Как выразить выражение через переменную

Выведение переменной из формулы

Данную статью я начну с общего алгоритма выражения переменной, а затем уже будем разбираться на конкретных примерах.

Пусть дана какая-то формула.

1) Если она содержит скобки, то раскрываем их и приводим подобные слагаемые;

2) Если есть знаменатель, то избавляемся от него, умножив обе части формулы на этот знаменатель (если знаменателей несколько, то умножаем обе части равенства на общий знаменатель);

3) Если есть корни, то обе части возводим в степень, равную показателю корня;

4) Переносим все члены с нужной нам переменной в одну сторону;

5) Если таких членов несколько, то выносим нужную нам переменную за скобку в качестве общего множителя. Если нет, то этот шаг пропускаем.

6) Делим обе части формулы на все сомножители нужной нам переменной.

7) Если нужная переменная возведена в n-ую степень, то нужно из обеих частей формулы извлечь корень n-ой степени.

На самом деле, всё не так ужасно) На ОГЭ так вообще простые задания.

Вот парочка примеров.

Выразим радиус R, разделив обе части на его сомножитель ω 2 :

Но обычно пишут так, чтобы искомая переменная была слева:

Теперь выразим угловую скорость. Разделим обе части равенства на сомножитель угловой скорости (на R, короче говоря):

Получается вот такая запись:

Нужная нам угловая скорость возведена в квадрат. Избавиться от степени нам поможет квадратный корень:

Теперь возьмем формулу с дробью.

2) Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле

Выразим из нее d₁.

Избавляемся от знаменателя, умножив обе части равенства на 2 (т.к. знаменатель равен двум).

Чтобы выразить d₁ разделим обе части на сомножители d₂ и sinα.

Точно также выражаются d₂ и sinα. Можешь даже самостоятельно попробовать.

Еще один пример. Последний.

3) Дана формула

Выразим из нее переменную b.

Формула содержит дроби, поэтому надо избавится от знаменателей. Умножим обе части равенства на общий знаменатель abc.

Получится такое выражение:

Перенесем все члены равенства, содержащие переменную b в левую часть.

Вынесем b за скобки как общий множитель.

Что-то не выражается? Напиши мне свой пример. Используй функцию «Предложить новость».

Источник

Уравнения

Как решать уравнения?

Уравнения бывают всякие (вот удивил, да?). Но всё их бесконечное многообразие можно разбить всего на четыре типа.

4. Все остальные.)

Всех остальных, разумеется, больше всего, да. ) Сюда входят и кубические, и показательные, и логарифмические, и тригонометрические и всякие другие. С ними мы в соответствующих разделах плотно поработаем.

Сразу скажу, что иногда и уравнения первых трёх типов так накрутят, что и не узнаешь их… Ничего. Мы научимся их разматывать.

Собственно, решение уравнения и состоит из этих самых преобразований. На 99%. Ответ на вопрос: «Как решать уравнения?» лежит, как раз, в этих преобразованиях. Намёк понятен?)

Тождественные преобразования уравнений.

В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.

Отмечу, что эти преобразования относятся именно к уравнениям. В математике ещё имеются тождественные преобразования выражений. Это другая тема.

Сейчас мы с вами повторим все-все-все базовые тождественные преобразования уравнений.

Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.

Вы, между прочим, постоянно пользовались этим преобразованием, только думали, что переносите какие-то слагаемые из одной части уравнения в другую со сменой знака. Типа:

Дело знакомое, переносим двойку вправо, и получаем:

На самом деле вы отняли от обеих частей уравнения двойку. Результат получается тот же самый:

х+2 — 2 = 3 — 2

Перенос слагаемых влево-вправо со сменой знака есть просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования. И зачем нам такие глубокие познания? – спросите вы. В уравнениях низачем. Переносите, ради бога. Только знак не забывайте менять. А вот в неравенствах привычка к переносу может и в тупик поставить….

Второе тождественное преобразование: обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя. Это преобразование вы используете, когда решаете что-нибудь крутое, типа

Понятное дело, х = 2. А вот как вы его нашли? Подбором? Или просто озарило? Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на 5. При делении левой части (5х) пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось. А при делении правой части (10) на пять, получилась, знамо дело, двойка.

Забавно, но эти два (всего два!) тождественных преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики. Во как! Имеет смысл посмотреть на примерах, что и как, правда?)

Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемы.

Начнём с первого тождественного преобразования. Перенос влево-вправо.

Пример для младшеньких.)

Допустим, надо решить вот такое уравнение:

Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка. С каким знаком? Ответ «с никаким» не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс. Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом. Получим:

В этом примере хватило одного тождественного преобразования. Второе не понадобилось. Ну и ладно.)

Пример для старшеньких.)

А выражение без икса (lg2) переносим вправо. Со сменой знака:

Справа получилась готовая формула. Кто понимает логарифмы, тот уже запросто дорешает пример. В уме. Без переноса влево-вправо это было бы затруднительно. )

Эти два примера показывают универсальность первого тождественного преобразования. Нигде его не обойти. Стало быть, надо уметь легко и непринуждённо его делать.) Собственно, ошибиться здесь можно только в одном. Забыть сменить знак при переносе. Что и происходит сплошь и рядом. Внимательнее надо быть, да. )

Приступим ко второму тождественному преобразованию. С умножением-делением. Оно так же универсально и популярно, как и первое. Но простора для ошибок в нём побольше. Разберёмся, что к чему?)

Пример для младшеньких.)

Пусть нам надо решить вот такое суровое уравнение:

Самое время про умножение-деление вспомнить! Чтобы слева остался чистый икс, надо левую часть разделить на три. Это НАМ надо. Получим икс, чего и требовалось. Правую часть тоже придётся разделить на три. Это МАТЕМАТИКА требует. Что уж там получится, то и получится. Но пример хороший. Я старался.) 12 на 3 замечательно делится. Получится четыре. Ответ:

Пример для старшеньких.)

Здесь без логарифмов обойдёмся. Решаем:

Умножение обеих частей на нужное число, позволяет сразу избавляться от дробей, минуя промежуточные выкладки, в которых, между прочим, вполне можно и ошибок наляпать. Короче дорога – меньше ошибок!

Причина первая (для начинающих):

Иногда человек думает, что упрощение примеров делается по одному, раз и навсегда установленному правилу. И никак не может понять это правило. В одном примере начинают с переноса. В другом с домножения. В третьем три раза домножают и ни разу не переносят. Тоскует человек от неопределённости.)

А правила никакого нет.

Есть разрешённые математикой преобразования (целых два!), которые мы применяем по своему усмотрению. В удобном нам порядке. Порядок зависит исключительно от исходного примера и личных привычек решающего.

Причина вторая (почти для всех. ):

Ошибки в вычислениях. В преобразованиях постоянно приходится перемножать скобки. Заключать выражения в скобки и раскрывать их. Складывать и вычитать дроби. Умножать и делить дроби. Короче, в наличии весь набор элементарных вычислений. Дальше понятно.

Как выразить одну переменную через другую?
Как выразить переменную из формулы?

Умение делать такие вещи крайне необходимо в математике. Во всех разделах, без исключения. По этой причине, задания подобного рода обязательно присутствуют в выпускных экзаменах. И в ГИА, и в ЕГЭ. И в базовом уровне, и в профильном.

Имеет смысл разобраться, правда?) Тем более, что ничего сложного здесь нет. Есть применение тождественных преобразований уравнений и. всё!

Начнём с простого. Как выразить одну переменную через другую? Такая задача постоянно возникает при решении систем уравнений. Например, имеется уравнение:

Здесь две переменные. Икс и игрек.

Допустим, нам нужно выразить х через у.

Напоминаю: преобразования можно применять в каком угодно порядке! Вот и применяем, шаг за шагом добираясь до чистого икса.

Смотрим на левую часть уравнения:

Здесь нам мешаются двойка перед иксом и -3у. Начнём с -3у, это проще будет.

Перебрасываем -3у в правую часть, со сменой знака, разумеется:

Осталась двойка перед иксом. Как от неё избавится? Разделить обе части уравнения на 2! Получим:

Вот и всё. Мы выразили х через у. Можно ли было сразу делить обе части исходного уравнения на двойку, а уж потом переносить? Запросто! Но это привело бы к появлению дробей в процессе решения, что не очень удобно. А так дробь появилась только в самом конце.

А можно ли из этого же уравнения

выразить у через х? Можно, конечно. Только теперь слева нам нужен чистый у, а не х. Вот и «очищаем» игрек от соседей.) Сначала избавляемся от выражения 2x. Переносим его в правую часть:

Теперь мешает тройка с минусом. Делим обе части на -3:

Вот и всё. Мы выразили у через х. Переходим к более хитрым примерам.

Как выразить переменную из формулы? Не вопрос!) Точно так же!

К примеру, имеется задание:

выразить переменную b.

Однако. Как же эту b вытаскивать-то!?

Остались сущие пустяки. Оставляем b в гордом одиночестве, т.е. переносим a в левую часть:

Разные последовательности дадут разные пути к одному и тому же результату. Путь может получиться простым, может получиться сложным. Тут практика рулит. Решите десяток-другой примеров, сами почувствуете, как проще.

В данном разделе рассматриваются только два базовых тождественных преобразования уравнений. Кроме этой парочки существует множество других преобразований, которые тоже будут тождественными, но, при определённых условиях. Скажем, возведение обеих частей уравнения (или формулы) в квадрат будет тождественным преобразованием, если обе части уравнения заведомо неотрицательны. Подобные преобразования рассматриваются в соответствующих темах.

выразите переменную t и найдите её значение при v₀=7, v=16, a=3.

выразите переменную m и найдите её значение при x=1, n=2.

А вот задание на основе реального варианта ГИА:

Задание на основе реального варианта ЕГЭ:

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз со скоростью v (в м/сек), испускает ультразвуковые импульсы частотой f₀=374 МГц. Частота отражённого от дна сигнала f, регистрируемая приёмником (в МГц), определяется по формуле

где c =1500 м/с — скорость звука в воде, f₀ — частота испускаемых импульсов (в МГц). Определите скорость погружения батискафа v в м/с, если частота отражённого от дна сигнала f составляет 376 Мгц.

В реальных заданиях «многа букафф», да. ) Но тема та же.

Ответы (в беспорядке):

В следующих уроках вы сможете познакомиться с практикой тождественных преобразований в конкретных уравнениях. В линейных, квадратных и дробных. С пояснениями что, как, зачем и почему мы делаем. Очень помогает!)

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Источник

Как выразить одну переменную через другую? Как выразить переменную из формулы?

Этот урок — полезное дополнение к предыдущей теме «Тождественные преобразования уравнений».

Умение делать такие вещи — штука не просто полезная, она — необходимая. Во всех разделах математики, от школьной до высшей. Да и в физике тоже. Именно по этой причине задания подобного рода обязательно присутствуют и в ЕГЭ и в ОГЭ. Во всех уровнях — как базовом, так и профильном.

Собственно, вся теоретическая часть подобных заданий представляет собой одну единственную фразу. Универсальную и простую до безобразия.

Удивляемся, но запоминаем:

Любое равенство с буквами, любая формула — это ТОЖЕ УРАВНЕНИЕ!

А где уравнение, там автоматически и тождественные преобразования уравнений. Вот и применяем их в удобном нам порядке и — готово дело.) Читали предыдущий урок? Нет? Однако… Тогда эта ссылочка — для вас.

Ах, вы в курсе? Отлично! Тогда применяем теоретические знания на практике.

Как выразить одну переменную через другую?

Такая задача постоянно возникает при решении систем уравнений. Например, имеется равенство:

Здесь две переменные — икс и игрек.

Что означает это задание? Оно означает, что мы должны получить некоторое равенство, где слева стоит чистый икс. В гордом одиночестве, безо всяких соседей и коэффициентов. А справа — что уж получится.

И как же нам получить такое равенство? Очень просто! С помощью всё тех же старых добрых тождественных преобразований! Вот и применяем их в удобном нам порядке, шаг за шагом добираясь до чистого икса.

Анализируем левую часть уравнения:

Полдела сделано. Осталась тройка перед иксом. Как от неё избавиться? Разделить обе части на эту самую тройку! Т.е. задействовать второе тождественное преобразование.

Вот и всё. Мы выразили икс через игрек. Слева — чистый икс, а справа — что уж получилось в результате «очищения» икса.

Можно было бы сначала поделить обе части на тройку, а затем — переносить. Но это привело бы к появлению дробей в процессе преобразований, что не очень удобно. А так, дробь появилась лишь в самом конце.

Напоминаю, что порядок преобразований никакой роли не играет. Как нам удобно, так и делаем. Самое главное — не порядок применения тождественных преобразований, а их правильность!

А можно из этого же равенства

А почему — нет? Можно! Всё то же самое, только на этот раз нас интересует слева чистый игрек. Вот и очищаем игрек от всего лишнего.

Первым делом избавляемся от выражения 3х. Перебрасываем его в правую часть:

Осталась двойка с минусом. Делим обе части на (-2):

И все дела.) Мы выразили y через х. Переходим к более серьёзным заданиям.

Как выразить переменную из формулы?

Не проблема! Точно так же! Если понимать, что любая формула — тоже уравнение.

Например, такое задание:

выразить переменную с.

Формула — тоже уравнение! Задание означает, что через преобразования из предложенной формулы нам надо получить какую-то новую формулу. В которой слева будет стоять чистая с, а справа — что уж получится, то и получится…

Однако… Как нам эту самую с вытаскивать-то?

Как-как… По шагам! Ясное дело, что выделить чистую с сразу невозможно: она в дроби сидит. А дробь умножается на r… Значит, первым делом очищаем выражение с буквой с, т.е. всю дробь целиком. Здесь можно поделить обе части формулы на r.

Следующим шагом надо вытащить с из числителя дроби. Как? Легко! Избавимся от дроби. Нету дроби — нету и числителя.) Умножаем обе части формулы на 2:

Осталась элементарщина. Обеспечим справа букве с гордое одиночество. Для этого переменные a и b переносим влево:

Вот и всё, можно сказать. Осталось переписать равенство в привычном виде, слева направо и — ответ готов:

Это было несложное задание. А теперь задание на основе реального варианта ЕГЭ:

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле

где с = 1500 м/с — скорость звука в воде,

f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц).

Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 2 м/с.

«Многа букафф», да… Но буквы — это лирика, а общая суть всё равно та же самая. Первым делом надо выразить эту самую частоту отражённого сигнала (т.е. букву f) из предложенной нам формулы. Вот этим и займёмся. Смотрим на формулу:

Напрямую, естественно, букву f никак не выдернешь, она снова в дробь запрятана. Причём и в числитель и в знаменатель. Поэтому самым логичным шагом будет избавиться от дроби. А там — видно будет. Для этого применяем второе преобразование — умножаем обе части на знаменатель.

А вот тут — очередные грабли. Прошу обратить внимание на скобки обеих частях! Частенько именно в этих самых скобочках и кроются ошибки в подобных заданиях. Точнее, не в самих скобочках, а в их отсутствии.)

Скобки слева означают, что буква v умножается на весь знаменатель целиком. А не на его отдельные кусочки…

Справа же, после умножения, дробь исчезла и остался одинокий числитель. Который, опять же, весь целиком умножается на буковку с. Что и выражается скобками в правой части.)

А вот теперь скобки и раскрыть можно:

Дальше дело нехитрое. Всё что с f собираем слева, а всё что без f — справа. Займёмся переносом:

Отлично. Процесс идёт.) Теперь буковка f слева стала общим множителем. Выносим её за скобки:

Осталось всего ничего. Делим обе части на скобку (v—c) и — дело в шляпе!

В принципе, всё готово. Переменная f уже выражена. Но можно дополнительно «причесать» полученное выражение — вынести f₀ за скобку в числителе и сократить всю дробь на (-1), тем самым избавившись от лишних минусов:

Вот такое выражение. А вот теперь и числовые данные подставить можно. Получим:

Вот и всё. Надеюсь, общая идея понятна.

В этих двух уроках рассматриваются лишь два базовых тождественных преобразования уравнений. Они работают всегда. На то они и базовые. Помимо этой парочки, существует ещё множество других преобразований, которые тоже будут тождественными, но не всегда, а лишь при определённых условиях.

Например, возведение обеих частей уравнения (или формулы) в квадрат (или наоборот, извлечение корня из обеих частей) будет тождественным преобразованием, если обе части уравнения заведомо неотрицательны.

Или, скажем, логарифмирование обеих частей уравнения будет тождественным преобразованием, если обе части заведомо положительны. И так далее…

Подобные преобразования будут рассматриваться в соответствующих темах.

Средняя скорость лыжника (в км/ч) на дистанции в два круга рассчитывается по формуле:

где V₁ и V₂ — средние скорости (в км/ч) на первом и втором кругах соответственно. Какова была средняя скорость лыжника на втором круге, если известно, что первый круг лыжник пробежал со скоростью 15 км/ч, а средняя скорость на всей дистанции оказалась равной 12 км/ч?

Задача на основе реального варианта ОГЭ:

Задача на основе реального варианта профильного ЕГЭ:

К источнику с ЭДС ε=155 В и внутренним сопротивлением r=0,5 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой:

При каком сопротивлении нагрузки напряжение на ней будет 150 В? Ответ выразите в омах.

Ответы (в беспорядке): 4; 15; 2; 10.

А уж где числа, километры в час, метры, омы — это как-нибудь сами…)

Источник