Как выполнить вычитание смешанных чисел
Вычитание смешанных чисел: правила, примеры, решения
Вычитание смешанных чисел
Нам известно, что любое смешанное число возможно представить, как сумму его целой и дробной части, тогда получим:
Свойства действий сложения и вычитания дают возможность выполнить вычисление полученного выражения различными способами. Опираясь на значения дробных частей смешанных чисел
Решение
Решение
Решение
Вычитание обыкновенной дроби из смешанного числа
Схема вычитания правильной дроби из смешанного числа такая же, как при действии вычитания смешанных чисел.
Решение:
Решение
Тогда находить разницу будем так:
Добавим еще одну, в общем очевидную деталь вычислений: если дробная часть смешанного числа равна вычитаемой дроби, то итогом вычисления будет число, равное целой части уменьшаемого смешанного числа. К примеру:
Чтобы вычесть неправильную дробь из смешанного числа, необходимо выделить целую часть из неправильной дроби, а затем производить вычисление.
Решение: вычитаемая дробь является неправильной, выделим из нее целую часть и получим: 19 9 = 2 1 9
Приведем к общему знаменателю дробные части заданных чисел и согласно указанным выше схемам произведем вычитание смешанных чисел:
Вычитание натурального числа из смешанного
Вычитание смешанного числа из обыкновенной дроби
Очевидно, что любое заданное смешанное число будет больше единицы. Уменьшаемая дробь должна быть больше вычитаемого, тогда эта дробь – неправильная. Необходимо выделить целую часть из неправильной дроби, и далее выполнение действия вычитания смешанного числа из обыкновенной дроби сведется к вычитанию смешанных чисел.
Решение
Вычитание смешанного числа из натурального
Чтобы произвести действие вычитания смешанного числа из натурального, сначала от натурального числа отнимаем целую часть смешанного, после чего из полученного результата вычитаем дробную часть:
Необходимо вычесть из натурального числа 18 смешанное число.
Решение
Вычитание смешанных дробей.
Смешанные дроби также, как и простые дроби можно вычитать. Чтобы отнять смешанные числа дробей нужно знать несколько правил вычитания. Изучим эти правила на примерах. Вычитание обыкновенных дробей с разными и одинаковыми знаменателями вы можете посмотреть нажав на ссылку.
Вычитание смешанных дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим пример с условием, что уменьшаемое целое и дробная часть больше соответственно вычитаемого целой и дробной части. При таких условиях вычитание происходит отдельно. Целую часть вычитаем из целой части, а дробную часть из дробной.
Выполните вычитание смешанных дробей \(5\frac<3><7>\) и \(1\frac<1><7>\).
Правильность вычитания проверяется сложением. Сделаем проверку вычитания:
Рассмотрим пример с условием, когда дробная часть уменьшаемого меньше соответственно дробной части вычитаемого. В таком случае мы занимаем единицу у целого в уменьшаемом.
Выполните вычитание смешанных дробей \(6\frac<1><4>\) и \(3\frac<3><4>\).
У уменьшаемого \(6\frac<1><4>\) дробная часть меньше чем у дробной части вычитаемого \(3\frac<3><4>\). То есть \(\frac<1> <4>Category: 5 класс, Обыкновенные дроби Leave a comment
You may also like:
Десятичные дроби. Разряды и классы десятичных дробей.
Нужен репетитор по математике (алгебре) или геометрии?
Сравнение неправильных дробей правила и примеры.
Деление дробей. Правила. Примеры.
Добавить комментарий Отменить ответ
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
Вычитание смешанных чисел
Чтобы вычесть смешанное число из другого смешанного числа, нужно отдельно вычесть целую часть из целой, а дробную из дробной и полученные результаты сложить.
Вычислим разность 
и 
:
Вычитание смешанных чисел можно записывать в более краткой форме, без промежуточных вычислений:
Если целые или дробные части уменьшаемого и вычитаемого окажутся равными, то в результате целая или дробная части соответственно будут равны нулю:
Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность равна нулю:
Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели, то сначала их нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание:
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то из целой части уменьшаемого нужно взять одну единицу, представить её в виде дроби и прибавить к дробной части, после этого из дробной части уменьшаемого можно вычесть дробную часть вычитаемого:
Чтобы из натурального числа вычесть смешанное число, у натурального числа нужно взять одну единицу и представить её в виде дроби:
Чтобы вычесть натуральное число из смешанного числа, нужно натуральное число вычесть из целой части смешанного числа, оставив дробную часть без изменений:
При вычитании обыкновенной дроби из смешанного числа, дробь вычитается из дробной части смешанного числа. Если дробь больше, чем дробная часть смешанного числа, то из целой части нужно взять одну единицу, представить её в виде дроби и прибавить к дробной части, после этого можно выполнить вычитание:
Также, смешанные числа можно записать в виде неправильных дробей и выполнить вычитание, а в конце (если требуется по условию задания) записать результат в виде смешанного числа:
Калькулятор вычитания смешанных чисел
Дроби. Вычитание дробей.
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Для нахождения разницы 2х дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо вычесть из числителя 1й дроби числитель 2й дроби, а знаменатель обоих дробей оставить не изменяя. Вычитание обыкновенных дробей:
Обратите внимание! Перед тем как написать окончательный ответ, посмотрите, может можно сократить дробь, которую вы получили.
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, примеры:
,
,
Вычитание правильной дроби из единицы.
Если необходимо вычесть из единицы дробь, которая является правильной, единицу переводят к виду неправильной дроби, у нее знаменатель равен знаменателю вычитаемой дроби.
Пример вычитания правильной дроби из единицы:
Знаменатель вычитаемой дроби = 7, т.е., единицу представляем в виде неправильной дроби 7/7 и вычитаем по правилу вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Вычитание правильной дроби из целого числа.
Правила вычитания дробей – правильной из целого числа (натурального числа) :
Вычтем из целого числа правильную дробь: представляем натуральное число в виде смешанного числа. Т.е. занимаем единицу в натуральном числе и переводим её к виду неправильной дроби, знаменатель при этом такой же, как у вычитаемой дроби.
Пример вычитания дробей:
В примере единицу мы заменили неправильной дробью 7/7 и вместо 3 записали смешанное число и от дробной части отняли дробь.
Вычитание дробей с разными знаменателями.
Или, если сказать другими словами, вычитание разных дробей.
Правило вычитания дробей с разными знаменателями. Для того, чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо, для начала, привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), и только послеиэтого произвести вычитание как с дробями с одинаковыми знаменателями.
Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, которые являются знаменателями данных дробей.
Внимание! Если в конечной дроби у числителя и знаменателя есть общие множители, то дробь необходимо сократить. Неправильную дробь лучше представить в виде смешанной дроби. Оставить результат вычитания, не сократив дробь, где есть возможность, — это незаконченное решение примера!
Порядок действий при вычитании дробей с разными знаменателями.
Таким же образом проводится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.
Вычитание дробей, примеры:
Вычитание смешанных дробей.
При вычитании смешанных дробей (чисел) отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.
Первый вариант вычитания смешанных дробей.
Если у дробных частей одинаковые знаменатели и числитель дробной части уменьшаемого (из него вычитаем) ≥ числителю дробной части вычитаемого (его вычитаем).
Второй вариант вычитания смешанных дробей.
Когда у дробных частей разные знаменатели. Для начала приводим к общему знаменателю дробные части, а после этого выполняем вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.
Третий вариант вычитания смешанных дробей.
Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.
Т.к. у дробных частей разные знаменатели, значит, как и при втором варианте, сначала приводим обыкновенные дроби к общему знаменателю.
В числителе от правой части пишем сумму числителей, дальше раскрываем скобки в числителе от правой части, то есть умножаем все и приводим подобные. В знаменателе скобки не раскрываем. В знаменателях принято оставлять произведение. Получаем:
Общие сведения
Впервые в Европе понятие дробь стали использовать в 1202 году. Это слово ввёл в обиход математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи). Под ним стали понимать число, состоящее из равных частей. Существует два вида его записи: обыкновенная и десятичная. Первую пишут с использованием горизонтальной черты, а вторую — запятой.
В записи вида x/y верхнее значение называют числителем или делимым, а нижнее — знаменателем (делителем). Существует четыре вида обыкновенных дробей:
Следует отметить, что в классификации знак чисел в знаменателе и числителе не учитывается, то есть выражение берётся по модулю. Таким образом, дробь, по сути, является одним из способов записи числа. Например, цифру 5 можно записать как 5,0 — десятичный вид, 25/5 — неправильная дробь.
Фактически смешанным числом является обыкновенная дробь, в которой опускается знак сложения: 3 + 45/98 = 3 45/98. Между смешанным выражением и неправильной дробью существует взаимосвязь. Её лучше всего объясняет презентация, часто используемая в процессе обучения учащихся сложению и вычитанию смешанных чисел в 5 классе.
Пусть на тарелке лежит яблоко, которое разрезано на четыре равные части. Один его кусочек съели, то есть осталось ¾. Позже на тарелку положили ещё одно яблоко. С математической точки зрения, было выполнено действие: 1 + ¾. В смешанной записи выражение 1 + ¾ будет выглядеть как 1 ¾. Новый фрукт позже разделили на четыре части. Таким образом, на тарелке оказалось 7/4 частей. Поэтому равенство 1 ¾ = 7/4 будет верным.
Отсюда следует, что любую смешанную дробь можно представить как неправильную и наоборот. Это преобразование используют при арифметических действиях для упрощения расчётов. Выполняют его двумя действиями: целую часть заменяют дробной со знаменателем, равняющимся единице, и выполняют сложение двух дробей. Например, 3 19/7 = 3 + 19/7 = 3/1 + 19/7 = (5 + 2 * 7)/7 = (21 + 19)/7 = 40/7.
Алгоритм вычитания
Прибавление (вычитание) дробей от целых и дробных чисел — одна из основных математических операций в алгебре. Следует отметить, что вычитаемые числа могут быть как с одинаковым знаменателем, так и разным. Поэтому используются два принципиально отличающихся способа. Для успешного вычитания смешанных дробей эти правила нужно обязательно знать и уметь применять на практике.
При одинаковых делимых правило вычитания довольно простое. В ответе знаменатель остаётся неизменным, а в числитель записывается разность уменьшаемого делителя с вычитаемым. Например, 13/19 — 5/19 = (13 — 5)/19 = 8/19. Если знаменатели отличаются, то необходимо найти наименьший знаменатель, которым является наименьшее общее кратное. Определить его можно несколькими способами.
Самый простой — перемножить делители между собой. Но этот способ неоптимальный и может привести к усложнению действий. Поэтому каждый знаменатель раскладывают на множители. В разложении совпадающие цифры убирают, а оставшиеся перемножают. В ответе и будет наименьший общий знаменатель (НОЗ). Как только НОЗ найден, вычисляют дополнительные множители. Делают это делением найденного числа на знаменатель каждой дроби. Полученные результаты умножают на числители, которые после вычитают.
Эти два важных правила используются и в алгоритме вычитания смешанных дробей. Объяснение его можно представить в виде последовательности следующих действий:
Этот алгоритм справедлив для любого выражения, дробная составляющая членов которого имеет одинаковый знаменатель. Если же он разный, то сначала необходимо найти НОЗ.
На практике же часто получается, что при вычитании числителей на первом месте стоит значение меньшее, чем на втором. То есть первый числитель меньше второго.
В этом случае используют метод занимания единицы. В его сути лежит возможность уменьшения целой части на единицу с последующим увеличением числителя на значение знаменателя. Например, 10 9/15 = 9 (9+15)/15 = 9 24/15. Если же вычитать нужно из натурального числа смешанное, то первое раскладывают так, чтобы получилась дробь. Например, смешанное число 6 при вычитании можно представить как 5 + 1 или 5 + 16/16. Значение дробной части подбирается таким образом, чтобы знаменатель образованной дроби совпадал с делителем вычитаемого числа.
Решение примеров
Знание теории необходимо уметь применять на практике. Для этого нужен опыт решения различных примеров. Обычно для закрепления материала хватает самостоятельно решить около двадцати заданий. Существуют специальные сборники, в которых собраны типовые задания для учащихся средней школы.
Из этих решебников можно выделить следующие примеры:
Следует помнить, что все примеры можно решать и путём приведения выражений к неправильным дробям. Например, проверочный алгоритм для четвёртого задания может быть таким: 15 3/12 — 7/12 = (15 *12 + 3)/12 — 7/12 = 183/12 — 7/12 = (183 — 7)/12 = 176/12 = (176:4)/(12:4) = 44/3 = 14 2/3. Ответ идентичен полученному результату ранее. Какой метод применить, не имеет принципиальной разницы.
Использование онлайн-калькулятора
Школьные примеры подобраны так, что для вычисления правильного ответа нет необходимости выполнять сложные расчёты. Зная правила, алгоритм и имея опыт самостоятельного решения, найти разницу не составит труда. Но в реальности часто приходится сталкиваться со сложными выражениями, что приводит к громоздким и сложным вычислениям.
На обычном двоичном калькуляторе вычитание из целого числа смешанной дроби выполнить невозможно, а вот на так называемом онлайн-калькуляторе вполне возможно. Это обычный интернет-сервис, специализирующийся на математических вычислениях. В российском сегменте сети существует несколько десятков сайтов, специализирующихся на онлайн-расчетах. Из них, по отзывам пользователей, можно выделить следующую пятёрку:
Это русскоязычные сервисы, не требующие от пользователей даже регистрации, предоставляющие свои услуги бесплатно. Всё что нужно, это доступ к интернету и браузер, поддерживающий технологию flash. От потребителя требуется лишь указать в специальной форме уменьшаемое и вычитаемое. Затем нажать кнопку «Рассчитать» и через одну две секунды получить разность. При этом приведённые сайты выдают на экран не только ответ, но и демонстрируют пошаговое решение.
Все вычисления выполняются в автоматическом режиме. Кроме результата, онлайн-калькуляторы могут использоваться и как подспорье в изучении математики. Так, на их страницах содержится вся необходимая теоретическая информация, касающаяся вычитания смешанных чисел, на некоторых можно найти даже видеоуроки. Кроме того, вместе с теорией часто приводятся типовые примеры с подробным описанием их решения.
Онлайн-сервисы будут полезны не только студентам и ученикам, желающим проверить свои вычисления или понять, где у них может быть ошибка в расчётах, но и инженерам различных направлений. Всё дело в том, что сталкиваясь со сложными заданиями, инженеру нужно не только проявить усидчивость и повышенную внимательность для расчёта, но и затратить много времени.
В то же время автоматические вычисления не только выполняются без ошибок, но и затрачивают на операцию секунды.