Как вывести формулу высоты тетраэдра
Как найти высоту тетраэдра формула
 |
Высота тетраэдра — равна корню квадратному из двух третих, помноженному на длину ребра тетраэдра
(h – высота тетраэдра, a – ребро тетраэдра)
Вывод формулы высоты тетраэдра
Чтобы получить формулу высоты тетраэдра необходимо произвести дополнительные геометрические построения. На рисунке красные линии CF и FS — это высоты соответствующих правильных треугольников ABC и ABS:
Теперь в треугольнике CFS известны все стороны. Высота тетраэдра, как видно из геометрических построений — это высота треугольника CFS. Подставив стороны треугольника в формулу и произведя простые сокращения (используем формулу разность квадратов) получим формулу (1).
Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.
Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.
Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.
Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра
Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:
, где
BM=
, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)= 
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим
Вынесем 1/2a. Получим
Применим формулу разность квадратов
После небольших преобразований получим
Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле 
,
где 
,
Подставив эти значения, получим 
Таким образом формула объема для правильного тетраэдра
где a –ребро тетраэдра
Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин
Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра
Из вершины 
проведем векторы 
, 
, 
.
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим
Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула
Свойства
Зная высоту тетраэдра, можно вычислить его ребро, перевернув формулу так, чтобы ребро было равно корню из трех вторых, умноженному на высоту. a=√(3/2) h
Выразив таким образом ребро тетраэдра через его высоту, можно найти периметр тетраэдра, то есть длину всех его ребер, площадь одной грани и площадь полной поверхности тетраэдра. Периметр тетраэдра будет равен шести длинам его ребер, площадь одной грани – ребру в квадрате, умноженному на корень из трех, деленный на четыре, а площадь полной поверхности – четырем площадям одной грани. P=6a=6√(3/2) h S_1=(√3 a^2)/4=(3√3 h^2)/8 S_(п.п.)=4S_1=(3√3 h^2)/2
Через высоту, подставленную вместо ребра в определенном соотношении можно найти соответственно и радиусы вписанной и описанной окружностей в основание тетраэдра. r=h/(2√2) R=h/√2
Апофема тетраэдра проходит из вершины к противоположной стороне грани под прямым углом и рассчитать ее можно как из прямоугольного треугольника с боковым ребром по той же грани, так и из прямоугольного треугольника во внутреннем пространстве тетраэдра с высотой. l=3h/(2√2)
Чтобы вычислить объем тетраэдра, необходимо возвести в куб ребро и разделить полученное значение на шесть корней из двух, либо подставить вместо ребра корень из трех вторых, умноженный на высоту и преобразовать формулу объема для высоты. V=(√3 h^3)/8
В тетраэдр можно вписать сферу или описать сферу около него, тогда, зная высоту, чтобы вычислить радиусы вписанной и описанной сфер, необходимо воспользоваться следующими, уже готовыми формулами. (рис.60.2, 60.3) r_1=h/4 R_1=3h/4
Высота тетраэдра
Свойства
Зная высоту тетраэдра, можно вычислить его ребро, перевернув формулу так, чтобы ребро было равно корню из трех вторых, умноженному на высоту. a=√(3/2) h
Выразив таким образом ребро тетраэдра через его высоту, можно найти периметр тетраэдра, то есть длину всех его ребер, площадь одной грани и площадь полной поверхности тетраэдра. Периметр тетраэдра будет равен шести длинам его ребер, площадь одной грани – ребру в квадрате, умноженному на корень из трех, деленный на четыре, а площадь полной поверхности – четырем площадям одной грани. P=6a=6√(3/2) h S_1=(√3 a^2)/4=(3√3 h^2)/8 S_(п.п.)=4S_1=(3√3 h^2)/2
Через высоту, подставленную вместо ребра в определенном соотношении можно найти соответственно и радиусы вписанной и описанной окружностей в основание тетраэдра. r=h/(2√2) R=h/√2
Апофема тетраэдра проходит из вершины к противоположной стороне грани под прямым углом и рассчитать ее можно как из прямоугольного треугольника с боковым ребром по той же грани, так и из прямоугольного треугольника во внутреннем пространстве тетраэдра с высотой. l=3h/(2√2)
Чтобы вычислить объем тетраэдра, необходимо возвести в куб ребро и разделить полученное значение на шесть корней из двух, либо подставить вместо ребра корень из трех вторых, умноженный на высоту и преобразовать формулу объема для высоты. V=(√3 h^3)/8
В тетраэдр можно вписать сферу или описать сферу около него, тогда, зная высоту, чтобы вычислить радиусы вписанной и описанной сфер, необходимо воспользоваться следующими, уже готовыми формулами. (рис.60.2, 60.3) r_1=h/4 R_1=3h/4
Тетраэдр.
Тетраэдр — правильный многогранник (четырёхгранный), имеющий 4 грани, они, в свою очередь, оказываются правильными треугольниками. У тетраэдра 4 вершины, к каждой из них сходится 3 ребра. Общее количество ребер у тетраэдра 6.
Свойства тетраэдра.
Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра.
Плоскость, которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему.
Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части.
Типы тетраэдров.
У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину.
Тетраэдр состоит из 4 граней, 4 вершин и 6 ребер.
Кроме правильного тетраэдра, заслуживают внимания такие типы тетраэдров:
— Равногранный тетраэдр, у него каждая грань представляет собой треугольник. Все грани-треугольники такого тетраэдра равны.
— Ортоцентрический тетраэдр, у него каждая высота, опущенная из вершин на противоположную грань, пересекается с остальными в одной точке.
— Прямоугольный тетраэдр, у него каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине.
— Каркасный тетраэдр — тетраэдр, который таким условиям:
— Соразмерный тетраэдр, бивысоты у него одинаковы.
— Инцентрический тетраэдр, у него отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
Формулы для определения элементов тетраэдра.
Высота тетраэдра:
Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.
Основные формулы для правильного тетраэдра:
Свойства тетраэдра, виды и формулы
Сегодня поговорим об элементах и свойствах тетраэдра, а также узнаем формулы нахождения у этих элементов площади, объема и других параметров.
Элементы четырехгранника
Вам будет интересно: Петрозаводский педагогический колледж: стать специалистом заочно
Отрезок, выпущенный из любой вершины тетраэдра и опущенный на точку пересечения медиан грани, являющейся противоположной, называется медианой.
Высота многоугольника представляет собой нормальный отрезок, опущенный из вершины напротив.
Бимедианой называется отрезок, соединяющий центры скрещивающихся ребер.
Свойства тетраэдра
1) Параллельные плоскости, которые проходят через два скрещивающихся ребра, образуют описанный параллелепипед.
3) Плоскость разделяет тетраэдр на две равные по объему части, если проходит через середину двух скрещивающихся ребер.
Виды тетраэдра
Видовое разнообразие фигуры достаточно широко. Тетраэдр может быть:
Остановимся подробно на правильном тетраэдре, свойства которого практически не отличаются.
Формулы четырехгранника
Высота тетраэдра равна произведению корня из 2/3 и длины ребра.
Объем тетраэдра находится так же, как объем пирамиды: корень квадратный из 2 разделить на 12 и умножить на длину ребра в кубе.
Остальные формулы для расчета площади и радиусов окружностей представлены выше.
Как вывести формулу высоты тетраэдра
Деление отрезка в данном отношении.
Теорема о пересечении медиан треугольника в одной точке.
Теорема о высотах произвольного треугольника.
Прямая Эйлера тетраэдра.
Использованные источники информации.
Свойства треугольника были хорошо изучены еще древними греками.
В знаменитых “Началах” Евклида доказывается, что центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Архимед, определяя положение центра тяжести однородной треугольной пластинки, установил, что он лежит на каждой из трех медиан. Точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести или центроидом треугольника.
Позднее было доказано, что три высоты треугольника также пересекаются в одной точке, которая называется его ортоцентром.
Рассмотрим сначала один частный случай: прямоугольный треугольник ABC (рис.1). Середина O гипотенузы AB является центром описанной около него окружности. Центроид G делит медиану CO в отношении 1:2, считая от вершины C. Катеты AC и BC являются высотами треугольника, поэтому вершина C прямого угла совпадает с ортоцентром H треугольника. Таким образом, точки O,G,H лежат на одной прямой, причем OH=3OG. Пользуясь методом координат, Эйлер доказал, что такая же связь существует между тремя указанными точками любого треугольника. Мы докажем этот факт с помощью векторов.
Деление отрезка в данном отношении.
Пусть A,B,O – данные точки плоскости, и известно, что
Теорема о пересечении медиан треугольника в одной точке.
Здесь мы попутно получим одно векторное равенство, которое понадобится нам в дальнейшем.
Теорема 1. Медианы треугольника АВС пересекаются в одной точке G и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины, причем
где P – любая точка плоскости или пространства.
Доказательство. Возьмем на медиане CD треугольника ABC точку G, определяемую соотношением |CG|:|GD|=2:1 (рис. 3).
Согласно формуле (1),
Вычисляя вектор PG’ с концом в точке G’, делящей любую из двух других медиан треугольника в отношении 2:1 (считая от вершины), мы получим то же самое выражение:
Поэтому PG’=PG, и точка G’ совпадает с точкой G. Следовательно, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке G, определяемой соотношением (2).
Теорема о высотах произвольного треугольника.
Теорема 2. Высоты треугольника АВС пересекаются в одной точке Н, причем
где О – центр окружности описанной около треугольника.
Доказательство. Пусть АВС – треугольник, отличный от прямоугольного (рис.4).
Найдем сумму векторов OA и OB. Для этого построим точку M, симметричную О относительно стороны AB, тогда OM = OA + OB. Затем построим точку Н, для которой
OH = OM + OC = OA + OB +OC,
и докажем, что точка H и есть ортоцентр треугольника АВС.
Действительно, по построению прямые CH и OM параллельны, OM – серединный перпендикуляр к отрезку АВ, следовательно, прямая СН также перпендикулярна к прямой AB, и точка H лежит на высоте треугольника ABC, проведенной из вершины C.
Если повторить построение, начиная с векторов OA и OC, то получится та же точка H, но те же рассуждения показывают, что теперь точка H лежит на высоте треугольника, проведенной из вершины B. Аналогично получим, что точка H лежит на высоте, проведенной из вершины A. Следовательно, высоты треугольника ABC пересекаются в точке H, определяемой соотношением (3).
Легко проверить, что теорема 2 справедлива и для прямоугольного треугольника.
Из доказанных теорем 1 и 2 вытекает интересующее нас свойство замечательных точек треугольника.
Теорема 3. Центр О описанной окружности, центроид G и ортоцентр H любого треугольника лежат на одной прямой, причем точка G лежит между точками О и Н и OG:GH = 1:2.
Доказательство. По теореме 1
Сравнивая это равенство с равенством (3), получим
Следовательно, векторы OH и OG, имеющие общее начало O, расположены на одной прямой и | OG| : |GH| = 1 : 2.
Прямая, на которой лежат точки O, G и H, называется прямой Эйлера.
В стереометрии простейший многогранник – тетраэдр играет ту же роль, что и треугольник в планиметрии. Свойства треугольника и тетраэдра во многом схожи. Попробуем распространить свойство замечательных точек треугольника на тетраэдр.
Сфера, описанная около тетраэдра.
Известно, что около всякого тетраэдра можно описать сферу, её центр O лежит на перпендикулярах к граням тетраэдра, восстановленных в центрах окружностей, описанных около граней.
Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противоположной грани, называется медианой тетраэдра. Свойства медиан тетраэдра аналогичны свойствам медиан треугольника.
Теорема 4. Четыре медианы тетраэдра ABCD пересекаются в одной точке G, которая делит каждую из них в отношении 3:1, считая от вершины тетраэдра, причем
4PG = PA + PB +PC +PD, (4)
где P – любая точка пространства.
Доказательство. Возьмем на медиане DG’ тетраэдра ABCD точку G, определяемую соотношением DG : GG’ = 3 : 1 (рис 5). Согласно формуле (1),
Учитывая, что центроид G’ треугольника ABC удовлетворяет соотношению 3PG = PA + PB + PC, получим
центром тяжести (или центроидом) тетраэдра.
Высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. По аналогии можно предположить, что высоты любого тетраэдра также пересекаются в одной точке. Однако это не так.
Для примера рассмотрим тетраэдр ABCD с прямым двугранным углом при ребре AB, в котором AC = BC, но AD = BD (рис. 6). Высоты CE и DF тетраэдра лежат соответственно в гранях ABC и ABD, но точка E – середина AB, а F – нет. Если бы длины ребер DA и DB были равны, то основания E и F совпадали бы, но две другие высоты тетраэдра не могут проходить через точку E.
Таким образом, даже две высоты тетраэдра могут не иметь общей точки.
Тем не менее существуют и тетраэдры, все четыре высоты которых пересекаются в одной точке. Таким будет, например, тетраэдр ABCD с прямыми плоскими углами при вершине D. Ребра DA, DB и DC являются его высотами, а вершина D – ортоцентром (точкой пересечения всех четырех высот).
Попробуем найти все тетраэдры, у которых высоты пересекаются в одной точке.
(рис. 7). Тогда CH’__AB и DH’’__AB, т.е. прямая AB перпендикулярна к двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости CDH, следовательно, AB__BC. Аналогично доказывается, что если две другие высоты тетраэдра ABCD проходят через ту же точку H, то AC__BD и AD__BC. Итак, если все высоты тетраэдра пересекаются в одной точке, то противоположные ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны. Такой тетраэдр называется ортоцентрическим.
Теорема 5. Четыре высоты ортоцентрического тетраэдра ABCD пересекается в одной точке H, причем если O – центр сферы, описанной около тетраэдра, то
Доказательство. Пусть ABCD – ортоцентрический тетраэдр, DG’ – его медиана, DH’ – его высота (рис.8). Тогда G’ центроид, а H’- ортоцентр треугольника ABC, причем точки O’ (центр окружности, описанной около треугольника ABC ), G’ и H’ лежат на одной прямой. Заметим, что центр O сферы, описанной около тетраэдра ABCD, лежит на перпендикуляре к плоскости треугольника ABC, восстановленном в точке O’.
Будем доказывать теорему тем же способом, что и теорему 2 для треугольника: строить разными способами точку H, удовлетворяющую соотношению (5).
Вначале сложим векторы OA, OB и OC:
Отсюда вытекает, что прямые H’M и OO’ параллельны, а так как прямая OO’ перпендикулярна к плоскости ABC, то и прямая H’M перпендикулярна к этой плоскости. Следовательно, точка M’ лежит на прямой DH’ (если точки O и O’ совпадают, то точки M и H’ тоже совпадают).
Из левого равенства следует, что точка H является серединой отрезка DM, т.е. точка H лежит на DH’ тетраэдра.
Следовательно, высоты ортоцентрического тетраэдра пересекаются в одной точке H, определяемой соотношением (5).
Прямая Эйлера тетраэдра.
Теорема 6. Центр О описанной сферы, центроид G и ортоцентр Н ортоцентрического тетраэдра ABCD лежат на одной прямой, причем точки О и Н симметричны относительно точки G.
Доказательство. По формулам (4) и (5)
откуда OH=2OG. Полученное равенство означает, что точки O, G, H лежат на одной прямой, причем точки О и Н симметричны относительно точки G.
Прямую, на которой лежат точки O, G, H, можно назвать прямой Эйлера ортоцентрического тетраэдра.