Как выглядят противоположно направленные векторы

Определение вектора

В статье пойдет речь о том, что такое вектор, что он из себя представляет в геометрическом смысле, введем вытекающие понятия.

Для начала дадим определение:

Вектор – это направленный отрезок прямой.

Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.

Нулевой вектор

Под нулевым вектором 0 → будем понимать любую точку плоскости или пространства.

Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Длина вектора

Под длиной вектора A B → понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.

Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин «длина вектора». Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.

Коллинеарность векторов

Два вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.

Два вектора не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются неколлинеарными.

Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление.

Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.

Направление векторов

Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Равные и противоположные векторы

Равными называются сонаправленные вектора, у которых длины равны.

Противопожными называются противоположно направленные вектора, у которых их длины равны.

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

Углы между векторами

Угол φ = ∠ A O B называется углом между векторами a → = O A → и b → = O B → .

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.

Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равен 90 градусам (или π 2 радиан).

Источник

Вектор. Определение и основные понятия

Обозначение вектора

Направление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрелкой.

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Длина вектора

Нулевой вектор

Длина нулевого вектора равна нулю.

Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определенного направления.

Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.

Длина вектора на плоскости

Длина вектора в трехмерном пространстве

Длина вектора в n-мерном пространстве

Коллинеарные вектора

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Сонаправленные вектора

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Противоположно направленные вектора

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Компланарные вектора

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Равные вектора

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

О сайте

На нашем сайте вы найдете множество полезных калькуляторов, конвертеров, таблиц, а также справочных материалов по основным дисциплинам.

Самый простой способ сделать расчеты в сети — это использовать подходящие онлайн инструменты. Воспользуйтесь поиском, чтобы найти подходящий инструмент на нашем сайте.

calcsbox.com

На сайте используется технология LaTeX.
Поэтому для корректного отображения формул и выражений
пожалуйста дождитесь полной загрузки страницы.

© 2021 Все калькуляторы online

Копирование материалов запрещено

Источник

Вектор. Виды векторов.

Вектор — в самом элементарном случае это математический объект, который характеризуется

величиной и направлением.

В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая

из его граничных точек является началом, а какая — концом.

У вектора есть длина и определенное направление. Графически вектора изображаются как

направленные отрезки прямой конкретной длины. Длина вектора – это и есть длина этого отрезка.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии по обоим сторонам: |AB|.

Как видно на рисунке, начало отрезка – это точка А, концом отрезка является

точка В, а непосредственно вектор обозначен через Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. У направления

вектора существенное значение, если переместить стрелку на другую

сторону отрезка, то получим вектор, но абсолютно другой. Понятие вектора

удобно сравнивать с движением физического тела: подумайте, ехать на

рыбалку и с рыбалки – разница огромная.

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не имеет значения — так как направления их могут быть

разными. Сравнивают лишь длины векторов. Зато есть понятие равенства для векторов.

Виды векторов.

Единичным называется вектор, длина которого равна 1.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором.

У такого вектора конец и начало совпадают.

Нулевой вектор обычно обозначается как Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Длина нулевого вектора, или его модуль равен нулю.

Коллинеарные вектора – вектора, которые параллельны одной прямой

или которые лежат на одной прямой.

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Сонаправленные вектора. Два коллинеарных вектора a и b называются

сонаправленными векторами только тогда, когда их направления

соответствуют друг другу: a↑↑b

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Противоположно направленные вектора – два коллинеарных вектора

a и b называются противоположно направленными векторами, только

когда они направлены в разные стороны: a↑↓b.

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Компланарные вектора – это те вектора, которые параллельны одной

плоскости или те, которые лежат на общей плоскости.

В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельную

двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Равные вектора. Вектора a и b будут равными, если они будут лежать на

одной либо параллельных прямых и их направления и длины одинаковые.

То есть, такой вектор можно перенести параллельно ему в каждое место

Таким образом, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые

и имеют одинаковые длины:

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Для координатного представления векторов огромное значение

оказывает понятие проекции вектора на ось (направленную

прямую).

проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую,

при этом проекции добавляется знак “+”, но когда направление

проекции соответственно направлению оси, иначе — знак “–”.

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Проекция – это длина заданного вектора, умноженная на cos угла исходного вектора и оси; проекция

вектора на ось, которая перпендикулярна ему = 0.

Когда работают с векторами, зачастую вводят так называемую

декартову систему координат и уже в этой системе находят

координаты вектора по базисным векторам.

Разложение по базису геометрически можно показать проекцией

вектора на координатные оси. Когда известны координаты начала и

конца вектора, то координаты данного вектора получают вычитая

из координат конца вектора координат начала вектора.

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

За базис зачастую выбираются координатные орты, которые обозначаются как Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, соответственно

осям x, y, z. Исходя из этого, вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыможно записать в таком виде:

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Каждое геометрическое свойство есть возможность записать в координатах, и далее исследование

из геометрического переходит в алгебраическое и на этом этапе в основном упрощается. Обратное,

кстати, неверно: не у любого соотношения в координатах есть геометрическое толкование, но только

те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе координат (инвариантные).

Источник

Векторы для чайников. Действия с векторами.
Координаты вектора. Простейшие задачи с векторами

Наконец-то у меня добрались руки до обширной и долгожданной темы аналитической геометрии. Сначала немного о данном разделе высшей математики…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает прилагательное «аналитическая»? На ум сразу приходят два штампованных математических оборота: «графический метод решения» и «аналитический метод решения». Графический метод, понятно, связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решений практически всех задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.

Открываемый курс уроков по геометрии не претендует на теоретическую полноту, он ориентирован на решение практических задач. Я включу в свои лекции только то, что с моей точки зрения, является важным в практическом плане. Если вам необходима более полная справка по какому-либо подразделу, рекомендую следующую вполне доступную литературу:

1) Вещь, с которой, без шуток, знакомо несколько поколений: Школьный учебник по геометрии, авторы – Л.С. Атанасян и Компания. Сия вешалка школьной раздевалки уже выдержала 20 (!) переизданий, что, конечно, не является пределом.

2) Геометрия в 2 томах. Авторы Л.С. Атанасян, Базылев В.Т. Это литература для высшей школы, вам потребуется первый том. Из моего поля зрения могут выпадать редко встречающиеся задачи, и учебное пособие окажет неоценимую помощь.

Из инструментальных средств предлагаю собственную разработку – программный комплекс по аналитической геометрии, который значительно упростит жизнь и сэкономит массу времени.

Предполагается, что читатель знаком с базовыми геометрическими понятиями и фигурами: точка, прямая, плоскость, треугольник, параллелограмм, параллелепипед, куб и т.д. Желательно помнить некоторые теоремы, хотя бы теорему Пифагора, привет второгодникам)

А сейчас мы последовательно рассмотрим: понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора. Далее рекомендую прочитать важнейшую статью Скалярное произведение векторов, а также Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов и Векторное и смешанное произведение векторов. Не лишней будет и локальная задача – Деление отрезка в данном отношении. На основе вышеуказанной информации можно освоить уравнение прямой на плоскости с простейшими примерами решений, что позволит научиться решать задачи по геометрии. Также полезны следующие статьи: Уравнение плоскости в пространстве, Уравнения прямой в пространстве, Основные задачи на прямую и плоскость, другие разделы аналитической геометрии. Естественно, попутно будут рассматриваться типовые задания.

Более того, по материалам сайта создана книга!

. да, это свершилось! – освойте азы теории и научитесь решать в кратчайшие сроки! Спасибо за поддержку проекта.

Понятие вектора. Свободный вектор

Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы
В данном случае началом отрезка является точка Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, концом отрезка – точка Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Сам вектор обозначен через Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, и это уже совершенно другой вектор. Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. У такого вектора конец и начало совпадают.

. Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.

Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, но допустима и запись Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, которую я буду использовать в дальнейшем. Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, подразумевая тем самым, что это вектор.

То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов:

1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыВ частности, наш вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыможно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.

Длиной или модулем ненулевого вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыназывается длина отрезка Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Длина нулевого вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыравна нулю. Логично.

Длина вектора обозначается знаком модуля: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.

То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор.

Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор. Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной «школьный» вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте направленный отрезок произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж**у по вектору. Ведь не просто остроумная рифма, всё почти корректно – направленный отрезок можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =)

Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.

Далее, если не оговаривается иное, речь пойдёт только о свободных векторах.

Действия с векторами. Коллинеарность векторов

В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыот конца вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Суммой векторов Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыявляется вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, а затем по вектору Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Тогда сумма векторов Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыпредставляет собой вектор результирующего пути Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыс началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыотложить от начала вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Умножение вектора на число

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, при этом возможна детализация: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы(векторы сонаправлены) или Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы(векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторына число Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыявляется такой вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, длина которого равна Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, причём векторы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторысонаправлены при Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи противоположно направлены при Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыотрицательный, то вектор меняет направление на противоположное.

2) Длина. Если множитель заключен в пределах Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыили Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, то длина вектора уменьшается. Так, длина вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыв два раза меньше длины вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Если множитель Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыпо модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыраз.

3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор выражен через другой, например, Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Обратное тоже справедливо: если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор.

4) Векторы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторысонаправлены. Векторы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторытакже сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

Какие векторы являются равными?

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».

С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы:

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Векторы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность.

Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов. Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.

Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Координатные векторы нельзя переставлять местами.

Любой вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыплоскости единственным образом выражается в виде:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, где Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторычисла, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыназывается разложением вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы по базису Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

! ВСЕМ настоятельно рекомендую прочитать ВСЁ!

Начнем с первой буквы алфавита: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. По чертежу хорошо видно, что при разложении вектора по базису используются только что рассмотренные:
1) правило умножения вектора на число: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы;
2) сложение векторов по правилу треугольника: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.

А теперь мысленно отложите вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыот любой другой точки плоскости. Совершенно очевидно, что его разложение Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыбудет «неотступно следовать за ним». Вот она, свобода вектора – вектор «всё носит при себе». Это свойство, разумеется, справедливо для любого вектора. Забавно, что сами базисные (свободные) векторы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыне обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой – справа вверху, и от этого ничего не изменится! Правда, делать так не нужно, поскольку преподаватель тоже проявит оригинальность и нарисует вам «зачтено» в неожиданном месте.

Векторы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыиллюстрируют в точности правило умножения вектора на число, вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторысонаправлен с базисным вектором Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторынаправлен противоположно по отношению к базисному вектору Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. У данных векторов одна из координат равна нулю, дотошно можно записать так:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы
А базисные векторы, к слову, так: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы(по сути, они выражаются сами через себя).

И, наконец: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Кстати, что такое вычитание векторов, и почему я не рассказал о правиле вычитания? Где-то в линейной алгебре, уже не помню где, я отмечал, что вычитание – это частный случай сложения. Так, разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно записываются в виде суммы: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Проследите по чертежу, как чётко в этих ситуациях работает старое доброе сложение векторов по правилу треугольника.

Рассмотренное разложение вида Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыиногда называют разложением вектора в системе орт (т.е. в системе единичных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант:

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыИли со знаком равенства: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Сами базисные векторы записываются так: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи.

Сомневался, говорить ли, но всё-таки скажу: координаты векторов переставлять нельзя. Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Действительно, Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы– это ведь два разных вектора.

С координатами на плоскости разобрались. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Перед вами ортонормированный базис Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторытрехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыданного базиса попарно ортогональны: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Ось Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторынаклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства. О том, как правильно выполнять плоские и трехмерные чертежи на клетчатой бумаге, читайте в самом начале методички Графики и свойства функций.

Любой вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторытрехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, где Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы– координаты вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы(числа) в данном базисе.

Пример с картинки: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы(красная стрелка), Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы(зеленая стрелка) и Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы(малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Вектор суммы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыначинается в исходной точке отправления (начало вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы).

Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыот любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы«останется при нём».

Аналогично плоскому случаю, помимо записи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторышироко используются версии со скобками: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторылибо Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.

Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы(дотошно Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы) – запишем Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы;
вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы(дотошно Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы) – запишем Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы;
вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы(дотошно Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы) – запишем Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.

Базисные векторы записываются следующим образом:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну.

А мы переходим к практической части:

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть, даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.

Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.

Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки плоскости Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, то вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыимеет следующие координаты:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Если даны две точки пространства Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, то вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыимеет следующие координаты:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Формулы в конце урока.

Даны две точки плоскости Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Найти координаты вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Решение: по соответствующей формуле:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Как вариант, можно было использовать следующую запись:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Эстеты решат и так: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Лично я привык к первой версии записи.

Ответ: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов чайникам, не поленюсь:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, в данном случае Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Любой вектор является свободным, поэтому при желании или необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости (во избежание путаницы переобозначив, например, через Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы). Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, а смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.

Дамы и господа, набиваем руку:

а) Даны точки Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Найти векторы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.
б) Даны точки Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Найти векторы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.
в) Даны точки Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Найти векторы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.
г) Даны точки Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Найти векторы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.

Пожалуй, достаточно. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится ;-). Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока.

Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если где ошибся =)

Как найти длину отрезка?

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, то длину отрезка Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыможно вычислить по формуле Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Если даны две точки пространства Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, то длину отрезка Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыможно вычислить по формуле Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, но более стандартен первый вариант

Даны точки Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Найти длину отрезка Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.

Решение: по соответствующей формуле:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Ответ: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Для наглядности выполню чертёж
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Отрезок Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыэто не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыможно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Обратите внимание на важный технический приёмвынесение множителя из-под корня. В результате вычислений у нас получился результат Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Конечно, оставить ответ в виде Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыне будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

Вот другие распространенные случаи:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Нередко под корнем получается достаточно большое число, например Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Да, разделилось нацело, таким образом: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. А может быть, число Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыещё раз удастся разделить на 4? Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Таким образом: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. У числа Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыпоследняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. В результате:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыГотово.

Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.

В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Даны точки Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Найти длину отрезка Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.

Решение и ответ в конце урока.

Как найти длину вектора?

Если дан вектор плоскости Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, то его длина вычисляется по формуле Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.

Если дан вектор пространства Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, то его длина вычисляется по формуле Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.

Данные формулы (как и формулы длины отрезка) легко выводятся с помощью небезызвестной теоремы Пифагора.

Даны точки Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Найти длину вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.

Я взял те же точки, что и в Примере 3.

Решение: Сначала найдём вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

По формуле Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторывычислим длину вектора:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Ответ: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Не забываем указывать размерность – «единицы»! Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение (в данном примере 8,94), если этого не требуется в условии? С моей точки зрения, лишним не будет, отсутствие приближенного значения тянет на придирку. Округление целесообразно проводить до 2-3 знаков после запятой.

Выполним чертеж к задаче:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

В чём принципиальное отличие от Примера 3? Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости, при этом его лучше переобозначить, например, через Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.

А в чём сходство Примера 3 и Примера 5? Геометрически очевидно, что длина отрезка Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыравна длине вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Так же очевидно, что длина вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыбудет такой же. По итогу: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Задачу 3 можно было решить и вторым способом, повторю условие: Даны точки Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Найти длину отрезка Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.

Вместо применения формулы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, поступаем так:
1) Находим вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.
2) А теперь ссылаемся на то, что длина отрезка Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыравна длине вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Этот способ широко практикуется в ходе решений задач аналитической геометрии.

Вышесказанное справедливо и для пространственного случая

а) Даны точки Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Найти длину вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.
б) Даны векторы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Найти их длины.

Решения и ответы в конце урока.

Действия с векторами в координатах

В первой части урока мы рассматривали правила сложения векторов и умножения вектора на число. Но рассматривали их с принципиально-графической точки зрения. Посмотрим, как данные правила работают аналитически – когда заданы координаты векторов:

1) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Для того, чтобы сложить векторы, нужно сложить их соответствующие координаты: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Как просто. На всякий случай запишу частный случай – формулу разности векторов: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, добавим например, вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи найдём сумму трёх векторов: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, то их суммой является вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.

2) Правило умножения вектора на число. Ещё проще! Для того чтобы вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыумножить на число Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, нужно каждую координату данного вектора умножить на число Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы.

Для пространственного вектора Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыправило такое же:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Приведённые факты строго доказываются в курсе аналитической геометрии.

Примечание: Данные правила справедливы не только для ортонормированных базисов Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыно и для произвольного аффинного базиса плоскости или пространства. Более подробно о базисах читайте в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.

Даны векторы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Найти Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Решение чисто аналитическое:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Ответ: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Чертеж в подобных задачах строить не надо, тем не менее, геометрическая демонстрация будет весьма полезной. Если считать, что векторы заданы в ортонормированном базисе Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, то графическое решение задачи будет таким:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы
Коль скоро речь идет только о векторах в ортонормированном базисе, то оси рисовать не обязательно. Достаточно начертить базисные векторы, причём, где угодно. Ну, и координатную сетку для удобства. Строго говоря, ранее я допустил небольшой огрех – в некоторых чертежах урока тоже можно было не чертить декартову прямоугольную систему координат. Векторам она не нужна, им нужен базис. Впрочем, лучше всегда рисуйте, а то напугаете всех своими знаниями =)

Как видите, графический способ решения привёл к тем же результатам, что и аналитический способ решения. Ещё раз заметьте свободу векторов: любую из трёх «конструкций» можно переместить в любую точку плоскости.

Для векторов в пространстве можно провести аналогичные выкладки. Но там чертежи строить значительно сложнее, поэтому ограничусь аналитическим решением (на практике, собственно, бОльшего и не надо):

Даны векторы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Найти Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Ответ: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

И в заключение занятный пример с векторами на плоскости:

Даны векторы Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Найти Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Это задача для самостоятельного решения.

Какой вывод? Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты, главное, не допустить вычислительных ошибок. Следующие рекомендуемые к изучению уроки:

Это, так скажем, вектор-минимум студента =)

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Задание: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы, Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Пример 2: Решение:
а)
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы
б)
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы
в)
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы
г)
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Пример 4: Решение:
По соответствующей формуле: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы
Ответ:Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Пример 6: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторыи Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы
а) Решение: найдём вектор Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы
Вычислим длину вектора:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы
Ответ: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

б) Решение:
Вычислим длины векторов:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Пример 9: Решение:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы
Примечание: Перед выполнением действий можно предварительно раскрыть скобки:
Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Ответ: Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть фото Как выглядят противоположно направленные векторы. Смотреть картинку Как выглядят противоположно направленные векторы. Картинка про Как выглядят противоположно направленные векторы. Фото Как выглядят противоположно направленные векторы Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *