умножение двоичных чисел в обратном коде

Умножение чисел с фиксированной запятой в прямом и дополнительном кодах

Умножение со старших разрядов множителя чисел, заданных в прямом коде

Напомним, что при реальной записи числа в памяти ЭВМ какие-либо символы, отделяющие знак от цифровой части числа, отсутствуют. Так что в данном случае мы имеем дела с пятиразрядным числом, включающим знак и четыре цифровых разряда.

Так как в прямом коде знак произведения и его модуль формируются отдельно, то следует обсудить лишь вопросы, касающиеся количества разрядов, отводимых под хранение мантисс сомножителей и мантиссы произведения.

Мы уже отмечали, что произведение следует получать в 2n-разрядной сетке, где n – количество разрядов у операндов.

Умножение со старших разрядов множителя заключается в том, что за время умножения на один разряд множителя происходит два действия:

В силу того, что в операции должны участвовать операнды одинаковой разрядности, а разрядность результата, равна 2n, то и изначально должен храниться в регистре длиной 2n, в котором младшие n позиций заполнены нулями. Также изначальное значение СЧП тоже должно быть равно нулю и изначально все ее позиции должны быть заполнены нулями. Для СЧП может быть выбран обычный регистр хранения: исходя из формулы (8.2) его значение сдвигам не подвергается.

Регистр, хранящий , в процессе выполнения умножения интересен не как единое целое, а как набор отдельных разрядов, хранящих значения y_i, использующихся при формировании очередного СЧП. Получение очередного значения y_i в следующем такте формирования СЧП может быть выполнено разнообразными схемотехничекими решениями, наиболее рациональным из которых представляется хранение в n-разрядном регистре сдвига, его сдвиге в сторону старших разрядов после анализа очередного разряда и снятии старшего разряда этого регистра в каждом такте для анализа очередного разряда y_i.

Таким образом, мы получаем следующие схемотехнические требования к регистрам, которые хранят модули операндов и результата:

Пример 8.2.

Умножить два числа с фиксированной запятой, заданных в прямом коде, со старших разрядов множителя: X_пк = 1.0110, Y_пк = 0.1010.

Исходя из вышесказанного, выполнение данного примера будет складываться из следующих этапов.

Так как в формировании произведения участвует , сдвинутый на соответствующее число разрядов вправо, то для наглядности будем представлять его в виде отдельного столбца значений.

На основе данного примера рассмотрим еще один момент, отражающий связь между используемым при выполнении арифметических действий алгоритмом и особенностями организации ЭВМ. При умножении со старших разрядов множителя чисел, заданных в прямом коде, к значению СЧП, полученному на очередном шаге, в зависимости от значения очередного разряда y_i добавляется либо , сдвинутый на соответствующее количество разрядов вправо, либо ноль. Добавления ноля, казалось бы, только замедляет выполнение операции (в половине случаев такое сложение бессмысленно). Однако, и тот, и другой вариант действий может быть использован. Первый вариант носит название варианта без пропуска такта суммирования, а второй, соответственно, с пропуском такта суммирования.

В качестве преимущества первого варианта мы отметили устранение операции суммирования с нулем, которое не приводит к изменению предыдущего значения СЧП. Но при этом у нас изменяется регулярность последовательности тактов выполнения операции умножения, а само значение y_i должно быть передано и проанализировано устройством управления компьютера, которое является сложной и нерегулярной схемой. В то же время прибавление нуля к СЧП (при y_i = 0) можно осуществить достаточно просто. Фрагмент такого действия показан на Рис. 8.6. Более подробно арифметико-логическое устройство, реализующее такой алгоритм умножения, показано в [ ].

Умножения с младших разрядов множителя чисел, заданных в прямом коде

Данное умножение реализуется согласно формуле (8.3). Суть этой формулы проста: к СЧП, полученной на предыдущем шаге добавляется , умноженный на значение соответствующего разряда y_i, а затем полученное новое значение сдвигается вправо на 1 разряд. Нюанс этого алгоритма как раз и заключается в этом сдвиге, завершающем формирование очередного значения СЧП.

Пример 8.3.

Выполнить умножение с младших разрядов множителя следующих чисел с фиксированной запятой, заданных в прямом коде:

Источник

Арифметических операций в прямом обратном и дополнительном коде

(Тут немного теории чтоб на уши подсесть ему, а все операции на семинарах были).

Представление положительных и отрицательных чисел в памяти компьютера. Прямой и дополнительный код числа

Прямой код – это представление числа в двоичной системе счисления, при котором первый (старший) разряд отводится под знак числа. Если число положительное, то в левый разряд записывается 0; если число отрицательное, то в левый разряд записывается 1.

Таким образом, в двоичной системе счисления, используя прямой код, в восьмиразрядной ячейке (байте) можно записать семиразрядное число. Например:

1 00011010 – отрицательное число

При этом в вычислительной технике прямой код используется почти исключительно для представления положительных чисел.

Для отрицательных чисел используется так называемый дополнительный код. Это связано с удобством выполнения операций над числами электронными устройствами компьютера.

В дополнительном коде, также как и прямом, первый разряд отводится для представления знака числа. Прямой код используется для представления положительных чисел, а дополнительный – для представления отрицательных. Поэтому, если в первом разряде находится 1, то мы имеем дело с дополнительным кодом и с отрицательным числом.

Все остальные разряды числа в дополнительном коде сначала инвертируются, т.е. заменяются противоположными (0 на 1, а 1 на 0). Например, если 1 0001100 – это прямой код числа, то при формировании его дополнительного кода, сначала надо заменить нули на единицы, а единицы на нули, кроме первого разряда. Получаем 1 1110011. Но это еще не окончательный вид дополнительного кода числа.

Далее следует прибавить единицу к получившемуся инверсией числу:

1 1110011 + 1 = 1 1110100

В итоге и получается число, которое принято называть дополнительным кодом числа.

Причина, по которой используется дополнительный код числа для представления отрицательных чисел, связана с тем, что так проще выполнять математические операции. Например, у нас два числа, представленных в прямом коде. Одно число положительное, другое – отрицательное и эти числа нужно сложить. Однако просто сложить их нельзя. Сначала компьютер должен определить, что это за числа. Выяснив, что одно число отрицательное, ему следует заменить операцию сложения операцией вычитания. Потом, машина должна определить, какое число больше по модулю, чтобы выяснить знак результата и определиться с тем, что из чего вычитать. В итоге, получается сложный алгоритм. Куда проще складывать числа, если отрицательные преобразованы в дополнительный код. Это можно увидеть на примерах ниже.

Операция сложения положительного числа и отрицательного числа, представленного в прямом коде

Прямой код числа 5: 0 000 0101

Два исходных числа сравниваются. В разряд знака результата записывается знак большего исходного числа.

Если числа имеют разные знаки, то вместо операции сложения используется операция вычитания из большего по модулю значения меньшего. При этом первый (знаковый) разряд в операции не участвует.

Операция сложения положительного числа и отрицательного числа, представленного в дополнительном коде

Прямой код числа 5: 0 000 0101

Прямой код : 1 000 0111

Инверсия : 1 111 1000

Добавление единицы: 1 111 1001

Проверка результата путем преобразования к прямому коду.

Дополнительный код: 1 111 1110

Вычитание единицы : 1 111 1101

Арифметические операции в двоичной системе счисления

В двоичной системе счисления арифметические операции выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления, т.к. они обе являются позиционными (наряду с восьмеричной, шестнадцатеричной и др.).

Сложение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

В последнем случае, при сложении двух единиц, происходит переполнение младшего разряда, и единица переносится в старший разряд. Переполнение возникает в случае, если сумма равна основанию системы счисления (в данном случае это число 2) или больше его (для двоичной системы счисления это не актуально).

Сложим для примера два любых двоичных числа:

Вычитание одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

Умножение одноразрядных двоичных чисел выполняется по следующим правилам:

Деление выполняется так же как в десятичной системе счисления:

Алгебра логики: Основные понятия, Функции алгебры логики (ФАЛ)

Булевой (логической) переменной называют переменную, принимающую значение из множества <0,1>. Название «логическая» следует из того, что её значения трактуются чаще всего как «истина» (для 1) и «ложь» (для 0).

Функцией алгебры логики (переключательной или булевой функцией) от n переменных называют однозначное отображение множества всевозможных наборов значений n булевых переменных в множество <0,1>.

Такую функцию можно представить в виде таблицы из n+1столбцов и 2 n строк. Эта таблица называется таблицей истинности.

Наборы значений переменных располагают в лексикографическом порядке (в порядке возрастания),как в примере в табл. 5.1 для n = 3.

Второй способ описания функции состоит в том. что перечисляются наборы значений, на которых функция равна 1 (множество Т1), или равна 0 (множество Т0).

Для приведённого примера функцию можно представить как Т1=<001,010,100, 111>.

Определение. Булева функция существенно зависит от переменной х_i, если найдутся два набора значений переменных, отличающиеся только i-й компонентой, на которых значения функции не совпадают. Переменная, от которой функция существенно не зависит, называется несущественной или мнимой для данной функции.

Пример. Пусть функция на наборах значений переменных и равна, соответственно, 1 и 0. Эта функция существенно зависит от второй переменной, потому что её значение на этих наборах определяется только значением этой переменной.

Будем считать, что функция не изменится, если в нее добавить или из нее убрать любое количество несущественных переменных.

Среди четырех функций одной переменной, приведенных в табл.5.2, две функции, первая и последняя, являются константами (не зависящими ни от одной переменной). Их обозначают соответственно как 0 и 1. Вторая функция повторяет переменную. Третья противоположна ей, называется инверсией и обозначается `x.

Пусть [n] – число функций, существенно зависимых от n переменных. Тогда [1] = 2, [0] = 2. Для любого n это число можно подсчитать по рекуррентной формуле

Так, для n = 2 [2]=16-2-2×2=10. Для n=3 [3]=256-2-3×2-3×10=218.

Источник

Двоичный калькулятор онлайн

Данный калькулятор может производить следующие действия над двоичными числами:

Сложение двоичных чисел

Сложение двух двоичных чисел производится столбиком поразрядно. Начиная с младшего разряда (справа на лево), как и при сложении столбиком десятичных чисел. Но так как цифр всего две (0 и 1), их сложение происходит по следующим правилам:

Пример

Для примера сложим 1011 и 101:

Вычитание двоичных чисел

Вычитание двоичных чисел производится аналогично сложению – столбиком, но по следующим правилам:

Пример

Для примера вычтем из числа 1011 число 101:

Умножение двоичных чисел

Умножение двоичных чисел производится в столбик аналогично умножению в десятичной системе, но по следующим правилам:

Пример

Для примера перемножим числа 1011 и 101:

Деление двоичных чисел

Внешне деление двоичных чисел похоже на деление десятичных чисел, но тут есть свои нюансы: такое деление производится вычитанием делителя со сдвигом вправо, если остаток больше нуля. Чтобы понять этот процесс рассмотрим пример:

Источник

Обратный и дополнительный коды двоичных чисел

Пример перевода
x₁=10101-[x₁]_пр=010101
x₂=-11101-[x₂]_пр=111101
x₃=0,101-[x₃]_пр=0,101
x₄=-0,111-[x₄]_пр=1,111
2) Обратный код числа, используется для выполнения арифметических операций вычитания, умножения, деления, через сложение. Обратный код положительного числа совпадает с его прямым кодом, обратный код отрицательного числа формируется по правилам: в знаковом разряде записывается “1”; цифровые значения меняются на противоположные.

3) Дополнительный код числа, имеет такое же назначение, как и обратный код числа. Формируется по следующим правилам: положительные числа в дополнительном коде выглядят также как и в обратном и в прямом коде, т.е. не изменяются. Отрицательные числа кодируются следующим образом: к обратному коду отрицательного числа (к младшему разряду) добавляется 1, по правилу двоичной арифметики.

Пример перевода
x₁=10101-[x₁]_доп=010101
x₂=-11101-[x₂]_обр=100010+1-[x₂]_доп=100011
x₃=0,101-[x₃]_доп=0,101
x₄=-0,111-[x₄]_обр=1,000+1-[x₄]_доп=1,001
Для выявления ошибок при выполнении арифметических операций используются также модифицированные коды: модифицированный прямой; модифицированный обратный; модифицированный дополнительный, для которых под код знака числа отводится два разряда, т.е. “+”=00; ”-”=11. Если в результате выполнения операции в знаковом разряде появляется комбинация 10 или 01 то для машины это признак ошибки, если 00 или 11 то результат верный.

Источник

Умножение двоичных чисел в обратном коде

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

Сложение обратных кодов. Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:

Получен правильный результат.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

4. А и В отрицательные. Например:

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

Сложение дополнительных кодов. Здесь также имеют место рассмотренные выше шесть случаев:

1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

4. А и В отрицательные. Например:

Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.

Источник