Как выполнять умножение смешанных дробей

Умножение дробей: теория и практика

Понятие дроби

Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Существует два формата записи:

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление — в 5 классе уже это знают.

Дроби могут быть двух видов:

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя:

Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему:

Такое число называют смешанным, читают как «пять целых одна четвертая», а записывают так: 5 1\4.

Основные правила дробей

Умножение дробных чисел

Рассмотрим несколько вариантов умножения обыкновенных дробей.

Как умножить дробь на дробь

Числитель равен произведению числителей обеих дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей:

Важно проверить возможность сокращения — так решать будет легче:

Как умножить смешанные дроби

Преобразовать смешанные числа в неправильные, перемножить числители и знаменатели, при необходимости сократить и перевести в смешанную дробь.

Как умножить дробь на натуральное число

Метод 1. Числитель умножить на натуральное число, а знаменатель оставить без изменения. Если в результате произведения получилась неправильная дробь, нужно выделить целую часть, то есть превратить неправильную в смешанную.

Метод 2. Знаменатель разделить на натуральное число, а числитель оставить прежним.

Этот способ будет удобнее предыдущего, если знаменатель делится на натуральное число без остатка.

Решение задач

Ребятам в 5 и 6 классе нужно практиковаться как можно чаще, чтобы решать такие примеры быстро и легко.

Задание 1. Выполнить умножение 2/17 на 5.

Как решаем: перемножим числитель и натуральное число.

Ответ:

Задание 2. Выполнить умножение 4/15 и 55/6.

Как решаем:

Ответ:

Задание 3. Выполнить умножение одной целой трех седьмых на шесть.

Как решаем:

Ответ:

Онлайн-курсы по математике для детей и подростков — прекрасный способ разобраться в новом материале и закрепить его на практике.

Источник

Умножение смешанных чисел

Содержание

При умножении и делении смешанных чисел мы, как правило, переводим смешанное число в неправильную дробь, а затем выполняем действие с ней. Разберём подробно, как это происходит.

Умножение смешанного числа на натуральное число

Важно понимать, что, когда мы записываем смешанное число, между целой и дробной частью можно поставить знак сложения, а не умножения.

Это важно учитывать ещё и потому, что, привыкнув сокращать дроби, многие ученики пытаются их сокращать и в случае со смешанными числами. Например, так:

При сокращении дробей сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя.

Для того чтобы умножить натуральное число и смешанную дробь, нужно сначала перевести смешанную дробь в неправильную, а затем умножить числитель дроби на натуральное число.

Итак, сначала нужно представить целую часть смешанной дроби в виде неправильной дроби. Для этого нам нужно умножить числитель на знаменатель и записать полученное число в числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений. Попробуем записать это буквами.

$$a \cdot b\frac = a \cdot \Big(\frac + \frac \Big)$$

При желании эту запись можно продолжить так:

Погодите, но у нас в числителе и знаменателе есть одинаковые буквы! Может быть, их можно убрать, сократив тем самым дробь?

Нет, так сократить дробь нельзя. Ведь слагаемые нельзя сокращать.

Давайте проверим на примере:

$$4 \cdot 6\frac<1> <3>= 4 \cdot \Big(\frac<6 \cdot 3> <3>+ \frac<1> <3>\Big)$$

У нас получилась неправильная дробь, из которой выделяем целую часть

Но можно ли было решать по-другому?

Проверим, срабатывает ли этот способ.

$$4 \cdot \Big(6 + \frac<1> <3>\Big) = 4 \cdot 6 + 4 \cdot \frac<1> <3>= 24 + \frac<4> <3>= 24 + 1 + \frac<1> <3>= 25\frac<1><3>$$

Да, всё получилось. Тем не менее больше распространён способ, при котором смешанные дроби переводят в неправильные. Это универсальный способ, верный также для умножения смешанных чисел на дроби.

Умножение смешанных чисел на дроби

При умножении смешанного числа на дробь смешанное число необходимо представить в виде неправильной дроби, а затем произвести умножение по обычным правилам умножения дроби на дробь: числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель.

Разберём на примере такой задачи.

Для того чтобы умножить дроби, переведём смешанную дробь в неправильную. У нас получится

Можно ли было применить распределительный закон умножения?

В принципе, да. Но в таком случае у нас получится сумма дробей, ведь при умножении целой части смешанной дроби на дробное число получится дробь. Нужно будет приводить слагаемые к общему знаменателю. Давайте посмотрим:

$$3 \frac<3> <8>\cdot \frac<1> <2>= 3 \cdot \frac<1> <2>+ \frac<3> <8>\cdot \frac<1><2>$$

Как видим, удобнее и проще переводить смешанную дробь в неправильную.

Умножение смешанного числа на смешанное число

При умножении одного смешанного числа на другое смешанное число оба множителя переводят в неправильные дроби, а затем умножают их по обычным правилам умножения дроби на дробь.

Сначала переведём обе смешанные дроби в неправильные.

Затем выполним умножение дробей:

Какие можно сделать выводы?

Самый распространённый способ умножения смешанных чисел требует сначала перевести смешанное число в неправильную дробь, а затем применять к ней правила, обычные для умножения дробей.

При действиях со смешанными числами необходимо с осторожностью применять сокращение дробей, всегда проверяя, не является ли сокращаемое число слагаемым. Слагаемые сокращать нельзя, решение не будет верным.

Помня эти два принципа, работать со смешанными числами достаточно легко, примеры с ними часто можно посчитать устно, выполняя все промежуточные этапы в уме.

Добавим, что иногда произведение будет неправильной дробью. Следует выделять целое число и записывать результат в виде смешанной дроби.

Деление смешанных чисел происходит по сходным правилам.

Источник

Математика. 5 класс

Конспект урока

Умножение смешанных дробей

Перечень рассматриваемых вопросов:

– умножение смешанной дроби на натуральное число;

– возведение смешанной дроби в степень;

– умножение смешанных дробей.

Распределительный закон умножения – чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Переместительный закон умножения – от перестановки множителей произведение не меняется.

Площадь прямоугольника – произведение длины на ширину.

Порядок убывания – расположение элементов от большего к меньшему.

Порядок возрастания – расположение элементов от меньшего к большему.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На предыдущих уроках вы научились умножать обыкновенные дроби и записывать смешанные дроби в виде неправильных.

Произведение двух дробей – это дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.

Чтобы записать смешанную дробь неправильной дробью, надо знаменатель дробной части умножить на целую часть, прибавить числитель дробной части и полученное число записать в числитель, а знаменатель оставить прежним.

Этих умений достаточно, чтобы сегодня научиться умножать смешанные дроби.

Правило умножения смешанных дробей звучит так: чтобы умножить смешанные дроби, нужно записать их в виде неправильных дробей и выполнить умножение с обыкновенными дробями.

Результат получился тот же, что и при умножении.

Рассмотрим ещё один случай применения распределительного закона умножения для упрощения вычислений.

Найдём сумму произведения трёх целых четырёх пятых и пяти восьмых с произведением четырёх целых одной пятой и пяти восьмых.

В этих произведениях есть одинаковый множитель – пять восьмых. Его по распределительному закону вынесем за скобки, в которых останется сумма трёх целых четырёх пятых и четырёх целых одной пятой. Найдём значение суммы в скобках. Складываем отдельно целые части – три и четыре – это будет семь, и дробные части – четыре пятых и одну пятую – это будет пять пятых.

Сумму целой и дробной части записываем смешанной дробью – семь целых пять пятых и умножаем на пять восьмых. Так как дробная часть получившейся смешанной дроби – неправильная дробь, равная одному, то смешанную дробь заменяем на восемь целых. Умножаем восемь на пять восьмых – это пять.

Расставим порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках. В скобках есть умножение и сложение. Умножение выполняется в первую очередь, затем сложение. Четвёртым действием будет вычитание из числа суммы в скобках. Пятое действие – нахождение частного в знаменателе. Шестое действие – деление числителя исходной дроби на знаменатель. Деление заменяется умножением, а умножать мы научились:

Итак, чтобы умножить смешанные дроби необходимо:

• представить эти смешанные дроби неправильными дробями;

• выполнить умножение неправильных дробей;

• сократить, если возможно;

• представить неправильную дробь, полученную в результате умножения, смешанной дробью.

При возведении смешанной дроби в степень нужно:

• представить эту смешанную дробь неправильной дробью;

• возвести полученную неправильную дробь в нужную степень.

№ 1. Поставьте на места пропусков числа так, чтобы вычисления были верными.

Источник

Умножение смешанных дробей — правило и примеры решения

Изучение математических отношений важно для дальнейшего понимания алгебры. Это тема не из простых, но проявив усердие и внимание, понять её сможет каждый учащийся. С дробными числами можно делать любые операции, например, деление, сложение, вычитание и умножение. Смешанные дроби позволяют упростить расчёт, избавиться от неправильного вида выражений, поэтому нужно обязательно научиться выполнять с ними действия, особенно на практических заданиях.

Общие сведения

По своей сути, дробь представляет собой какое-либо отношение, то есть разделение. Например, имеется торт, который разделён на 3 равные части. Все куски составляют одно целое — пирог. Но если из него взять один кусок, целостность будет нарушена. В математике такое действие записывают дробным отношением. В частности, для рассматриваемого случая алгебраическое выражение будет выглядеть как 1/3.

Здесь чёрточка обозначает деление. Число сверху над ней называют числителем (делимое), а снизу — знаменателем (делитель). Читается запись — «одна третья» или «одна третьей доли». Такого вида дроби принято считать обыкновенными. В них знаменатель показывает, на какое количество одинаковых частей что-либо можно поделить. Числитель же обозначает, какая часть была взята.

Обыкновенные отношения разделяют на 3 вида:

С простыми дробями можно выполнять любые действия. При сложении или вычитании суть операции сводится к нахождению общего знаменателя, то есть наименьшего общего кратного и выполнения действия в числителе с учётом дополнительного множителя. Например, 1/15 + 2/15 = 3/15; 2/33 — 1/33 = (2 — 1) / 33 = 1/33.

При умножении нужно числитель одного выражения умножить на делимое второго. Также поступить и со знаменателями — перемножить их. При делении в дроби, на которую уменьшают, нужно поменять местами верхнее число дроби с нижним, а после выполнить перемножение с первым отношением. Например, 2/3 * 3/6 = (2 * 3)/(3 * 6) = 6/18; 1/7: 1/7 = 1/7 * 7/1 = 7/7.

Операции сами по себе несложные. Но часто на практике приходится иметь дело с неправильными и смешанными дробями. Правило умножения при работе с ними немного изменяется. Следует знать, что смешанную дробь всегда можно представить как неправильную. Это важное замечание, именно на него и опирается закон произведения смешанных чисел. Кроме того, при выполнении действий используют основное свойство дроби — делитель и делимое можно умножить на одно и то же любое натуральное число без изменения конечного результата.