Как выразить переменную в дроби
Выведение переменной из формулы
Данную статью я начну с общего алгоритма выражения переменной, а затем уже будем разбираться на конкретных примерах.
Пусть дана какая-то формула.
1) Если она содержит скобки, то раскрываем их и приводим подобные слагаемые;
2) Если есть знаменатель, то избавляемся от него, умножив обе части формулы на этот знаменатель (если знаменателей несколько, то умножаем обе части равенства на общий знаменатель);
3) Если есть корни, то обе части возводим в степень, равную показателю корня;
4) Переносим все члены с нужной нам переменной в одну сторону;
5) Если таких членов несколько, то выносим нужную нам переменную за скобку в качестве общего множителя. Если нет, то этот шаг пропускаем.
6) Делим обе части формулы на все сомножители нужной нам переменной.
7) Если нужная переменная возведена в n-ую степень, то нужно из обеих частей формулы извлечь корень n-ой степени.
На самом деле, всё не так ужасно) На ОГЭ так вообще простые задания.
Вот парочка примеров.
Выразим радиус R, разделив обе части на его сомножитель ω 2 :
Но обычно пишут так, чтобы искомая переменная была слева:
Теперь выразим угловую скорость. Разделим обе части равенства на сомножитель угловой скорости (на R, короче говоря):
Получается вот такая запись:
Нужная нам угловая скорость возведена в квадрат. Избавиться от степени нам поможет квадратный корень:
Теперь возьмем формулу с дробью.
2) Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле
Выразим из нее d1.
Избавляемся от знаменателя, умножив обе части равенства на 2 (т.к. знаменатель равен двум).
Чтобы выразить d1 разделим обе части на сомножители d2 и sinα.
Точно также выражаются d2 и sinα. Можешь даже самостоятельно попробовать.
Еще один пример. Последний.
3) Дана формула
Выразим из нее переменную b.
Формула содержит дроби, поэтому надо избавится от знаменателей. Умножим обе части равенства на общий знаменатель abc.
Получится такое выражение:
Перенесем все члены равенства, содержащие переменную b в левую часть.
Вынесем b за скобки как общий множитель.
Что-то не выражается? Напиши мне свой пример. Используй функцию «Предложить новость».
Как выразить одну переменную через другую? Как выразить переменную из формулы?
Этот урок — полезное дополнение к предыдущей теме «Тождественные преобразования уравнений».
Умение делать такие вещи — штука не просто полезная, она — необходимая. Во всех разделах математики, от школьной до высшей. Да и в физике тоже. Именно по этой причине задания подобного рода обязательно присутствуют и в ЕГЭ и в ОГЭ. Во всех уровнях — как базовом, так и профильном.
Собственно, вся теоретическая часть подобных заданий представляет собой одну единственную фразу. Универсальную и простую до безобразия.
Удивляемся, но запоминаем:
Любое равенство с буквами, любая формула — это ТОЖЕ УРАВНЕНИЕ!
А где уравнение, там автоматически и тождественные преобразования уравнений. Вот и применяем их в удобном нам порядке и — готово дело.) Читали предыдущий урок? Нет? Однако… Тогда эта ссылочка — для вас.
Ах, вы в курсе? Отлично! Тогда применяем теоретические знания на практике.
Как выразить одну переменную через другую?
Такая задача постоянно возникает при решении систем уравнений. Например, имеется равенство:
Здесь две переменные — икс и игрек.
Что означает это задание? Оно означает, что мы должны получить некоторое равенство, где слева стоит чистый икс. В гордом одиночестве, безо всяких соседей и коэффициентов. А справа — что уж получится.
И как же нам получить такое равенство? Очень просто! С помощью всё тех же старых добрых тождественных преобразований! Вот и применяем их в удобном нам порядке, шаг за шагом добираясь до чистого икса.
Анализируем левую часть уравнения:
Полдела сделано. Осталась тройка перед иксом. Как от неё избавиться? Разделить обе части на эту самую тройку! Т.е. задействовать второе тождественное преобразование.
Вот и всё. Мы выразили икс через игрек. Слева — чистый икс, а справа — что уж получилось в результате «очищения» икса.
Можно было бы сначала поделить обе части на тройку, а затем — переносить. Но это привело бы к появлению дробей в процессе преобразований, что не очень удобно. А так, дробь появилась лишь в самом конце.
Напоминаю, что порядок преобразований никакой роли не играет. Как нам удобно, так и делаем. Самое главное — не порядок применения тождественных преобразований, а их правильность!
А можно из этого же равенства
А почему — нет? Можно! Всё то же самое, только на этот раз нас интересует слева чистый игрек. Вот и очищаем игрек от всего лишнего.
Первым делом избавляемся от выражения 3х. Перебрасываем его в правую часть:
Осталась двойка с минусом. Делим обе части на (-2):
И все дела.) Мы выразили y через х. Переходим к более серьёзным заданиям.
Как выразить переменную из формулы?
Не проблема! Точно так же! Если понимать, что любая формула — тоже уравнение.
Например, такое задание:
выразить переменную с.
Формула — тоже уравнение! Задание означает, что через преобразования из предложенной формулы нам надо получить какую-то новую формулу. В которой слева будет стоять чистая с, а справа — что уж получится, то и получится…
Однако… Как нам эту самую с вытаскивать-то?
Как-как… По шагам! Ясное дело, что выделить чистую с сразу невозможно: она в дроби сидит. А дробь умножается на r… Значит, первым делом очищаем выражение с буквой с, т.е. всю дробь целиком. Здесь можно поделить обе части формулы на r.
Следующим шагом надо вытащить с из числителя дроби. Как? Легко! Избавимся от дроби. Нету дроби — нету и числителя.) Умножаем обе части формулы на 2:
Осталась элементарщина. Обеспечим справа букве с гордое одиночество. Для этого переменные a и b переносим влево:
Вот и всё, можно сказать. Осталось переписать равенство в привычном виде, слева направо и — ответ готов:
Это было несложное задание. А теперь задание на основе реального варианта ЕГЭ:
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле
где с = 1500 м/с — скорость звука в воде,
f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц).
Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 2 м/с.
«Многа букафф», да… Но буквы — это лирика, а общая суть всё равно та же самая. Первым делом надо выразить эту самую частоту отражённого сигнала (т.е. букву f) из предложенной нам формулы. Вот этим и займёмся. Смотрим на формулу:
Напрямую, естественно, букву f никак не выдернешь, она снова в дробь запрятана. Причём и в числитель и в знаменатель. Поэтому самым логичным шагом будет избавиться от дроби. А там — видно будет. Для этого применяем второе преобразование — умножаем обе части на знаменатель.
А вот тут — очередные грабли. Прошу обратить внимание на скобки обеих частях! Частенько именно в этих самых скобочках и кроются ошибки в подобных заданиях. Точнее, не в самих скобочках, а в их отсутствии.)
Скобки слева означают, что буква v умножается на весь знаменатель целиком. А не на его отдельные кусочки…
Справа же, после умножения, дробь исчезла и остался одинокий числитель. Который, опять же, весь целиком умножается на буковку с. Что и выражается скобками в правой части.)
А вот теперь скобки и раскрыть можно:
Дальше дело нехитрое. Всё что с f собираем слева, а всё что без f — справа. Займёмся переносом:
Отлично. Процесс идёт.) Теперь буковка f слева стала общим множителем. Выносим её за скобки:
Осталось всего ничего. Делим обе части на скобку (v—c) и — дело в шляпе!
В принципе, всё готово. Переменная f уже выражена. Но можно дополнительно «причесать» полученное выражение — вынести f0 за скобку в числителе и сократить всю дробь на (-1), тем самым избавившись от лишних минусов:
Вот такое выражение. А вот теперь и числовые данные подставить можно. Получим:
Вот и всё. Надеюсь, общая идея понятна.
В этих двух уроках рассматриваются лишь два базовых тождественных преобразования уравнений. Они работают всегда. На то они и базовые. Помимо этой парочки, существует ещё множество других преобразований, которые тоже будут тождественными, но не всегда, а лишь при определённых условиях.
Например, возведение обеих частей уравнения (или формулы) в квадрат (или наоборот, извлечение корня из обеих частей) будет тождественным преобразованием, если обе части уравнения заведомо неотрицательны.
Или, скажем, логарифмирование обеих частей уравнения будет тождественным преобразованием, если обе части заведомо положительны. И так далее…
Подобные преобразования будут рассматриваться в соответствующих темах.
Средняя скорость лыжника (в км/ч) на дистанции в два круга рассчитывается по формуле:
где V1 и V2 — средние скорости (в км/ч) на первом и втором кругах соответственно. Какова была средняя скорость лыжника на втором круге, если известно, что первый круг лыжник пробежал со скоростью 15 км/ч, а средняя скорость на всей дистанции оказалась равной 12 км/ч?
Задача на основе реального варианта ОГЭ:
Задача на основе реального варианта профильного ЕГЭ:
К источнику с ЭДС ε=155 В и внутренним сопротивлением r=0,5 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой:
При каком сопротивлении нагрузки напряжение на ней будет 150 В? Ответ выразите в омах.
Ответы (в беспорядке): 4; 15; 2; 10.
А уж где числа, километры в час, метры, омы — это как-нибудь сами…)
Как работать с формулой, чтобы выразить из нее указанную переменную
Серия
Как работать с формулой, чтобы выразить из нее указанную переменную
1. а) Если формула содержит дроби, то сначала нужно избавиться от них, умножив обе части формулы на общий знаменатель;
б) если формула содержит корень, то нужно избавиться от него, возведя обе части формулы в квадрат;
в) если формула содержит дроби и корень, то нужно выполнить действия а) и б) в удобной последовательности.
2. Слагаемое (слагаемые), содержащие переменную, которую нужно выразить, перенести в левую часть, если они не находятся там. Иногда для этого достаточно просто поменять местами левую и правую части формулы.
3. Привести левую часть к виду, в котором нужная переменная будет являться одним из множителей. Иногда для этого нужно будет сгруппировать слагаемые, то есть выполнить разложение на множители левой части формулы.
4. Разделить обе части формулы на лишние множители, находящиеся в левой части, чтобы произошло сокращение, и нужная переменная осталась в левой части одна-единственная.
5. Если полученная таким образом переменная находится в степени, то нужно извлечь из обеих частей формулы корни этой же степени.
При разборе примеров, объясняйте себе каждый шаг!!
Серия
Как работать с формулой, чтобы выразить из нее указанную переменную
1. а) Если формула содержит дроби, то сначала нужно избавиться от них, умножив обе части формулы на общий знаменатель;
б) если формула содержит корень, то нужно избавиться от него, возведя обе части формулы в квадрат;
в) если формула содержит дроби и корень, то нужно выполнить действия а) и б) в удобной последовательности.
2. Слагаемое (слагаемые), содержащие переменную, которую нужно выразить, перенести в левую часть, если они не находятся там. Иногда для этого достаточно просто поменять местами левую и правую части формулы.
3. Привести левую часть к виду, в котором нужная переменная будет являться одним из множителей. Иногда для этого нужно будет сгруппировать слагаемые, то есть выполнить разложение на множители левой части формулы.
4. Разделить обе части формулы на лишние множители, находящиеся в левой части, чтобы произошло сокращение, и нужная переменная осталась в левой части одна-единственная.
5. Если полученная таким образом переменная находится в степени, то нужно извлечь из обеих частей формулы корни этой же степени.
При разборе примеров, объясняйте себе каждый шаг!!
Преобразование рациональных (алгебраических) дробей: виды преобразований, примеры
Виды выражений из алгебры могут принимать вид рациональных дробей, которые характерны тождественным преобразованиям этих дробей. Чаще всего можно встретить еще одно название алгебраические дроби. Таким образом, понятия рациональных и алгебраических дробей равнозначны.
Рассмотрим приведение рациональной дроби к новому знаменателю, смене знаков, сокращению. Подробно остановимся на преобразовании дробей в виде суммы с несколькими показателями. В заключении приведем несколько примеров, в которых подробно рассмотрим решения.
Определение и примеры рациональных дробей
Рациональная дробь – это дробь,в числителе и знаменателе которой, имеются многочлены с натуральными, целыми и рациональными коэффициентами.
Многочлены могут быть приведены в нестандартном виде, что говорит о том, что необходимы дополнительные преобразования.
Рассмотрим примеры рациональных дробей.
Преобразования числителя и знаменателя рациональной дроби
Числитель и знаменатель считаются самодостаточными числовыми выражениями. Отсюда следует, что с ними можно производить различные преобразования, то есть в числителе или знаменателе разрешено заменять на тождественное равное ему выражение.
Чтобы провести тождественные преобразования, необходимо группировать и приводить подобные слагаемые, причем знаменатель заменять на более простое подобное ему выражение. Числители и знаменатели содержат многочлены, значит, что с ними можно производить преобразования, подобные для многочленов. Это могут быть и приведения к стандартному виду или представление в виде произведения.
Для начала необходимо привести к стандартному виду. Применим свойство степени, получим выражение вида
Необходимо выполнить преобразования знаменателя. Представляем его в виде произведения, то есть раскладываем на многочлены. Для этого производим группировку первого и третьего слагаемых, а второго с четвертым. Общий множитель выносим за скобки и получаем выражение вида
Видно, что полученное выражение имеет общий множитель, который и необходимо вынести за скобки, чтобы получить
Теперь подходим к произведению многочленов.
Данные преобразования необходимы для их использования в преобразованиях.
Приведение к новому знаменателю
При изучении обыкновенных дробей знакомимся с основным свойством дроби, которое говорит о том, что при умножении числителя и знаменателя на любое натуральное число, получаем равную предыдущей дробь. Данное свойство распространяется и на рациональные дроби: при умножении на ненулевой многочлен числитель и знаменатель, получим дробь, равную предыдущей.
Отсюда следует то, что при решении необходимо воспользоваться приведением рациональной дроби к новому знаменателю. То есть ее умножение и числителя и знаменателя на ненулевой многочлен. В результате получим дробь, равную заданной.
Изменение знаков перед дробью, в ее числителе и знаменателе
Основное свойство дроби применяется для того, чтобы можно было сменить знаки у членов дроби. Эти преобразования характерны для рациональных дробей.
При работе с дробями можно менять знак только в числителе или только в знаменателе. При замене знака дроби, получаем тождественно равную дробь. Запишем это утверждение так:
Чаще всего такие преобразования подходят для дробно рациональных выражений и их преобразований.
Сокращение рациональных дробей
Не всегда виден общий знаменатель при сокращении. Это и есть небольшая проблема. Не всегда это возможно увидеть сразу. Возможно, необходимо будет выполнить разложение числителя и знаменателя на множители. Это упростит решение. Подробно нюансы рассмотрены в теме сокращения алгебраических дробей.
При сокращении важно обратить внимание на то, что чаще всего необходимо раскладывать и числитель и знаменатель на множители.
Представление рациональной дроби в виде суммы дробей
Если имеется несколько дробей, то преобразование производится особым образом. Такую рациональную дробь необходимо представить в виде выражения, где имеются одночлены.
Это основано на правиле сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
В особую группу выделяют представления рациональных дробей с одной переменной. Когда показатель такой дроби больше или равен степени показателя знаменателя, тогда переходим к преобразованию суммы рационального выражения. То есть выполняется деления многочлена на многочлен.
Подготовка к ЕГЭ. Выразить переменную из формулы.
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Выразить переменную из формулы Дудников Ю. А. МБОУ Качалинская СОШ 2017
1. В той части формулы, где содержится переменная, которую нужно выразить, расставьте порядок действий. В одночленах и многочленах, не содержащих искомую величину, порядок действий не расставляем. 2. Найдите в выражении последнее действие, и перенести одночлен или многочлен, исполняющий это действие через знак равенства первым, но уже с противоположным действием. Таким образом, перенесите из одной части равенства в другую все известные величины. В заключение перепишите формулу так, чтобы неизвестная переменная стояла слева. Порядок выражения переменной
1 2 1 2 3 S a t 2 = 1 2 2 S a t 2 = 2 S a t 2 =
1 2 1 ( ) c 0 t t к c 0 t t к c 0 t t к Q m + = c 0 t t к
1 3 2 2 3 3 g ℓ = T 2 π g ℓ = T 2 π 2 2 g ℓ = T 4 π 2 2 g ℓ T 4 π = g
U U X β = 2 l o g 0 δ U U X β = 2 l o g 0 δ U U X β = 0 δ 2 U U X β = 0 δ 2
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС
Курс повышения квалификации
Авторская разработка онлайн-курса
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
В каждой задаче по физике требуется из формулы выразить неизвестную, следующим шагом подставить численные значения и получить ответ, в некоторых случаях необходимо только выразить неизвестную величину. Способов выведения неизвестной из формулы много. Если посмотреть страницы Интернета, то мы увидим множество рекомендаций по этому поводу. Это говорит о том, что единого подхода к решению этой проблемы научное сообщество еще не выработало, а те способы, которые используются, как показывает опыт работы в школе – все они малоэффективны. До 90% учащихся выпускных классов не умеют правильно выразить неизвестное. Те же, кто умеют это делать – выполняют громоздкие преобразования. Очень странно, но физики, математики, химики имеют разные подходы, объясняя методы переноса параметров через знак равенства (предлагают правила треугольника, креста или пропорций др.) Можно сказать, что имеют разную культуру работы с формулами. Можно представить, что происходит с большинством учеников, которые встречается с разными трактовками решения данной проблемы, последовательно посещая уроки этих предметов. Эту ситуацию описывает типичный диалог в сети:
Научите выражать из формул величины. 10 класс, мне стыдно не знать, как из одной формулы делать другую.
Допустим, дана формула:
Ну более простая. тебе из этой формулы нужно найти время. Ты берешь и в эту формулу подставляешь числа только разные, исходя из алгебры. Допустим:
и тебе наверное хорошо видно, что чтобы найти время в алгебраическом выражении 5 нужно 45/9 т.е переходим к физике: t=s/v
У большинства учащихся формируется психологический блок. Часто учащиеся отмечают, что при чтении учебника трудности в первую очередь вызывают те фрагменты текста, в которых много формул, что «длинные выводы все равно не понять», но при этом возникает чувство неполноценности, неверия в свои силы.
1. В той части формулы, где содержится переменная, которую нужно выразить, надо расставь порядок действий, причем в одночленах, не содержащих искомую величину этого делать не будем.
То есть найдем в выражении последнее действие и перенесем одночлен или многочлен, исполняющий это действие, через знак равенства первым, но уже с противоположным действием. Таким образом, последовательно, находя последнее действие в выражении, перенесите из одной части равенства в другую все известные величины. В заключение перепишем формулу так, чтобы неизвестная переменная стояла слева.
Получаем четкий алгоритм работы, точно знаем, сколько преобразований необходимо выполнить. Можем для тренировки использовать уже известные формулы, можем выдумывать свои. Для начала работы над усвоением данного алгоритма была создана презентация.
Опыт работы с учащимися показывает, что данный способ хорошо воспринимается ими. Реакция учителей на мое выступление на фестивале «Учитель профильной школы» также говорит о положительном зерне, заложенном в этой работе.