Как выразить степень через логарифм

Логарифмы и их свойства

Обычно определение логарифма дают очень сложно и запутанно. Мы постараемся сделать это очень просто и наглядно.

Для того, чтобы разобраться, что такое логарифм, давайте рассмотрим пример:

Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.

Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.

Логарифм от числа 32 по основанию 2 (\(log_<2>(32)\)) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:

Аналогично, глядя в таблицу получим, что:

Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0 и неравных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.

Теперь дадим определение логарифма в общем виде:

Логарифмом положительного числа \(b\) по основанию положительно числа \(a\) называется степень \(c\), в которую нужно возвести число \(a\), чтобы получить \(b\)

Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:

Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:

Или логарифм шести по основанию 4:

На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!

Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм \(log_<4>(6)\). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6ке:

Значит \(log_<4>(6)\) принадлежите промежутку от 1 до 2:

Как посчитать логарифм

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть \(0\). А основание не равно \(1\), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь \(1\) в любой степени это будет \(1\).

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.

Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм \(9\) по основанию \(3\): \(log_<3>(9)\)

Пример 2. Вычислить логарифм \(\frac<1><125>\) по основанию \(5\): \(log_<5>(\frac<1><125>)\)

Пример 3. Вычислить логарифм \(4\) по основанию \(64\): \(log_<64>(4)\)

Пример 4. Вычислить логарифм \(1\) по основанию \(8\): \(log_<8>(1)\)

Пример 5. Вычислить логарифм \(15\) по основанию \(5\): \(log_<5>(15)\)

Как понять, что некоторое число \(a\) не будет являться степенью другого числа \(b\). Это довольно просто – нужно разложить \(a\) на простые множители.

\(16\) разложили, как произведение четырех двоек, значит \(16\) будет степенью двойки.

Разложив \(48\) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя \(2\) и \(3\), значит \(48\) не будет степенью.

Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.

Десятичный логарифм

Натуральный логарифм

Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.

У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.

Свойства логарифмов

Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.

Пример 8. Воспользоваться формулой \(3\). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.

Пример 9. Воспользоваться формулой \(4\). Логарифм от частного – это разность логарифмов.

Пример 10. Формула \(5,6\). Свойства степени.

Логично, что будет выполняться и такое соотношение:

Пример 11. Формулы \(7,8\). Переход к другому основанию.

Источник

Логарифмы степени числа — свойства с примерами, как решать задачи

Что такое логарифм степени числа и как его посчитать

Логарифм по основанию а от b представляет собой число t, демонстрирующее степень, в которую требуется возвести а для получения в результате b:

Здесь a>0, b отлично от нуля и является положительным.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

По той причине, что степень может иметь любое значение без какого-либо предела, имеем:

В результате получается вывести главное логарифмическое тождество.

Основное логарифмическое тождество является соотношением, записанным в виде:

Исходя из рассмотренных закономерностей, справедливы следующие соотношения:

Если все условия, связанные с ограничениями, выполняются, то эти формулы справедливы в прямом и обратном направлениях.

Логарифм степени какого-либо числа представляет собой результат умножения логарифма модуля основания данной степени и показателя этой степени:

Разберем наглядный пример такой взаимосвязи. Предположим, что имеется некое выражение, значение которого требуется определить:

Рассмотрим выражение, записанное под знаком логарифма, и решим, что с ним делать. Заметим, что его можно переписать как основание логарифма в степени. Воспользуемся свойством логарифма степени, изученным ранее, и выполним преобразования:

Доведем вычисления до конца:

В процессе решения задач в разных главах разделов тригонометрии может потребоваться обратный перевод определения логарифма степени числа. Заметим, что оно также является справедливым.

Коэффициент, записанный перед знаком логарифма, допустимо заносить в степень выражения, находящегося под знаком логарифма:

Рассмотрим наглядный пример. Пусть дано выражение, которое требуется упростить:

Воспользуемся логарифмическим свойством, чтобы записать степень за знаком логарифма:

\(6 \log_<13>x^2-\log_<13>x^7=6 \cdot 2 \log_<13>⁡x-7 \log_<13>⁡x=12 \log_<13>⁡x-7 \log_<13>⁡x=5 \log_<13>⁡x\)

Если под логарифмический знак записать коэффициент в виде числа 5, то получим:

\(6 \log_<13>x^2-\log_<13>x^7=6 \cdot 2 \log_<13>⁡x-7 \log_<13>⁡x=12 \log_<13>⁡x-7 \log_<13>⁡x=5 \log_<13>⁡x=\log_<13>x^5.\)

Основные свойства логарифмов

При решении задач на логарифмы, в том числе, для вычисления логарифма степени числа и поиск натуральных корней, полезно знать несколько свойств. Благодаря несложным закономерностям, можно сделать проще даже самое сложное выражение.

1. Рассмотрим свойство степени аргумента, записанное в виде уравнения:

Докажем, что записанное соотношение справедливо. Предположим, что:

В результате получим:

Данное свойство доказано.

2. Следующее свойство суммы логарифмов состоит в том, что при сложении логарифмов, имеющих одинаковые основания, получается в результате логарифм произведения:

Начнем доказательство со следующего предположения:

В результате получим, что:

Свойство суммы логарифмов доказано.

3. Свойство разности логарифмов звучит так: разность двух логарифмов, имеющих идентичные основания, равна логарифму частного. Это утверждение можно выразить формулой:

Доказательство данного свойства аналогично сумме логарифмов. Предположим, что:

В результате получим, что:

4. Следующее свойство призвано упростить вынесение показателя степени из аргумента логарифма. Оно состоит в следующем: при наличии в аргументе логарифма степени ее показатель допустимо выносить за знак логарифма. Справедливым является следующее соотношение:

Доказать данное утверждение можно с помощью определения логарифма. Представим, что:

Утверждение доказано. Также существует другой вариант записи свойства:

Таким образом, степень аргумента допустимо записывать перед логарифмом в виде коэффициента.

5. Следующее свойство позволит выносить показатель степени из основания логарифма. Такое действие реализуемо, так как при наличии в основании логарифма степени ее показатель допустимо выносить за знак логарифма:

Докажем записанное соотношение, предположив, что:

Свойство доказано. Здесь следует отметить, что степень можно вынести из основания в виде обратного числа.

6. Существует свойство, позволяющее выносить показатель степени из основания и аргумента логарифма. Свойство заключается в следующем: при наличии степеней в основании и аргументе логарифма их показатели допустимо выносить за знак логарифма, то есть:

В том случае, когда степени не отличаются друг от друга, применимо следующее правило:

7. Другое свойство логарифма оговаривает процесс перехода к новому основанию. В том случае, когда логарифмы обладают разными основаниями, целесообразно при решении задачи перейти к логарифмам, имеющим одинаковое основание:

Здесь доказательство свойства построено на следующем предположении:

8. В большинстве случаев при решении заданий на логарифмы используют свойство смены мест основания и аргумента логарифма. Допустимо переставлять основание и аргумент логарифма. При этом следует «перевернуть» все выражение, то есть записать логарифм в знаменатель:

Данное свойство является частным случаем записанного ранее правила. При подстановке c=b получается, что:

Примеры логарифмов с решением, пояснения

Дано выражение, значение которого требуется определить:

Данное выражение можно преобразовать. Для этого следует вспомнить свойство логарифма степени. С его помощью нужно вынести имеющиеся степени за знак логарифма. Далее пригодится следующее соотношение:

\(\log _ <2>\frac<1><8>+\log _ <5>25=\log _ <2>2^<-3>+\log _ <5>5^<2>=-3 \cdot \log _ <2>2+2 \cdot \log _ <5>5=-3+2=-1\)

Ответ: \( \log _ <2>\frac<1><8>+\log _ <5>25=-1\)

Требуется упростить следующее выражение:

Данное выражение можно упростить. Перепишем его с помощью свойства логарифма степени. В процессе следует записать число 2 под знак логарифма. Затем удобно применить свойство разности логарифмов. Выполним вычисления:

\(2 \log _ <7>4-\log _ <7>8=\log _ <7>4^<2>-\log _ <7>8=\log _ <7>16-\log _ <7>8=\log _ <7>\frac<16><8>=\log _ <7>2\)

Ответ: \(2 \log _ <7>4-\log _ <7>8=\log _ <7>2\) Задача 2

Дано выражение, значение которого необходимо вычислить:

Воспользуемся свойствами логарифма и выполним вычисления:

Нужно упростить следующее выражение:

Воспользуемся формулами сокращенного умножения, а именно — разностью квадратов:

Тогда, согласно свойствам логарифма:

Необходимо определить значение следующего выражения:

Воспользуемся свойствами логарифма и запишем вычисления:

Задачи для самостоятельной работы

Даны выражения, которые нужно упростить, используя свойства логарифма:

Требуется найти значения для следующих выражений:

Нужно определить значения записанных ниже выражений:

Источник

Возведение в степень через логарифм

Логарифм. Свойства логарифмов

Рассмотрим равенство . Пусть нам известны значения и и мы хотим найти значение .

То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести чтобы получить .

Пусть переменная может принимать любое действительное значение, тогда на переменные и накладываются такие ограничения: o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a<>1″/>, 0″ title=»b>0″/>

Если нам известны значения и , и перед нами стоит задача найти неизвестное , то для этой цели вводится математическое действие, которое называется логарифмирование.

Чтобы найти значение , мы берем логарифм числа по основанию :

Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

То есть основное логарифмическое тождество:

o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a<>1″/>, 0″ title=»b>0″/>

является по сути математической записью определения логарифма.

Математическая операция логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.

Перечислим основные свойства логарифмов:

(o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a<>1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,

d>0″/>, 1″ title=»d<>1″/>

1.

2.

3.

4.

5.

Следующая группа свойств позволяет представить показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента перед знаком логарифма:

6.

7.

8.

9.

Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию:

10.

11.

12. (следствие из свойства 11)

Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:

13.

14.

15.

Частные случаи:

– десятичный логарифм

– натуральный логарифм

При упрощении выражений, содержащих логарифмы применяется общий подход:

1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

5. Применяем свойства логарифмов.

Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.

Пример 1.

Вычислить:

Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.

==(по свойству 7)=(по свойству 6) =

Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:

Ответ: 5,25

Пример 2. Вычислить:

Приведем все логарифмы к основанию 6 (при этом логарифмы из знаменателя дроби «перекочуют» в числитель):

Разложим числа, стоящие под знаком логарифма на простые множители:

Применим свойства 4 и 6:

Введем замену

Получим:

Ответ: 1

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Как научиться решать логарифмы?

Объясним все человеческим языком. Логарифмы – ОЧЕНЬ простая тема.

Чтобы понять как их решать – нужно: разобраться со свойствами логарифма и понимать что как называется, понимать разницу между видами логарифмов (десятичными и натуральными).

Ну и уметь возводить число в степень, знать таблицу умножения (а это ты точно умеешь).

Все. Больше ничего не нужно.

Прочитай эту статью, обязательно реши примеры и решение логарифмов навсегда станет для тебя задачкой easy-peasy lemon squeezy – очень легкой 🙂

Что такое логарифм?

Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема. Чтобы понять как их решать – нужно всего лишь разобраться что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень. Все. Больше ничего не нужно.

Ну и как с такими числами работать? Как их запоминать? Как их записывать?

Согласись второе выражение гораздо удобнее, чем первое. И оно, кстати, абсолютно точное.
Словами это произносится как: «Решением уравнения два в степени икс равно пяти является логарифм пяти по основанию два, или логарифм по основанию два от пяти».

Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда находится «ВНИЗУ». Легко запомнить правда? А вот «вверху», у степени находится ее показатель, а у логарифма – аргумент.

Теперь более общая запись:

Примеры вычисления логарифмов

Попробуй найти следующие логарифмы самостоятельно:

Логарифмом положительного числа (c) по основанию (a) ((a>0, a
eq1)) называется показатель степени (b), в которую надо возвести основание (a), чтобы получить число (c) ((c>0)), т.е.

Объясним проще. Например, (log_ ) равен степени, в которую надо возвести (2), чтоб получить (8). Отсюда понятно, что (log_ =3).

Аргумент и основание логарифма

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание – подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».

Как вычислить логарифм?

Чтобы вычислить логарифм – нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

а) В какую степень надо возвести (4), чтобы получить (16)? Очевидно во вторую. Поэтому:

в) В какую степень надо возвести (sqrt ), чтобы получить (1)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

г) В какую степень надо возвести (sqrt ), чтобы получить (sqrt )? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

В сложных случаях для вычисления логарифма удобно переводить его в показательное уравнение.

Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма:
(log_ =b) (Leftrightarrow) (a^=c)

Что связывает (4sqrt ) и (8)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки:
(4=2^ ) (sqrt =2^ >) (8=2^ )

Слева воспользуемся свойствами степени: (a^ cdot a^ =a^) и ((a^ )^ =a^)

Основания равны, переходим к равенству показателей

Умножим обе части уравнения на (frac )

Получившийся корень и есть значение логарифма

Зачем придумали логарифм?

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: (3^ =9). Просто подберите (x), чтобы равенство сработало. Конечно, (x=2).

А теперь решите уравнение: (3^ =8).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как (x=log_ ).

Хочу подчеркнуть, что (log_ ), как и любой логарифм – это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: (1,892789260714. )

(4^ ) и (10) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.

Воспользуемся определением логарифма:
(a^=c) (Leftrightarrow) (log_ =b)

Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева

И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.

Поделим уравнение на 5

Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы ((a>0, a
eq1)). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание – число Эйлера (e) (равное примерно (2,7182818…)), и записывается такой логарифм как (ln).

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается (lg).

Основное логарифмическое тождество

У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

Пример: Найдите значение выражения (36^ >)

Зная формулу ((a^ )^ =a^), а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение

Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что (log_ ) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать (log_ ).

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как (log_ ), или как (log_ ), или как (log_ )… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

Источник