хемминга. Тетрады представляют информационные разряды слов сообщения. Эти информационные слова (тетрады) преобразуются в слова кода (по 7 разрядов) перед отправкой в канал сети связи. Выполняется это путем векторно-матричного умножения: информационного слова на порождающую матрицу. Плата за удобства получается весьма дорого и длинно, но все работает автоматически и главное — сообщение защищается от ошибок.
Порождающая матрица (7, 4)-кода Хемминга или генератор слов кода получается выписыванием базисных векторов кода и объединением их в матрицу. Это следует из теоремы линейной алгебры: любой вектор пространства (подпространства) является линейной комбинацией базисных векторов, т.е. линейно независимых в этом пространстве. Это как раз и требуется — порождать любые векторы (7-разрядные кодовые слова) из информационных 4-разрядных.

Порождающая матрица (7, 4, 3)-кода Хемминга или генератор слов кода имеет вид:

Справа указаны десятичные представления кодовых слов Базиса подпространства и их порядковые номера в таблице К
№ i строки матрицы — это слова кода, являющиеся базисом векторного подпространства.

Информационные слова сообщения имеют вид:

Это половины символа (ц). Для (7, 4)-кода, определенного ранее, требуется найти кодовые слова, соответствующее информационному слову-сообщению (ц) из 8-и символов в виде:

Чтобы превратить эту букву–сообщение (ц) в кодовые слова u, каждую половинку буквы-сообщения i умножают на порождающую матрицу G[k, n] кода (матрица для таблицы К):

Получили два кодовых слова с порядковыми номерами 15 и 6.

Покажем детальное формирование нижнего результата №6 – кодового слова (умножение строки информационного слова на столбцы порождающей матрицы); суммирование по (mod2)

∙ = 0∙1 +1∙0 + 1∙0 + 0∙0 = 0(mod2);
∙ = 0∙0 +1∙1 + 1∙0 + 0∙0 = 1(mod2);
∙ = 0∙0 +1∙0 + 1∙1 + 0∙0 = 1(mod2);
∙ = 0∙0 +1∙0 + 1∙0 + 0∙1 = 0(mod2);
∙ = 0∙0 +1∙1 + 1∙1 + 0∙1 = 0(mod2);
∙ = 0∙1 +1∙0 + 1∙1 + 0∙1 = 1(mod2);
∙ = 0∙1 +1∙1 + 1∙0 + 0∙1 = 1(mod2).

В результате перемножения получили 15 и 6 слова таблицы К кода.

Применение кода. Декодер

Декодер размещается на приемной стороне канала там, где находится получатель сообщения. Назначение декодера состоит в предоставлении получателю переданного сообщения в том виде, в котором оно существовало у отправителя в момент отправления, т.е. получатель может воспользоваться текстом и использовать сведения из него для своей дальнейшей работы.

Основной задачей декодера является проверка того, является ли полученное слово (7 разрядов) тем, которое было отправлено на передающей стороне, не содержит ли слово ошибок. Для решения этой задачи для каждого полученного слова декодером путем умножения его на проверочную матрицу Н[n-k, n] вычисляется короткий вектор-синдром S (3 разряда).

Рассматриваемый код является систематическим, т. е. символы информационного слова размещаются подряд в старших разрядах кодового слова. Восстановление информационных слов выполняется простым отбрасыванием младших (проверочных) разрядов, число которых известно. Далее используется таблица ASCII-кодов в обратном порядке: входом являются информационные двоичные последовательности, а выходом – буквы алфавита естественного языка. Итак, (7, 4)-код систематический, групповой, линейный, блочный, двоичный.

Основу декодера образует проверочная матрица Н[n-k, n], которая содержит число строк, равное числу проверочных символов, а столбцами все возможные, кроме нулевого, столбцы из трех символов . Проверочная матрица строится из слов таблицы К, они выбираются так, чтобы быть ортогональными к кодирующей матрице, т.е. их произведение — нулевая матрица. Проверочная матрица получает следующий вид в операциях умножения она транспонируется. Для конкретного примера проверочная матрица Н[n-k, n] приведена ниже:

Видим, что произведение порождающей матрицы на проверочную в результате дает нулевую матрицу.

В результате вычисленный синдром имеет нулевое значение, что подтверждает отсутствие ошибки в словах кода.

Пример 3. Обнаружение одной ошибки в слове, полученном на приемном конце канала (таблица К).

А) Пусть требуется передать 7 – е кодовое слово, т.е.

Установление факта искажения кодового слова выполняется умножением полученного искаженного слова на проверочную матрицу кода. Результатом такого умножения будет вектор, называемый синдромом кодового слова.

Выполним такое умножение для наших исходных (7-го вектора с ошибкой) данных.

Итак, при вычислениях получен синдром S= для обоих слов одинаковый. Смотрим на проверочную матрицу и отыскиваем в ней столбец, совпадающий с синдромом. Это третий слева столбец. Следовательно, ошибка допущена в третьем слева разряде, что совпадает с условиями примера. Этот третий разряд изменяется на противоположное значение и мы вернули принятые декодером слова к виду кодовых. Ошибка обнаружена и исправлена.

Вот собственно и все, именно так устроен и работает классический (7, 4)-код Хемминга.

Здесь не рассматриваются многочисленные модификации и модернизации этого кода, так как важны не они, а те идеи и их реализации, которые в корне изменили теорию кодирования, и как следствие, системы связи, обмена информацией, автоматизированные системы управления.

Заключение

В работе рассмотрены основные положения и задачи информационной безопасности, названы теории, призванные решать эти задачи.

Задача защиты информационного взаимодействия субъектов и объектов от ошибок среды и от воздействий нарушителя относится к кодологии.

Рассмотрен в деталях (7, 4)-код Хемминга, положивший начало нового направлению в теории кодирования — синтеза корректирующих кодов.

Показано применение строгих математических методов, используемых при синтезе кода.
Приведены примеры иллюстрирующие работоспособность кода.

Источник